Ο στόχος

KARKAR · #1

: Ο στόχος.png (23.95 KiB) Προβλήθηκε 707 φορές

Οι ομόκεντροι κύκλοι του σχήματος έχουν ακτίνες 2,3,4

. Μπορούμε άραγε να σχεδιάσουμε

το ισόπλευρο τρίγωνο ABC

, με κορυφές ανά μία στον κάθε κύκλο ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 21, 2020 1:42 pm
Ο στόχος.pngΟι ομόκεντροι κύκλοι του σχήματος έχουν ακτίνες . Μπορούμε άραγε να σχεδιάσουμε

το ισόπλευρο τρίγωνο , με κορυφές ανά μία στον κάθε κύκλο ;

Γενικότερα.

Παίρνουμε σημείο

στον εξωτερικό κύκλο και με βάση αυτό βρίσκω

στον εξωτερικό με DA= 4

(γενικά, όσο η ακτίνα του εξωτερικού κύκλου). Από την άλλη πλευρά βρίσκω σημείο

στον μεσαίο κύκλο έτσι ώστε DB=2

(γενικά, όσο η ακτίνα του εσωτερικού κύκλου).

Φέρνω την

και παίρνω

στον εσωρερικό κύκλο έτσι ώστε $\angle AOC= \angle ATB$ . Ισχuρίζομαι ότι το ABC

είναι το ζητούμενο ισόπλευρο.

Πράγματι, παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα BAT, CAO

είναι ίσα (ίσες δύο αντίστοιχες πλευρές και την περιεχόμενη γωνία). Άρα $\angle CAO=\angle BAT$ , οπότε $\angle CAB= \angle OAT$ . Αλλά η τελευταία είναι 60^o

διότι το τρίγωνο OAB

είναι ισόπλευρο (τρεις πλευρές

). Τελειώσαμε.

Altrian · #3

Καλημέρα,

Κατσκευάζω το τρίγωνο ODC

με πλευρές 4, 3, 2

. Με βάση την OD=4

κατασκευάζω το ισόπλευρο ADO

.
Με βάση την

κατασκευάζω το ισόπλευρο ABC

. Προφανώς $\triangle ADC = \triangle ABO\Rightarrow OB=DC=3$ .
Αρα το ζητούμενο τρίγωνο είναι το ABC

#4

Καλησπέρα!

Μετά τις πολύ ωραίες κατασκευές του Μιχάλη και του Αλέξανδρου, ας υπολογίσουμε την πλευρά

του ισοπλεύρου.

: Στόχος.png (25.07 KiB) Προβλήθηκε 568 φορές

Με νόμο συνημιτόνων διαδοχικά στα τρίγωνα OBE, OBC

βρίσκω πρώτα,

$\displaystyle \cos \theta = \frac{{11}}{{16}} \Leftrightarrow \sin \theta = \frac{{3\sqrt {15} }}{{16}} \Rightarrow \cos (\theta + 60^\circ ) = \frac{{11 - 9\sqrt 5 }}{{32}}$

και στη συνέχεια, $\displaystyle {x^2} = 20 - 16\cos (\theta + 60^\circ ) \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \sqrt {\frac{{29 + 9\sqrt 5 }}{2}} }$

KARKAR · #5

Η αναζήτηση με οδήγησε σ' αυτό ( είναι η λύση του Μιχάλη ) .

Ο στόχος

Ο στόχος

Re: Ο στόχος

Re: Ο στόχος

Re: Ο στόχος

Re: Ο στόχος

Μέλη σε σύνδεση