Ημιακτίνα

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12340
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ημιακτίνα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Ιαν 13, 2021 7:33 pm

Ημιακτίνα.png
Ημιακτίνα.png (10.43 KiB) Προβλήθηκε 294 φορές
Τα τμήματα AB=x , BC=2x και CD=3x , είναι χορδές ημικυκλίου ,

διαμέτρου AD=2r . Δείξτε ότι : \dfrac{r}{3}< x <\dfrac{r}{2} . "Επίσημη" σχολική χρήση ; :no:



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13166
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ημιακτίνα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 13, 2021 8:05 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Ιαν 13, 2021 7:33 pm
Ημιακτίνα.pngΤα τμήματα AB=x , BC=2x και CD=3x , είναι χορδές ημικυκλίου ,

διαμέτρου AD=2r . Δείξτε ότι : \dfrac{r}{3}< x <\dfrac{r}{2} . "Επίσημη" σχολική χρήση ; :no:
Από την προφανή x+2x+3x= AB+BC+CD > AD = 2r έχουμε την αριστερή ανισότητα. Για την δεξιά από Jensen γιά κοίλες συναρτήσεις, έστω a,b,c οι επίκεντρες που βαίνουν στα τόξα των x,2x, 3x. Τότε

x+2x+3x= AB+BC+CD = 2r (\sin \frac {a}{2} + \sin \frac {b}{2}  +\sin \frac {c}{2}) \le 2r\cdot 3 \sin \frac {a+b+c}{6}= 6r\cdot \sin 30 = 3r, οπό όπου η δεξιά ανισότητα.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13166
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ημιακτίνα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 13, 2021 10:25 pm

Aσ δούμε και πόσο καλή είναι η ανισότητα.

Από το Θεώρημα του Πτολεμαίου στο τετράπλευρο, του οποίου τις διαγώνιες τις βρισκουμε από το Πυθαγόρειο, έχουμε

\displaystyle{x\cdot 3x+ 2x\cdot 2r = \sqrt {4r^2-x^2}\sqrt {4r^2-9x^2}} .

Οδηγεί στην τριτοβάθμια 3x^3+7rx^2- 2r^3=0. Λύνοντας με λογισμικό βρήκα x\approx 0,486r, που σημαίνει ότι η δεξιά ανισότητα είναι πολύ καλή.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10192
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ημιακτίνα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιαν 14, 2021 12:33 pm

Η αριστερή ανισότητα \displaystyle \frac{r}{3} < x μπορεί να βελτιωθεί;


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13166
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ημιακτίνα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 14, 2021 1:59 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Ιαν 14, 2021 12:33 pm
Η αριστερή ανισότητα \displaystyle \frac{r}{3} < x μπορεί να βελτιωθεί;
Bεβαίως μπορεί, και μάλιστα "όσο θέλουμε". Τι εννοώ: Εφόσον ξέρουμε ότι τo x ικανοποιεί p(x)= 3x^3+7rx^2- 2r^3=0 και το πολυώνυμο αυτό έχει ρίζα x\approx 0,486r μπορούμε (λεπτομέρειες παρακάτω) να προσεγγίσουμε αυτή την τιμή με όση ακρίβεια θέλουμε, εκατέρωθεν.

Ακριβέστερα, αφού p'(x)=(3x^3+7rx^2- 2r^3)' = 3x^2+14rx που είναι >0 για x>0, η 3x^3+7rx^2- 2r^3 είναι αύξουσα γι' αυτά τα x. Tώρα η τιμή του

p(0,5r) = 0,125r^3>0 ενώ p(0,4r) = -0,688r^3<0, έχουμε ρίζα στο (0,4r,\,0,5 r) και άρα ισχύει \displaystyle \frac{4r}{10} < x  < \frac{r}{2} που βελτιώνει την ζητούμενη. Μπορούμε ακόμα καλύτερα, π.χ. είναι p(0,48r) = -0,055424r^3<0< p(0,5r), οπότε \displaystyle \frac{48r}{100} < x  < \frac{50r}{100}. Και λοιπά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10192
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ημιακτίνα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιαν 14, 2021 5:17 pm

Ένα αρκετά καλό κάτω φράγμα με γεωμετρική προσέγγιση (χωρίς χρήση λογισμικού).

Έστω M, N τα μέσα των AC, BD. Από τριγωνική ανισότητα είναι \displaystyle MN > OM - ON  \Leftrightarrow \boxed{MN>x} (1)
Ημιακτίνα.png
Ημιακτίνα.png (16.99 KiB) Προβλήθηκε 164 φορές
Θεώρημα Euler: \displaystyle A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2} \Leftrightarrow

\displaystyle 14{x^2} + 4{r^2} = 4{r^2} - 9{x^2} + 4{r^2} - {x^2} + 4M{N^2} \Leftrightarrow 6{x^2} = {r^2} + M{N^2}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)}

\displaystyle 6{x^2} > {r^2} + {x^2} \Leftrightarrow \boxed{x > \frac{{r\sqrt 5 }}{5}}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12340
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ημιακτίνα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιαν 14, 2021 7:50 pm

Ημιακτίνα.png
Ημιακτίνα.png (12.79 KiB) Προβλήθηκε 137 φορές
Ευχαριστώ τους δύο λύτες για τον εμπλουτισμό του θέματος . Η δική μου προσέγγιση

( ώστε κάπως να προσεγγίζει το γνωστικό επίπεδο που παράγει η διδασκόμενη ύλη ) :

Με Πυθαγόρειο θεώρημα και διπλή χρήση του νόμου συνημιτόνων , έχουμε :

AC^2=4r^2-9x^2=4r^2+9x^2-12rx\cos\theta=x^2+4x^2+4x^2\cos\theta .

Αυτές , με απαλοιφή του \theta , δίνουν την : 3x^2+7rx^2-2r^2=0 . Η διαχείριση

με παράγωγο και Bolzano ( όπως στην τελευταία ανάρτηση του Μιχάλη ) , δίνει το άνω φράγμα .

Το κάτω το προσέθεσα την ώρα που ετοιμαζόμουν για την ανάρτηση , σαν εφαρμογή της τριγωνικής

ανισότητας , ( αν και θεωρώ βέβαιο ότι η μαθητές θα έπαιρναν το f(\dfrac{r}{3}) ) ( λογικό ! )


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 0 επισκέπτες