Συνεκτικά σύνολα σε συνεκτικά σύνολα

TrItOs · #1

Θέτω παρακάτω ένα προβληματισμό μου, στον οποίο θέλω να με βοηθήσετε στην απάντησή του.

Προβληματισμός : Έστω οι μετρικοί χώροι $\displaystyle{\big( X, d \bigG)}$ και $\displaystyle{\big( Y, \rho} \bigG)}$ . Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{f : X \rightarrow Y}$ με την εξής ιδιότητα : αν το $\displaystyle{\varnothing \neq E \subseteq X}$ είναι συνεκτικό σύνολο, τότε το σύνολο $\displaystyle{f \big( E \big) \subseteq Y}$ είναι συνεκτικό.
Ερώτημα : Η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ , που ορίστηκε με μια συγκεκριμένη ιδιότητα παραπάνω, είναι συνεχής στο $\displaystyle{X}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

TrItOs έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 12, 2021 9:53 pm
Θέτω παρακάτω ένα προβληματισμό μου, στον οποίο θέλω να με βοηθήσετε στην απάντησή του.

Προβληματισμός : Έστω οι μετρικοί χώροι $\displaystyle{\big( X, d \bigG)}$ και $\displaystyle{\big( Y, \rho} \bigG)}$ . Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{f : X \rightarrow Y}$ με την εξής ιδιότητα : αν το $\displaystyle{\varnothing \neq E \subseteq X}$ είναι συνεκτικό σύνολο, τότε το σύνολο $\displaystyle{f \big( E \big) \subseteq Y}$ είναι συνεκτικό.
Ερώτημα : Η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ , που ορίστηκε με μια συγκεκριμένη ιδιότητα παραπάνω, είναι συνεχής στο $\displaystyle{X}$

Πάρε $X=Y=\mathbb{R}$
με την συνήθη μετρική.
Τα συνεκτικά του υποσύνολα είναι τα διαστήματα.

Ετσι το πρόβλημα είναι :
Αν μια συνάρτηση
$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
πάει διαστήματα σε διαστήματα
είναι συνεχής ;

Η απάντηση είναι ΟΧΙ.
Γράψε μας την δικαιολόγηση.
Αν δεν μπορείς γράψε να την γράψω εγώ η κάποιος άλλος.

TrItOs · #3

Το πρώτο πράγμα που έκανα είναι αυτό που αναφέρετε, αλλά δεν μπόρεσα να το αποδείξω κάπως. Μπορείτε να με βοηθήσετε

Έκανα κάποιες απόπειρες αλλά δεν οδήγησε κάπου. Έστω και λίγο συνεχής να είναι αυτή η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ καταρρέει την ιδιότητα που θέσαμε παραπάνω δηλαδή το σύνολο $\displaystyle{f \big( E \big)}$ δεν είναι συνεκτικό, διορθώστε με αν κάνω λάθος.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

TrItOs έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 12, 2021 10:33 pm
Το πρώτο πράγμα που έκανα είναι αυτό που αναφέρετε, αλλά δεν μπόρεσα να το αποδείξω κάπως. Μπορείτε να με βοηθήσετε
Έκανα κάποιες απόπειρες αλλά δεν οδήγησε κάπου. Έστω και λίγο συνεχής να είναι αυτή η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ καταρρέει την ιδιότητα που θέσαμε παραπάνω δηλαδή το σύνολο $\displaystyle{f \big( E \big)}$ δεν είναι συνεκτικό, διορθώστε με αν κάνω λάθος.

Σκέψου τι ιδιότητα έχει η παράγωγος μιας συνάρτησης.
Επίσης ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης δεν είναι απαραίτητα συνεχής.

TrItOs · #5

Αν γίνεται, θα με ευχαριστούσε να μου παρουσιάζετε αυτό που έχετε σαν αντιπαράδειγμα στο προβληματισμό μου.

Η συνάρτηση $\displaystyle{f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}$ με τύπο $\displaystyle{f(x) = - \cos{\Big( \frac{1}{x} \Big)} + 2 \cdot x \cdot \sin{\Big( \frac{1}{x} \Big)} , x \neq 0}$ και $\displaystyle{f(0) = 0}$ , δεν είναι συνεχής στο σημείο $\displaystyle{x = 0}$ . Αλλά η ιδιότητα που αναφέρεται στον προβληματισμό μου δεν ισχύει, εκτός και αν κάνω λάθος διορθώστε με, ευχαριστώ.

BAGGP93 · #6

TrItOs έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 12, 2021 11:24 pm
Αν γίνεται, θα με ευχαριστούσε να μου παρουσιάζετε αυτό που έχετε σαν αντιπαράδειγμα στο προβληματισμό μου.

Η συνάρτηση $\displaystyle{f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}$ με τύπο $\displaystyle{f(x) = - \cos{\Big( \frac{1}{x} \Big)} + 2 \cdot x \cdot \sin{\Big( \frac{1}{x} \Big)} , x \neq 0}$ και $\displaystyle{f(0) = 0}$ , δεν είναι συνεχής στο σημείο $\displaystyle{x = 0}$ . Αλλά η ιδιότητα που αναφέρεται στον προβληματισμό μου δεν ισχύει, εκτός και αν κάνω λάθος διορθώστε με, ευχαριστώ.

Γεια χαρά. Καλή χρονιά με υγεία και καλά αποτελέσματα στην εξεταστική. Αν ψάχνεις αντιπαράδειγμα, θα πρέπει να βρεις μια ασυνεχή συνάρτηση που ωστόσο να στέλνει συνεκτικά σε συνεκτικά.

TrItOs · #7

Ναι αυτό αναζητώ, απλά με δυσκολεύει. Ευχαριστώ πολύ.

#8

TrItOs έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 12, 2021 11:41 pm
Ναι αυτό αναζητώ, απλά με δυσκολεύει. Ευχαριστώ πολύ.

Καλή χρονιά !

Την απάντηση την είπε παραπάνω ο Σταύρος.
Ποια μεγάλη κατηγορία συναρτήσεων που πάει διαστήματα σε διαστήματα δεν είναι υποχρεωτικά συνεχείς ;
Εύκολα τώρα αναζήτησε μια τέτοια συνάρτηση. Θα έχει και sin ή cos αν θέλεις(τουλάχιστον τέτοιες ξέρω εγώ).
Δεν ...βασανίζουμε, αλλά αυτό το ψάξιμο θα προσφέρει πολλά, αν και είναι εύκολο.

#9

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 13, 2021 1:23 am

TrItOs έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 12, 2021 11:41 pm
Ναι αυτό αναζητώ, απλά με δυσκολεύει. Ευχαριστώ πολύ.
Καλή χρονιά !

Την απάντηση την είπε παραπάνω ο Σταύρος.
Ποια μεγάλη κατηγορία μη συνεχών συναρτήσεων πάει διαστήματα σε διαστήματα ;

Εύκολα τώρα αναζήτησε μια τέτοια συνάρτηση. Θα έχει και sin ή cos αν θέλεις(τουλάχιστον τέτοιες ξέρω εγώ).

Δεν ...βασανίζουμε,προς Θεού, αλλά αυτό το μικρό ψάξιμο θα προσφέρει πολλά, αν και είναι εύκολο. . Αν δεν βρεις κάποια συνάρτηση, θα σου πούμε μία αύριο Τετάρτη.

TrItOs · #10

Απάντηση στον Προβληματισμό : Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{f : [0, 1] \rightarrow [0,1]}$ με τύπο $\displaystyle{f(x) = \sin{\Big( \frac{1}{x} \Big)}, 0 < x \leqslant 1}$ και $\displaystyle{f(0) = \frac{1}{2}}$ . Η οποία στέλνει συνεκτικό σύνολο (διάστημα) σε συνεκτικό σύνολο (διάστημα), αλλά η $\displaystyle{f}$ δεν είναι συνεχής στο $\displaystyle{x=0}$ .
Αν έχω κάνει κάπου λάθος διορθώστε με. Ευχαριστώ για την βοήθειά σας.

#11

TrItOs έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 13, 2021 10:16 am
Απάντηση στον Προβληματισμό : Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{f : [0, 1] \rightarrow [0,1]}$ με τύπο $\displaystyle{f(x) = \sin{\Big( \frac{1}{x} \Big)}, 0 < x \leqslant 1}$ και $\displaystyle{f(0) = \frac{1}{2}}$ . Η οποία στέλνει συνεκτικό σύνολο (διάστημα) σε συνεκτικό σύνολο (διάστημα), αλλά η $\displaystyle{f}$ δεν είναι συνεχής στο $\displaystyle{x=0}$ .
Αν έχω κάνει κάπου λάθος διορθώστε με. Ευχαριστώ για την βοήθειά σας.

Σωστό είναι το παράδειγμα (θέλει βέβαια απόδειξη, αλλά είναι απλή, και επίσης θέλει κάποια διόρθωση το σύνολο τιμών) όμως ο λόγος που γράφω είναι για να μην περάσει απαρατήρητο αυτό που προσπαθούν να σου πουν ο Σταύρος και ο Μπάμπης στα ποστ

και

.

Συγκεκριμένα, οποιαδήποτε παράρωγος, δηλαδή οποιαδηποτε συνάρτηση της μορφής

, στέλνει διαστήματα σε διαστήματα (*). Αυτό προκύπτει από την ιδιότητα Darboux. Άρα αν πάρεις μία ασυνεχή παράγωγο, τέλειωσες. Όλα τα άλλα είναι περιττά λόγια.

(*) δηλαδή η "μεγάλη κατηγορία συναρτήσεων" που σε καθοδηγούν οι προλαλήσαντες είναι οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #12

TrItOs έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 12, 2021 11:24 pm
Αν γίνεται, θα με ευχαριστούσε να μου παρουσιάζετε αυτό που έχετε σαν αντιπαράδειγμα στο προβληματισμό μου.

Η συνάρτηση $\displaystyle{f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}$ με τύπο $\displaystyle{f(x) = - \cos{\Big( \frac{1}{x} \Big)} + 2 \cdot x \cdot \sin{\Big( \frac{1}{x} \Big)} , x \neq 0}$ και $\displaystyle{f(0) = 0}$ , δεν είναι συνεχής στο σημείο $\displaystyle{x = 0}$ . Αλλά η ιδιότητα που αναφέρεται στον προβληματισμό μου δεν ισχύει, εκτός και αν κάνω λάθος διορθώστε με, ευχαριστώ.

Η ιδιότητα που αναφέρεις πληρούται.
Η συνάρτηση που έγραψες είναι παράγωγος συνάρτησης.
Κάθε παράγωγος έχει την ιδιότητα των ενδιαμέσων τιμών.
Κάθε συνάρτηση που έχει την ιδιότητα των ενδιαμέσων τιμών,πάει διαστήματα σε διαστήματα.
Για να το αποδείξεις χρησιμοποίησε την ιδιότητα των διαστημάτων.

Δηλαδή αν $I\subseteq \mathbb{R},I\neq \varnothing$
με την ιδιότητα
για $x,y\in I,x<y$
και x<z<y

έχουμε $z\in I$
τότε το

είναι διάστημα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #13

TrItOs έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 13, 2021 10:16 am
Απάντηση στον Προβληματισμό : Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{f : [0, 1] \rightarrow [0,1]}$ με τύπο $\displaystyle{f(x) = \sin{\Big( \frac{1}{x} \Big)}, 0 < x \leqslant 1}$ και $\displaystyle{f(0) = \frac{1}{2}}$ . Η οποία στέλνει συνεκτικό σύνολο (διάστημα) σε συνεκτικό σύνολο (διάστημα), αλλά η $\displaystyle{f}$ δεν είναι συνεχής στο $\displaystyle{x=0}$ .
Αν έχω κάνει κάπου λάθος διορθώστε με. Ευχαριστώ για την βοήθειά σας.

Το παράδειγμα είναι προβληματικό.
Το f([0,1])=[-1,1]

Ετσι δεν μπορούμε να έχουμε
$\displaystyle{f : [0, 1] \rightarrow [0,1]}$

Αν βάλεις $\displaystyle{f : [0, 1] \rightarrow [-1,1]}$
όλα είναι εντάξει.
Να σημειώσω ότι αυτή η συνάρτηση δεν είναι παράγωγος μιας συνάρτησης οπότε
πρέπει να αποδείξεις ότι έχει την ιδιότητα.

TrItOs · #14

Απάντηση στον Προβληματισμό(διόρθωση) : Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{f : [0, 1] \rightarrow [-1,1]}$ με τύπο $\displaystyle{f(x) = \sin{\Big( \frac{1}{x} \Big)}, 0 < x \leqslant 1}$ και $\displaystyle{f(0) = \frac{1}{2}}$ . Η οποία στέλνει συνεκτικό σύνολο (διάστημα) σε συνεκτικό σύνολο (διάστημα), αλλά η $\displaystyle{f}$ δεν είναι συνεχής στο $\displaystyle{x=0}$ .
Αυτή είναι μία συνάρτηση που απαντάει στον προβληματισμό μου, σωστά

Αν υπάρχει λάθος πείτε μου.

#15

TrItOs έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 13, 2021 2:16 pm
Απάντηση στον Προβληματισμό(διόρθωση) : Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{f : [0, 1] \rightarrow [-1,1]}$ με τύπο $\displaystyle{f(x) = \sin{\Big( \frac{1}{x} \Big)}, 0 < x \leqslant 1}$ και $\displaystyle{f(0) = \frac{1}{2}}$ . Η οποία στέλνει συνεκτικό σύνολο (διάστημα) σε συνεκτικό σύνολο (διάστημα), αλλά η $\displaystyle{f}$ δεν είναι συνεχής στο $\displaystyle{x=0}$ .
Αυτή είναι μία συνάρτηση που απαντάει στον προβληματισμό μου, σωστά
Αν υπάρχει λάθος πείτε μου.

Μου φαίνεται ότι κάτι χάνεις εδώ. Δεν έχεις ξεκαθαρίσει ότι το σωστό ερώτημα είναι η συνάρηση να στέλνει ΚΑΘΕ υποδιάστημα του πεδίου ορισμού σε διάστημα. Απο τα συμφραζόμενα στο τελευταίο σου ποστ φαίνεται να νομίζεις ότι μόνο το [0,1]

πρέπει να πηγαίνει σε διάστημα, εδώ το [-1,1]

.

Αν είναι έτσι, δεν χρειάζεται τόση φασαρία και το θέμα είναι τετριμμένο. Μπορείς άλλωστε να βρεις συναρτήσεις που είναι παντού ή σχεδόν παντού ασυνεχείς και να στέλνουν το [0,1]

στο

. Π.χ. μία τέτοια είναι η 2x-1

αν

ρητός και

αν

άρρητος (είναι συνεχής μόνο στο 1/2

αλλά εύκολα φτιάχνεις παραδείγματα που δεν είναι συνεχείς πουθενά).

Δεν πρέπει να μπερδεύεις τους καθολικούς ποσοδείκτες με τους υπαρξιακούς, όπως έγινε από συμφοιτητή σου σχετικά με ακριβώς το ίδιο ερώτημα εδώ, παραπέμποντας (προφανώς) σε σένα.

Δείξε λοιπόν, όπως σε παρότρυνε ο Σταύρος στο ποστ

, ότι η συνάρτηση που έγραψες στέλνει ΚΑΘΕ διάστημα $I \subset [0,1]$ σε διάστημα. Περιμένουμε εδώ την απόδειξή σου. Αν το δεις σωστά, είναι δύο τρεις γραμμές το πολύ.

Συνεκτικά σύνολα σε συνεκτικά σύνολα

Συνεκτικά σύνολα σε συνεκτικά σύνολα

Re: Συνεκτικά σύνολα σε συνεκτικά σύνολα

Re: Συνεκτικά σύνολα σε συνεκτικά σύνολα

Re: Συνεκτικά σύνολα σε συνεκτικά σύνολα

Re: Συνεκτικά σύνολα σε συνεκτικά σύνολα

Re: Συνεκτικά σύνολα σε συνεκτικά σύνολα

Re: Συνεκτικά σύνολα σε συνεκτικά σύνολα

Re: Συνεκτικά σύνολα σε συνεκτικά σύνολα

Re: Συνεκτικά σύνολα σε συνεκτικά σύνολα

Re: Συνεκτικά σύνολα σε συνεκτικά σύνολα

Re: Συνεκτικά σύνολα σε συνεκτικά σύνολα

Re: Συνεκτικά σύνολα σε συνεκτικά σύνολα

Re: Συνεκτικά σύνολα σε συνεκτικά σύνολα

Re: Συνεκτικά σύνολα σε συνεκτικά σύνολα

Re: Συνεκτικά σύνολα σε συνεκτικά σύνολα

Μέλη σε σύνδεση