Λόγος εμβαδών

Ιστοσελίδα · #1

: shape.png (20.4 KiB) Προβλήθηκε 256 φορές

Στο παραπάνω σχήμα, να υπολογίσετε το λόγο του εμβαδού της σκιασμένης περιοχής προς το εμβαδόν του τριγώνου ABC

#2

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 12, 2021 11:35 pm
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να υπολογίσετε το λόγο του εμβαδού της σκιασμένης περιοχής προς το εμβαδόν του τριγώνου

Καλημέρα!

$\displaystyle (ABC) = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}$ και με νόμο συνημιτόνου στο ABC

βρίσκω:

: Λόγος εμβαδών.ΜΝ.png (32.34 KiB) Προβλήθηκε 216 φορές

$\displaystyle A{B^2} = {c^2} = {a^2}(2 - \sqrt 2 ) = aBD \Leftrightarrow BD = a(2 - \sqrt 2 )$ και $\boxed{ED = DC = a(\sqrt 2 - 1)}$

$\displaystyle \sin 67,5^\circ = \frac{{EK}}{{ED}} \Leftrightarrow EK = a(\sqrt 2 - 1)\frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2}.$ Αλλά, $\displaystyle (EKD) = \frac{1}{2}EK \cdot ED\sin 22,5^\circ,$

οπότε, $\displaystyle (EKD) = \frac{{{a^2}{{(\sqrt 2 - 1)}^2}\sqrt 2 }}{8}$ και $\displaystyle (ABEK) = (ABD) - (EKD) \Leftrightarrow$

$\displaystyle (ABEK) = \frac{{{a^2}(2 - \sqrt 2 )\sqrt 2 }}{4} - \frac{{{a^2}{{(\sqrt 2 - 1)}^2}\sqrt 2 }}{8} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{8} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{(ABEK)}{(ABC)}=\frac{1}{2}}$

#3

Φέρνω στο

κάθετη επί την AC = b

και τέμνει την

στο

. Ας είναι και

το μέσο του

. Θέτω $DE = DC = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BE = u$ .

Είναι προφανές ότι τα τρίγωνα $ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ADS$ είναι ίσα άρα και $\boxed{SB = x}$ ,

το ABD

είναι ισοσκελές και όμοιο με τα δύο προηγούμενα (αλλά την ομοιότητα δεν τη χρησιμοποιώ).

Επειδή : $\left\{ \begin{gathered} 2x + u = b \hfill \\ 3x + u = b\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = b\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ u = b\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και $\boxed{\frac{x}{u} = \sqrt 2 + 1}\,\,\,\left( 3 \right)$

: Λόγος εμβαδών_Νάννος 12_01_2021_oritzin_1.png (42.05 KiB) Προβλήθηκε 173 φορές

Επειδή $SM//EK\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AM = MD$ θα έχω : $\left\{ \begin{gathered} \frac{{KD}}{{MD}} = \frac{x}{b} \hfill \\ \frac{{\left( {ABE} \right)}}{{\left( {KDE} \right)}} = \frac{{EB \cdot AB}}{{ED \cdot KD}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} KD = \frac{x}{b} \cdot \frac{{AB}}{2} \hfill \\ \frac{{\left( {ABE} \right)}}{{\left( {KDE} \right)}} = \frac{{u \cdot AB}}{{x \cdot KD}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Λόγω των $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right)$ έχω : $\boxed{\left( {ABE} \right) = 2\left( {KDE} \right)}\,\,\left( 4 \right)$ :

Τώρα : $\displaystyle \left( {ABC} \right) = 2\left( {ABEK} \right) \Leftrightarrow \left( {ABC} \right) = 2\left\{ {\left( {ABE} \right) + \left( {AED} \right) - \left( {KED} \right)} \right\}$ ή

$\left( {ABE} \right) + 2\left( {AED} \right) = 2\left\{ {\left( {ABE} \right) + \left( {AED} \right) - \left( {KED} \right)} \right\}$ ή

$\left( {ABE} \right) = 2\left\{ {\left( {ABE} \right) - \left( {KED} \right)} \right\} \Leftrightarrow \left( {ABE} \right) = 2\left( {KED} \right)$ που λόγω της $\left( 4 \right)$ ισχύει.

STOPJOHN · #4

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 12, 2021 11:35 pm
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να υπολογίσετε το λόγο του εμβαδού της σκιασμένης περιοχής προς το εμβαδόν του τριγώνου

$(EKD)=E_{1}=(KDC),ED=DC=t,BD=b-t, \dfrac{(ABEK)}{(ABC)}=\dfrac{(ABD)-E_{1}}{(ABC)},(1),$

Από τα όμοια τρίγωνα ABC,ABD

είναι

$\dfrac{BD}{c}=\dfrac{c}{b}\Leftrightarrow BD=\dfrac{c^{2}}{b},BD=b-t,c^{2}=b^{2}(2-\sqrt{2}), BD=b(2-\sqrt{2}),t=b(\sqrt{2}-1), (ABC)=\dfrac{\sqrt{2}}{4}.b^{2},(2), (ABD)=\dfrac{b^{2}\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{4},(3),$

$EK//BP\Rightarrow \dfrac{DK}{DP}=\dfrac{t}{BD},(*), AP=BP=\dfrac{c\sqrt{2}}{2}, PD=AD-AP, DK=DP.\dfrac{t}{BD}=\dfrac{b}{2}(\sqrt{2}-1)\sqrt{2-\sqrt{2}}{2}=b.\dfrac{(2-\sqrt{2})\sqrt{2-\sqrt{2}})}{2}, EK=\dfrac{t.BP}{BD}=b.\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}, E_{1}=(3\sqrt{2}-4).\dfrac{b^{2}}{8}, (1),(2),(3)\Rightarrow \dfrac{(ABEK)}{(ABC)}=\dfrac{1}{2}$

Λόγος εμβαδών

Λόγος εμβαδών

Re: Λόγος εμβαδών

Re: Λόγος εμβαδών

Re: Λόγος εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση