Υπολογισμός τμήματος

#1

: Τμήμα από ακτίνες.png (11.14 KiB) Προβλήθηκε 281 φορές

Τα σημεία

επιλέγονται στις πλευρές AB, AC

τριγώνου

με $\widehat A=30^\circ,$ έτσι ώστε BD=BC=CE.

Να υπολογίσετε το μήκος του

συναρτήσει των ακτίνων r, R

του εγγεγραμμένου και περιγεγραμμένου κύκλου.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 28, 2020 7:12 pm
Τμήμα από ακτίνες.png
Τα σημεία επιλέγονται στις πλευρές τριγώνου με $\widehat A=30^\circ,$ έτσι ώστε

Να υπολογίσετε το μήκος του συναρτήσει των ακτίνων του εγγεγραμμένου και περιγεγραμμένου κύκλου.

: Υπολογισμός τμήματος.png (46.35 KiB) Προβλήθηκε 210 φορές

Προφανώς

ας είναι $O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,I$ το περίκεντρο και το έγκεντρο αντίστοιχα .

Φαίνεται να χρειάζεται το Θ Euler

αλλά ας το δούμε αλλιώς .

Το ισοσκελές $\vartriangle IED$ έχει τη γωνία $\widehat {EID} = 45^\circ$ και το

ορθόκεντρο , οπότε :

$\boxed{ED = OI = R\frac{{\sqrt 3 }}{2} - r}$ .

Έχω και μετρική λύση , αλλά και στο σχήμα επαληθεύεται η σχέση .

Μετρική λύση

$\left\{ \begin{gathered} u = AD = AE = a\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{2} - a \hfill \\ x = DE = a\frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{2} + a \hfill \\ r = a\frac{{\sqrt 3 }}{2} - a\frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{2} - a \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Με πρόσθεση κατά μέλη των δύο τελευταίων έχω το ζητούμενο .

Η πιο πάνω διαπραγμάτευση , Όπως με ενημέρωσε ο φίλος μου Γιώργος Βισβίκης αφορά μόνο το ισοσκελές τρίγωνο και όχι την γενική που θα εξετάσω όχι όμως σήμερα .

Εκτός ίσως αν κάποιος άλλος απαντήσει στην γενική περίπτωση . Επί της ουσίας η άσκηση είναι αναπάντητη στην εν γένει περίπτωση .

#3

Για να μη μείνει αναπάντητη.

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι $\displaystyle B\widehat OC = 2B\widehat AC = 60^\circ \Leftrightarrow$ $\boxed{a=R}$ (1)

Είναι ακόμα $\displaystyle \tan 15^\circ = 2 - \sqrt 3 \Leftrightarrow \frac{r}{{\tau - a}} = 2 - \sqrt 3 \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{2r}}{{b + c - a}} = 2 - \sqrt 3 }$ (2)

: Τμήμα από ακτίνες.β.png (22.86 KiB) Προβλήθηκε 159 φορές

Με νόμο συνημιτόνου διαδοχικά στα τρίγωνα ABC, ADE

παίρνω $\boxed{a^2=b^2+c^2-bc\sqrt 3}$ (3)

και στη συνέχεια:

$\displaystyle D{E^2} = {(b - a)^2} + {(c - a)^2} - (b - a)(c - a)\sqrt 3 \Leftrightarrow$

$\displaystyle D{E^2} = {b^2} + {c^2} - bc\sqrt 3 - 2a(b + c - a) + a\sqrt 3 (b + c - a)\mathop \Leftrightarrow \limits^{(3)}$

$\displaystyle D{E^2} = {a^2} - a(b + c - a)(2 - \sqrt 3 )\mathop = \limits^{(1),(2)} {R^2} - 2Rr \Leftrightarrow$ $\boxed{DE=\sqrt{R^2-2Rr}}$

#4

Κι ένα επιπλέον ερώτημα: Αποδείξτε ότι το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου

Υπολογισμός τμήματος

Υπολογισμός τμήματος

Re: Υπολογισμός τμήματος

Re: Υπολογισμός τμήματος

Re: Υπολογισμός τμήματος

Μέλη σε σύνδεση