Με ή χωρίς de l' Hospital

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2956
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Με ή χωρίς de l' Hospital

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Μαρ 05, 2021 11:14 am

Ας δούμε και το άλλο άκρο του θέματος: να δειχθεί ότι \lim_{x\rightarrow 0^+}\left[\dfrac{x^{x+1}}{(x+1)^x}\right]'=1.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13366
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Με ή χωρίς de l' Hospital

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μαρ 05, 2021 1:18 pm

gbaloglou έγραψε:
Παρ Μαρ 05, 2021 11:14 am
Ας δούμε και το άλλο άκρο του θέματος: να δειχθεί ότι \lim_{x\rightarrow 0^+}\left[\dfrac{x^{x+1}}{(x+1)^x}\right]'=1.
Από την παραπομπή έχουμε

\displaystyle{\left[\dfrac{x^{x+1}}{(x+1)^x}\right]'= \dfrac{1}{\left (1+\dfrac {1}{x} \right )^x}\left[\ln\dfrac{1}{\left (1+\dfrac {1}{x}\right ) ^x}+\dfrac{2x+1}{x+1}\right]}

οπότε αναγώμαστε στο όριο στο 0 του \displaystyle{ \left (1+\dfrac {1}{x} \right )^x}}. Ο λογάριθμός του είναι

\displaystyle{ x \ln \left (1+\dfrac {1}{x} \right )= \dfrac {\ln (x+1)-\ln x}{\dfrac {1}{x}}} που ως περίπτωση \dfrac {\infty}{\infty} στον DLH ανάγεται στο όριο

\displaystyle{ \dfrac {\dfrac {1}{x+1} -\dfrac {1}{  x}}{-\dfrac {1}{x^2}}= \dfrac {x}{x+1} \to 0}.

Άρα \displaystyle{ \left (1+\dfrac {1}{x} \right )^x} \to e^0=1} από όπου το αρχικό όριο ικανοποιεί

\displaystyle{  \dfrac{1}{\left (1+\dfrac {1}{x} \right )^x}\left[\ln\dfrac{1}{\left (1+\dfrac {1}{x}\right ) ^x}+\dfrac{2x+1}{x+1}\right]}\to  \dfrac{1}{1}\left[\ln\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1}\right]}=1}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες