Από σταθερό σημείο 4

KARKAR · #1

: Από σταθερό σημείο 4.png (13.48 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές

Στο εσωτερικό σταθερού τμήματος

κινείται σημείο

. Με βάσεις τα τμήματα AS , SB

σχεδιάζω τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα : $QAS , PBS , με : \hat{Q}=\hat{P} =\theta$ , ( $\theta$ σταθερή ) .

Δείξτε ότι η κάθετη ευθεία από το

προς την

, διέρχεται από σταθερό σημείο .

Διόρθωση : οι γωνίες των τριγώνων είναι σταθερού μεγέθους .

#2

Θανάση, είναι σίγουρα σωστό το αποτέλεσμα; Ίσως δεν βλέπω κάτι (που τέτοια ώρα είναι ... συνηθισμένο) αλλά δεν φαίνεται να αληθεύει, ακόμη και αν θεωρήσουμε to

σταθερό. Δηλαδή η QSP

είναι ακτίνα φωτός που ανακλάται στον καθρέφτη

(και το

είναι όπου κόψει η ακτίνα την κάθετο στο

).

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 11, 2021 8:13 pm
Από σταθερό σημείο 4.pngΣτο εσωτερικό σταθερού τμήματος κινείται σημείο . Με βάσεις τα τμήματα

σχεδιάζω τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα : $QAS , PBS , με : \hat{Q}=\hat{P} =\theta$ , ( $\theta$ σταθερή ) .

Δείξτε ότι η κάθετη ευθεία από το προς την , διέρχεται από σταθερό σημείο .

Διόρθωση : οι γωνίες των τριγώνων είναι σταθερού μεγέθους .

Υπάρχει ωραία γεωμετρική λύση αλλά θα δώσω μία με Αναλυτική γιατί "δεν έχει τίποτα να σκεφτούμε".

Με αρχή των αξόνων το μέσον του

είναι $A(-a,0), \, B(a,0)$ και έστω S(s,0)

τυχαίο σημείο της

. Επειδή η κλίση της

είναι σταθερή, έστω

, οι εξισώσεις των $SP,\,SQ$ είναι $y=m(x-s),\, y=-m(x-s)$ . Άρα η τομές τους με τις $PB,\, QA$ είναι $P(a,m(a-s)),\, Q(-a,m(a+s))$ , οπότε η κλίση της

είναι

$\dfrac { m(a-s)-m(a+s) }{a-(-a)} =- \dfrac {ms}{a}$ και άρα η εξίσωση της κάθετης από το

στην

είναι

$y= \dfrac {a}{ms}(x-s)$ . Tέμνει στον άξονα των

στο $(0,-\dfrac {a}{m})=$ σταθερό, ανεξάρτητο του

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 11, 2021 8:13 pm
Από σταθερό σημείο 4.pngΣτο εσωτερικό σταθερού τμήματος κινείται σημείο . Με βάσεις τα τμήματα

σχεδιάζω τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα : $QAS , PBS , με : \hat{Q}=\hat{P} =\theta$ , ( $\theta$ σταθερή ) .

Δείξτε ότι η κάθετη ευθεία από το προς την , διέρχεται από σταθερό σημείο .

Διόρθωση : οι γωνίες των τριγώνων είναι σταθερού μεγέθους .

Στο σχήμα του Θανάση.
Από εγράψιμμα είναι $\angle ATS=\angle STB=\theta$
Αρα η

διχοτόμος της $\angle ATB$
Η

τέμνει την μεσοκάθετο της

στο

.
Αυτό είναι το σταθερό σημείο μιας και $\angle BAR=\theta$

KARKAR · #5

: Από σταθερό σημείο 4.png (24.42 KiB) Προβλήθηκε 474 φορές

Νότιος πόλος , λοιπόν !

#6

Η πρώτη μου σκέψη ήταν η λύση του Σταύρου. Αλλάζω λοιπόν προσέγγιση.

: σταθερό σημείο.4.png (18.1 KiB) Προβλήθηκε 457 φορές

Φέρνω τη μεσοκάθετο του

που τέμνει τις AB, PQ, ST

στα

αντίστοιχα. Είναι:

$\displaystyle \tan \theta = \frac{{AS}}{{AQ}} = \frac{{SB}}{{BP}} = \frac{{AS + SB}}{{AQ + BP}} = \frac{{AB}}{{2MN}} = \frac{{2AM}}{{2MN}} = \frac{{AM}}{{MN}}$

Άρα $\displaystyle A\widehat NR = \theta .$ Είναι όμως $\displaystyle A\widehat TR = A\widehat TS = \theta \Rightarrow N\widehat AR = 90^\circ$ και $\displaystyle MR \cdot MN = \frac{{A{B^2}}}{4}$

Αλλά τα τμήματα AB, MN

είναι σταθερά κατά θέση και μέγεθος, οπότε και το

είναι σταθερό σημείο.

Από σταθερό σημείο 4

Από σταθερό σημείο 4

Re: Από σταθερό σημείο 4

Re: Από σταθερό σημείο 4

Re: Από σταθερό σημείο 4

Re: Από σταθερό σημείο 4

Re: Από σταθερό σημείο 4

Μέλη σε σύνδεση