Το πολύ 2

KARKAR · #1

$\bigstar$ Η συνάρτηση

είναι δις παραγωγίσιμη , με $f''(x)>0 , \forall x \in \mathbb{R}$ . Δείξτε ότι μια οποιαδήποτε

ευθεία , μπορεί να τέμνει την γραφική παράσταση της

, σε δύο - το πολύ - σημεία .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 01, 2020 9:52 am
$\bigstar$ Η συνάρτηση είναι δις παραγωγίσιμη και κυρτή στο $\mathbb{R}$ . Δείξτε ότι μια οποιαδήποτε

ευθεία , μπορεί να τέμνει την γραφική παράσταση της , σε δύο - το πολύ - σημεία .

Δεν χρειάζεται να είναι δύο φορές παραγωγίσημη.
Περισσότερο μπερδεύει.
Με ευθείες της μορφής x=a

κανένα πρόβλημα .
Εχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο.
Εστω η $y=ax+b,a\neq 0$
Αν η
g(x)=f(x)-ax-b

είχε πάνω από δύο διακεκριμένες ρίζες τότε από Rolle η παράγωγος θα είχε τουλάχιστον
δύο διακεκριμένες ρίζες έστω k,l

Τότε όμως

ΑΤΟΠΟ αφού η

είναι γνησίως αύξουσα.
Το ίδιο ισχύει και για κοίλες

Με τον κανονικό ορισμό της κυρτότητας δεν ισχύει.
Ισχύει ότι αν μια ευθεία τέμνει μια κυρτή τότε τα κοινά σημεία είναι 1 η 2 η ένα διάστημα.

KARKAR · #3

Σταύρο , ευχαριστώ για την λύση και τις παρατηρήσεις . Κάνω και εγώ δύο :

Η ουσιώδης : Στο σχολικό ασχολούμαστε μόνο με δις παραγωγίσιμες συναρτήσεις ( αφού ο ορισμός είναι

διαφορετικός και η κατακόρυφη εφαπτομένη είναι εκτός ύλης ).

Η επουσιώδης : Τα θέματα με αστερίσκο αφήνονται για 24 ώρες , μόνο στους μαθητές ...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 01, 2020 11:58 am
Σταύρο , ευχαριστώ για την λύση και τις παρατηρήσεις . Κάνω και εγώ δύο :

Η ουσιώδης : Στο σχολικό ασχολούμαστε μόνο με δις παραγωγίσιμες συναρτήσεις ( αφού ο ορισμός είναι

διαφορετικός και η κατακόρυφη εφαπτομένη είναι εκτός ύλης ).

Η επουσιώδης : Τα θέματα με αστερίσκο αφήνονται για 24 ώρες , μόνο στους μαθητές ...

Για την επουσιώδη να ζητήσω συγνώμη.Την θεωρώ δε πολύ ουσιώδη.
Καλό είναι Θανάση αντί αστεράκια να το γράφεις.
Το είχα ξαναδεί αλλά δεν το θυμόμουν.

Δεν νομίζω ότι έχει καμία σχέση η κατακόρυφη εφαπτομένη με την κυρτότητα.
Με το σημείο καμπής έχει.
Επίσης το σχολικό πουθενά δεν αναφέρει ότι από την $f''(x)\geq 0$
προκύπτει κυρτότητα και σωστά κάνει γιατί με βάση τον ορισμό του δεν προκύπτει.
Απλά αναφέρει ότι αν είναι f''(x)> 0

είναι κυρτή.
Δεν είναι σωστό όμως ότι για κάθε κυρτή ισχύει f''(x)> 0

.
Δεν βλέπω λοιπόν πως στο συγκεκριμένο θέμα θα χρησιμοποιήθει ότι είναι
δυο φορές παραγωγίσημη.
Αν έχεις λύση που το χρησιμοποιεί γράφτην.

KARKAR · #5

Τα παρακάτω γράφονται για να αναδειχθεί ( κυρίως ) η συμφωνία μου με τον Σταύρο .

: κυρτή.png (7.31 KiB) Προβλήθηκε 1508 φορές

Η συνάρτηση $f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{x^2}{4}+1 , &x\leqslant 2\\ x , & x>2 \end{matrix}\right.$ , είναι κυρτή με τον συνήθη ορισμό αλλά όχι για τα σχολικά μαθηματικά .

Είναι φανερό ότι αυτή είναι συνεχής στο

, παραγωγίσιμη στο

αλλά όχι δις παραγωγίσιμη στο

.

Γι αυτήν λοιπόν υπάρχει ευθεία ( η y=x

) η οποία έχει περισσότερα από δύο ( άπειρα ! ) κοινά σημεία με την $C_{f}$ .

Αν στην εκφώνηση δεν δίνεται το "δις παραγωγίσιμη" , ενδέχεται κάποιος που γνωρίζει μόνον τον "κανονικό" ορισμό

να ισχυρισθεί ότι το ζητούμενο είναι λάθος .

Η παρατήρηση για την κατακόρυφη εφαπτομένη , έγινε μόνο σαν υπενθύμιση ότι - για την σχολική πραγματικότητα -

στο κομμάτι "Κυρτότητα - Σημεία καμπής " , πρακτικά ασχολούμαστε μόνο με δις παραγωγίσιμες συναρτήσεις .

Al.Koutsouridis · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 01, 2020 9:52 am
$\bigstar$ Η συνάρτηση είναι δις παραγωγίσιμη και κυρτή στο $\mathbb{R}$ . Δείξτε ότι μια οποιαδήποτε

ευθεία , μπορεί να τέμνει την γραφική παράσταση της , σε δύο - το πολύ - σημεία .

Η εκφώνηση (μπορεί να τέμνει την γραφική παράσταση της

, σε δύο - το πολύ - σημεία) ισχύει γενικά για κυρτή συνάρτηση (όχι μόνο για τις δις παραγωγίσιμες) αν αντικαταστήσουμε το οποιαδήποτε ευθεία με, οποιαδήποτε ευθεία που διέρχεται από δυο σημεία με τεταγμένες μεγαλύτερες από τις τεταγμένες της

στις αντίστοιχες τετμημένες.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 04, 2020 1:36 pm
Τα παρακάτω γράφονται για να αναδειχθεί ( κυρίως ) η συμφωνία μου με τον Σταύρο .κυρτή.png

Η συνάρτηση $f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{x^2}{4}+1 , &x\leqslant 2\\ x , & x>2 \end{matrix}\right.$ , είναι κυρτή με τον συνήθη ορισμό αλλά όχι για τα σχολικά μαθηματικά .

Είναι φανερό ότι αυτή είναι συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο αλλά όχι δις παραγωγίσιμη στο .

Γι αυτήν λοιπόν υπάρχει ευθεία ( η ) η οποία έχει περισσότερα από δύο ( άπειρα ! ) κοινά σημεία με την $C_{f}$ .

Αν στην εκφώνηση δεν δίνεται το "δις παραγωγίσιμη" , ενδέχεται κάποιος που γνωρίζει μόνον τον "κανονικό" ορισμό

να ισχυρισθεί ότι το ζητούμενο είναι λάθος .

Η παρατήρηση για την κατακόρυφη εφαπτομένη , έγινε μόνο σαν υπενθύμιση ότι - για την σχολική πραγματικότητα -

στο κομμάτι "Κυρτότητα - Σημεία καμπής " , πρακτικά ασχολούμαστε μόνο με δις παραγωγίσιμες συναρτήσεις .

https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_function

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 04, 2020 1:36 pm
Αν στην εκφώνηση δεν δίνεται το "δις παραγωγίσιμη" , ενδέχεται κάποιος που γνωρίζει μόνον τον "κανονικό" ορισμό

να ισχυρισθεί ότι το ζητούμενο είναι λάθος .

Μα και με δύο φορές παραγωγίσημη είναι λάθος.
Αρκεί να πάρεις την

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
με
$f(x)=0,x\leq 0$

$f(x)=x^{100},x> 0$

Ακόμα και άπειρες φορές παραγωγίσημη να απαιτήσεις είναι λάθος.

Αν θες να το σώσεις τότε πρέπει να απαιτήσεις να είναι γνήσια κυρτή.
Οι κυρτές του σχολείου είναι γνήσια κυρτές.

KARKAR · #8

Σωστά ! Διορθώνω την εκφώνηση : Αντικαθιστώ το κυρτή , με το f''(x)>0

.

Ας αποφύγουμε τον όρο γνήσια κυρτή , διότι δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο .

Το πολύ 2

Το πολύ 2

Re: Το πολύ 2

Re: Το πολύ 2

Re: Το πολύ 2

Re: Το πολύ 2

Re: Το πολύ 2

Re: Το πολύ 2

Re: Το πολύ 2

Μέλη σε σύνδεση