Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
Έστω ένα εξωτερικό μέτρο σε ένα σύνολο .
Έστω ότι για κάθε υπάρχει μετρήσιμο σύνολο με και .
Έστω αύξουσα ακολουθία συνόλων (όχι κατ'ανάγκην μετρήσιμα).
Δείξτε ότι .
Έστω ότι για κάθε υπάρχει μετρήσιμο σύνολο με και .
Έστω αύξουσα ακολουθία συνόλων (όχι κατ'ανάγκην μετρήσιμα).
Δείξτε ότι .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
Έστω .
Δείξτε ότι η είναι Lipshitz με σταθερά αν και μόνο αν είναι απόλυτα συνεχής και σχεδόν παντού για στο .
Σημείωση: H είναι Lipshitz με σταθερά ανν για κάθε .
Υπάρχει υπεραριθμήσιμη οικογένεια ξένων ανά δυο υποσυνόλων του που το καθένα από αυτά έχει θετικό μέτρο Lebesgue;
Δείξτε ότι η είναι Lipshitz με σταθερά αν και μόνο αν είναι απόλυτα συνεχής και σχεδόν παντού για στο .
Σημείωση: H είναι Lipshitz με σταθερά ανν για κάθε .
Υπάρχει υπεραριθμήσιμη οικογένεια ξένων ανά δυο υποσυνόλων του που το καθένα από αυτά έχει θετικό μέτρο Lebesgue;
τελευταία επεξεργασία από stranger σε Τρί Νοέμ 10, 2020 11:32 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
Έστω συνάρτηση ολοκληρώσιμη(Lebesgue) στο .
Δείξτε ότι για κάθε υπάρχει ώστε για κάθε μετρήσιμο σύνολο με ισχύει .
Εδώ είναι το μέτρο Lebesgue.
Δείξτε ότι για κάθε υπάρχει ώστε για κάθε μετρήσιμο σύνολο με ισχύει .
Εδώ είναι το μέτρο Lebesgue.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
Θα βάλω απάντηση σε κάποιες το βραδάκι καθώς δεν προλαβαίνω να γράψω σε λατεχ, απλα να αναφέρω σχετικά με αυτό:
Από πού είναι οι ασκήσεις αν επιτρέπεται;
Πως δεν υπάρχει τέτοια οικογένεια γενικά σε χώρο σ- πεπερασμένου μέτρου.
Από πού είναι οι ασκήσεις αν επιτρέπεται;
Αρμενιάκος Σωτήρης
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
Οι περισσότερες είναι από διαγωνίσματα που έχω γράψει στη Θεωρία Μέτρου όσο ήμουνα φοιτητής(στην αμερική και στην ελλάδα).
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
Ίσως δεν βλέπω κάτι. Τα σύνολα πρέπει να είναι ξένα ανά δυο και υπεραριθμήσιμα το πλήθος. Πιο αναλυτικά;
τελευταία επεξεργασία από stranger σε Τρί Νοέμ 10, 2020 5:21 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
Συμπληρώνω αυτό που έλεγα προηγουμένως, συγκεκριμένα έστω: χώρος σ - πεπερασμένου μέτρου
και οικογένεια ξένων ανά δύο υποσυνόλων της θετικού μέτρου, θα δείξω πως το είναι το πολύ αριθμήσιμο.
Αφού ο είναι χώρος σ - πεπερασμένου μέτρου υπάρχουν θετικού πεπερασμένου μέτρου
με .
Θέτουμε: τότε η είναι αύξουσα ακολουθία συνόλων και η αριθμήσιμη άπειρη ένωση τους καλύπτει τον . Αν το είναι υπεραριθμήσιμο υπάρχει κάποιος δείκτης έτσι ώστε υπεραριθμήσιμα το πλήθος εκ των να περιέχονται στο .
Έστω τώρα . Τότε εμφανώς το σύνολο: περιέχει όλα τα που περιέχονται στο , άρα κάποιο εκ των υπεραριθμήσιμο.
Αυτό είναι άτοπο καθώς το πλήθος τους μπορεί να είναι το πολύ αφού είναι ξένα ανά δύο , άρα το ζητούμενο έχει δειχθεί.
edit- συμπλήρωση: μπορούμε να πούμε το ίδιο στην περίπτωση όπου έχουμε ξένα ανά δύο υποσύνολα με θετικό εξωτερικό μέτρο;
Δηλαδή δεν υποθέτω την μετρησιμότητα που χρησιμοποιήθηκε στο τελευταίο βήμα
edit 2 : Υπάρχει λάθος , συμπληρώνω από κάτω τις λεπτομέριες, ευχαριστώ τον κύριο Σταύρο που το παρατήρησε.
και οικογένεια ξένων ανά δύο υποσυνόλων της θετικού μέτρου, θα δείξω πως το είναι το πολύ αριθμήσιμο.
Αφού ο είναι χώρος σ - πεπερασμένου μέτρου υπάρχουν θετικού πεπερασμένου μέτρου
με .
Θέτουμε: τότε η είναι αύξουσα ακολουθία συνόλων και η αριθμήσιμη άπειρη ένωση τους καλύπτει τον . Αν το είναι υπεραριθμήσιμο υπάρχει κάποιος δείκτης έτσι ώστε υπεραριθμήσιμα το πλήθος εκ των να περιέχονται στο .
Έστω τώρα . Τότε εμφανώς το σύνολο: περιέχει όλα τα που περιέχονται στο , άρα κάποιο εκ των υπεραριθμήσιμο.
Αυτό είναι άτοπο καθώς το πλήθος τους μπορεί να είναι το πολύ αφού είναι ξένα ανά δύο , άρα το ζητούμενο έχει δειχθεί.
edit- συμπλήρωση: μπορούμε να πούμε το ίδιο στην περίπτωση όπου έχουμε ξένα ανά δύο υποσύνολα με θετικό εξωτερικό μέτρο;
Δηλαδή δεν υποθέτω την μετρησιμότητα που χρησιμοποιήθηκε στο τελευταίο βήμα
edit 2 : Υπάρχει λάθος , συμπληρώνω από κάτω τις λεπτομέριες, ευχαριστώ τον κύριο Σταύρο που το παρατήρησε.
τελευταία επεξεργασία από sot arm σε Τρί Νοέμ 10, 2020 11:41 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Αρμενιάκος Σωτήρης
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
Είσαι σωστός και μερακλής!sot arm έγραψε: ↑Τρί Νοέμ 10, 2020 8:58 pmΣυμπληρώνω αυτό που έλεγα προηγουμένως, συγκεκριμένα έστω: χώρος σ - πεπερασμένου μέτρου
και οικογένεια ξένων ανά δύο υποσυνόλων της θετικού μέτρου, θα δείξω πως το είναι το πολύ αριθμήσιμο.
Αφού ο είναι χώρος σ - πεπερασμένου μέτρου υπάρχουν θετικού πεπερασμένου μέτρου
με .
Θέτουμε: τότε η είναι αύξουσα ακολουθία συνόλων και η αριθμήσιμη άπειρη ένωση τους καλύπτει τον . Αν το είναι υπεραριθμήσιμο υπάρχει κάποιος δείκτης έτσι ώστε υπεραριθμήσιμα το πλήθος εκ των να περιέχονται στο .
Έστω τώρα . Τότε εμφανώς το σύνολο: περιέχει όλα τα που περιέχονται στο , άρα κάποιο εκ των υπεραριθμήσιμο.
Αυτό είναι άτοπο καθώς το πλήθος τους μπορεί να είναι το πολύ αφού είναι ξένα ανά δύο , άρα το ζητούμενο έχει δειχθεί.
edit- συμπλήρωση: μπορούμε να πούμε το ίδιο στην περίπτωση όπου έχουμε ξένα ανά δύο υποσύνολα με θετικό εξωτερικό μέτρο;
Δηλαδή δεν υποθέτω την μετρησιμότητα που χρησιμοποιήθηκε στο τελευταίο βήμα.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
Γεια σου Σωτήρη.sot arm έγραψε: ↑Τρί Νοέμ 10, 2020 8:58 pmΣυμπληρώνω αυτό που έλεγα προηγουμένως, συγκεκριμένα έστω: χώρος σ - πεπερασμένου μέτρου
και οικογένεια ξένων ανά δύο υποσυνόλων της θετικού μέτρου, θα δείξω πως το είναι το πολύ αριθμήσιμο.
Αφού ο είναι χώρος σ - πεπερασμένου μέτρου υπάρχουν θετικού πεπερασμένου μέτρου
με .
Θέτουμε: τότε η είναι αύξουσα ακολουθία συνόλων και η αριθμήσιμη άπειρη ένωση τους καλύπτει τον . Αν το είναι υπεραριθμήσιμο υπάρχει κάποιος δείκτης έτσι ώστε υπεραριθμήσιμα το πλήθος εκ των να περιέχονται στο .
Έστω τώρα . Τότε εμφανώς το σύνολο: περιέχει όλα τα που περιέχονται στο , άρα κάποιο εκ των υπεραριθμήσιμο.
Αυτό είναι άτοπο καθώς το πλήθος τους μπορεί να είναι το πολύ αφού είναι ξένα ανά δύο , άρα το ζητούμενο έχει δειχθεί.
edit- συμπλήρωση: μπορούμε να πούμε το ίδιο στην περίπτωση όπου έχουμε ξένα ανά δύο υποσύνολα με θετικό εξωτερικό μέτρο;
Δηλαδή δεν υποθέτω την μετρησιμότητα που χρησιμοποιήθηκε στο τελευταίο βήμα.
Το παρακάτω δεν ισχύει
Μπορεί και κανένα να μην περιέχεται.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
τοstranger έγραψε: ↑Δευ Νοέμ 09, 2020 11:32 pmΈστω .
Δείξτε ότι η είναι Lipshitz με σταθερά αν και μόνο αν είναι απόλυτα συνεχής και σχεδόν παντού για στο .
Σημείωση: H είναι Lipshitz με σταθερά ανν για κάθε .
Υπάρχει υπεραριθμήσιμη οικογένεια ξένων ανά δυο υποσυνόλων του που το καθένα από αυτά έχει θετικό μέτρο Lebesgue;
Έστω .
Δείξτε ότι η είναι Lipshitz με σταθερά αν και μόνο αν είναι απόλυτα συνεχής και σχεδόν παντού για στο .
δεν ισχύει.
π.χ πάρε
Διορθώνεται βέβαια.
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
Νομίζω πως κάνεις λάθος. H δεν είναι Lipshitz.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τρί Νοέμ 10, 2020 10:57 pmτοstranger έγραψε: ↑Δευ Νοέμ 09, 2020 11:32 pmΈστω .
Δείξτε ότι η είναι Lipshitz με σταθερά αν και μόνο αν είναι απόλυτα συνεχής και σχεδόν παντού για στο .
Σημείωση: H είναι Lipshitz με σταθερά ανν για κάθε .
Υπάρχει υπεραριθμήσιμη οικογένεια ξένων ανά δυο υποσυνόλων του που το καθένα από αυτά έχει θετικό μέτρο Lebesgue;
Έστω .
Δείξτε ότι η είναι Lipshitz με σταθερά αν και μόνο αν είναι απόλυτα συνεχής και σχεδόν παντού για στο .
δεν ισχύει.
π.χ πάρε
Διορθώνεται βέβαια.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
Γεια σας , πιθανώς να χάνω κάτι, αλλά δεν το βλέπω.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τρί Νοέμ 10, 2020 10:52 pmΓεια σου Σωτήρη.sot arm έγραψε: ↑Τρί Νοέμ 10, 2020 8:58 pmΣυμπληρώνω αυτό που έλεγα προηγουμένως, συγκεκριμένα έστω: χώρος σ - πεπερασμένου μέτρου
και οικογένεια ξένων ανά δύο υποσυνόλων της θετικού μέτρου, θα δείξω πως το είναι το πολύ αριθμήσιμο.
Αφού ο είναι χώρος σ - πεπερασμένου μέτρου υπάρχουν θετικού πεπερασμένου μέτρου
με .
Θέτουμε: τότε η είναι αύξουσα ακολουθία συνόλων και η αριθμήσιμη άπειρη ένωση τους καλύπτει τον . Αν το είναι υπεραριθμήσιμο υπάρχει κάποιος δείκτης έτσι ώστε υπεραριθμήσιμα το πλήθος εκ των να περιέχονται στο .
Έστω τώρα . Τότε εμφανώς το σύνολο: περιέχει όλα τα που περιέχονται στο , άρα κάποιο εκ των υπεραριθμήσιμο.
Αυτό είναι άτοπο καθώς το πλήθος τους μπορεί να είναι το πολύ αφού είναι ξένα ανά δύο , άρα το ζητούμενο έχει δειχθεί.
edit- συμπλήρωση: μπορούμε να πούμε το ίδιο στην περίπτωση όπου έχουμε ξένα ανά δύο υποσύνολα με θετικό εξωτερικό μέτρο;
Δηλαδή δεν υποθέτω την μετρησιμότητα που χρησιμοποιήθηκε στο τελευταίο βήμα.
Το παρακάτω δεν ισχύειΜπορεί και κανένα να μην περιέχεται.
Έχετε αντιπαράδειγμα;
Edit: έχετε δίκιο , το είδα γιατί το φτιαχνω το κομμάτι και επανέρχομαι.
Αρμενιάκος Σωτήρης
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
Φυσικά και δεν είναι .stranger έγραψε: ↑Τρί Νοέμ 10, 2020 11:13 pmΝομίζω πως κάνεις λάθος. H δεν είναι Lipshitz.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τρί Νοέμ 10, 2020 10:57 pmτοstranger έγραψε: ↑Δευ Νοέμ 09, 2020 11:32 pmΈστω .
Δείξτε ότι η είναι Lipshitz με σταθερά αν και μόνο αν είναι απόλυτα συνεχής και σχεδόν παντού για στο .
Σημείωση: H είναι Lipshitz με σταθερά ανν για κάθε .
Υπάρχει υπεραριθμήσιμη οικογένεια ξένων ανά δυο υποσυνόλων του που το καθένα από αυτά έχει θετικό μέτρο Lebesgue;
Έστω .
Δείξτε ότι η είναι Lipshitz με σταθερά αν και μόνο αν είναι απόλυτα συνεχής και σχεδόν παντού για στο .
δεν ισχύει.
π.χ πάρε
Διορθώνεται βέβαια.
Είναι όμως απολύτως συνεχής και
για π.χ
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
Α τώρα το είδα αυτό που λες. έχω ξεχάσει να βάλω απόλυτο.
Σε ευχαριστώ.
edit. Η σωστή εκφώνηση είναι και όχι .
Σε ευχαριστώ.
edit. Η σωστή εκφώνηση είναι και όχι .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
Επανέρχομαι λοιπόν , μπορούμε να θέσουμε διαφορετικά:
Τότε αφού για κάθε έχουμε από την συνέχεια από κάτω του μέτρου.
Το υπόλοιπο επιχείρημα περνάει ατόφιο αφού θα υπάρχει κάποιο με υπεραριθμήσιμο το πλήθος δείκτες και ορίζουμε τα όπως πριν με την διαφορά ότι θέλουμε:
Τότε αφού για κάθε έχουμε από την συνέχεια από κάτω του μέτρου.
Το υπόλοιπο επιχείρημα περνάει ατόφιο αφού θα υπάρχει κάποιο με υπεραριθμήσιμο το πλήθος δείκτες και ορίζουμε τα όπως πριν με την διαφορά ότι θέλουμε:
Αρμενιάκος Σωτήρης
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
Εις άτοπον.
Έστω ότι υπάρχει ώστε για κάθε υπάρχει μετρήσιμο σύνολο με και .
Για κάθε επιλέγουμε σύνολο μετρήσιμο με και .
Έστω το σύνολο .
Τότε το είναι μετρήσιμο και για κάθε .
Όμως όταν .
Άρα . Επίσης το είναι μέτρο.
Άρα αφού η είναι ολοκληρώσιμη έχουμε .
Όμως επειδή το οποίο φέρνει το άτοπο.
Άρα τελικά .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
Δεν είναι η θέση της σε θρεντ Θεωρίας Μέτρου, ούτε η Μιγαδική Ανάλυση (όπως λέει η υπόδειξη) είναι απαραίτητη. Θα δείξω τρόπο χωρίς Μιγαδική διότι με Μιγαδική το εν λόγω παράδειγμα υπάρχει σε όλα τα σχετικά βιβλία, συχνά λυμένο.
Η αλλαγή μεταβλητής δείχνει ότι το δοθέν ολοκλήρωμα ικανοποιεί
. Άρα
Τώρα το μεν πρώτο είναι άμεσο με τόξο εφαπτομένης και το δεύτερο με την αλλαγή μεταβλητής . Τα αφήνω ως άμεσα και γνωστά.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 15 επισκέπτες