Ακαλαίσθητο τετράπλευρο

KARKAR · #1

: Ακαλαίσθητο τετράπλευρο.png (14.71 KiB) Προβλήθηκε 562 φορές

$\bigstar$ Το

εφάπτεται στους δύο κύκλους . Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραπλεύρου SABT

.

Άλλοι τίτλοι της άσκησης : Ένα κλάσμα και μια ρίζα ή Ακαλαίσθητοι αριθμοί .

Manolis Petrakis · #2

: 20201203_144729.jpg (51.83 KiB) Προβλήθηκε 512 φορές

Έστω $KD\perp SO$ τότε:
$ST=KD=\sqrt {KO^2-OD^2}=\sqrt{36-(SO-KT)^2}=\sqrt {35}$
Είναι ακόμη $\sin \widehat{OKT}=\sin(180^{\circ}- \widehat {SOK})=\sin \widehat {SOK}=\dfrac{\sqrt {35}}{6}$
Έτσι (ABTS)=(OKTS)-(OAS)-(KBT)

$=\frac{1}{2}[(SO+TK)ST-SO\cdot OA\cdot \sin \widehat {SOA}-TK\cdot KB\cdot \sin \widehat {BKT}]$
$=\frac{1}{2}(5\sqrt {35}-13\frac{\sqrt {35}}{6})$

$=\sqrt {35}\cdot \dfrac{17}{12}$

#3

Έστω

η τομή της

με την από το

παράλληλη στην

. Το τετράπλευρο OKFS

είναι παραλληλόγραμμο και άρα SF =

.

Προφανώς $ST = d = \sqrt {{6^2} - {1^2}} = \sqrt {35} \,\,\left( 1 \right)$ .

Μετασχηματίζω το τετράπλευρο ABTS

σε ισοδύναμο τρίγωνο .

Γι’ αυτό φέρνω από το

παράλληλη στην

και τέμνει την

στο

. Έτσι : $\boxed{\left( {ABTS} \right) = \left( {PBT} \right)}\,\,\left( 2 \right)$

Από την ομοιότητα των τριγώνων $SOP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AKT$ έχω :

$\dfrac{{OP}}{{KA}} = \dfrac{{OS}}{{TK}} \Rightarrow OP = 3\dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{2} \Rightarrow PB = PO + OB = \dfrac{9}{2} + 4 \Rightarrow \boxed{PB = \dfrac{{17}}{2}}\,\,\left( 3 \right)$

Αρκεί λοιπόν να υπολογίσω το ύψος

από το

προς τη βάση

.

: Ακαλαίσθητο τετράπλευρο_new.png (26.25 KiB) Προβλήθηκε 471 φορές

Αν

το μέσο του

, η

είναι διάμεσος του τραπεζίου SOKT

και άρα

$AM = \dfrac{{3 + 2}}{2} = \dfrac{5}{2}$ ,

Το εμβαδόν κάθε τραπεζίου ισούται με το γινόμενο μιας των παραλλήλων πλευρών επί την απόσταση του μέσου της άλλης απ’ αυτή, έτσι εδώ :

$\left( {OKTS} \right) = dAM = 6y \Rightarrow y = \dfrac{{\dfrac{5}{2}}}{6} = \dfrac{5}{{12}}d$ και άρα , $h = \dfrac{2}{{\dfrac{5}{2}}}y \Rightarrow \boxed{h = \dfrac{1}{3}d}\,\,\left( 4 \right)$

Από τις $\left( 2 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 4 \right)$ έχω το ζητούμενο εμβαδόν $\left( {ABTS} \right) = \left( {TPB} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{17}}{2} \cdot \dfrac{1}{3}d \Rightarrow \boxed{\left( {ABTS} \right) = \dfrac{{17}}{{12}}\sqrt {35} }$ .

Έχω και πιο μικρή σε έκταση λύση , στο πνεύμα του Μανώλη , αλλά χωρίς τριγωνομετρία.

Αυτή πάντως την αφιερώνω στον Θανάση για τους τίτλους της εκφώνησης

Ακαλαίσθητο τετράπλευρο

Ακαλαίσθητο τετράπλευρο

Re: Ακαλαίσθητο τετράπλευρο

Re: Ακαλαίσθητο τετράπλευρο

Μέλη σε σύνδεση