Όρια

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f, g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \xi} \left ( f(x) + g(x) \right ) = +\infty}$ όπου $\xi \in \bar{\mathbb{R}}$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \xi} \left ( f^2(x) + g^2(x) \right ) = +\infty}$
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \xi} \frac{f(x) + g(x)}{f^2(x) + g^2(x)} = 0 }$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 10, 2020 1:03 pm
Έστω $f, g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \xi} \left ( f(x) + g(x) \right ) = +\infty}$ όπου $\xi \in \bar{\mathbb{R}}$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \xi} \left ( f^2(x) + g^2(x) \right ) = +\infty}$

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \xi} \frac{f(x) + g(x)}{f^2(x) + g^2(x)} = 0 }$

Και οι δύο άμεσες από την $|a+b| \le \sqrt 2 \sqrt {a^2+b^2}$ . Εδώ

1) $f^2(x) + g^2(x) \right \ge \dfrac {1}{2} (f(x)+g(x))^2 \to \infty$ και

2) $0 \le \dfrac{f(x) + g(x)}{f^2(x) + g^2(x)} \le \dfrac{\sqrt 2}{\sqrt {f^2(x) + g^2(x)}}\to 0$

Christos.N · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 10, 2020 1:03 pm
... όπου $\xi \in \bar{\mathbb{R}}$ ....

Επειδή δεν υπάρχει στο βιβλίο να προσθέσουμε μόνο ότι ο συμβολισμός αυτός σημαίνει $\bar{\mathbb{R}}=\{-\infty\}\cup(-\infty,+\infty)\cup\{+\infty\}$

δηλαδή το $\xi$ μπορεί να είναι τόσο πεπερασμένο όσο και μη πεπερασμένο.

Όρια

Όρια

Re: Όρια

Re: Όρια

Μέλη σε σύνδεση