Υπερήλικη
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
Re: Υπερήλικη
Μια πρώτη προσέγγιση θα ήταν να γίνει ανάπτυγμα Taylor της , όπου
Ετσι η αρχική μελετάται με την πολυωνυμική της "προσέγγιση" και το αποτέλεσμα για λόγους οικονομίας χώρου και πράξεων είναι στην εικόνα Στη δεύτερη προσέγγιση λύσης θεωρούμε την αρχική , , συνεχής και παραγωγίσιμη στο παραπάνω διάστημα με και
(DLH)
Χρησιμοποιώντας κριτήριο παρεμβολής
με και , το αποίο αποδεικνύεται εύκολα μέσω μελέτης και .
Εφόσον για κάθε , τότε .
Ετσι η αρχική μελετάται με την πολυωνυμική της "προσέγγιση" και το αποτέλεσμα για λόγους οικονομίας χώρου και πράξεων είναι στην εικόνα Στη δεύτερη προσέγγιση λύσης θεωρούμε την αρχική , , συνεχής και παραγωγίσιμη στο παραπάνω διάστημα με και
(DLH)
Χρησιμοποιώντας κριτήριο παρεμβολής
με και , το αποίο αποδεικνύεται εύκολα μέσω μελέτης και .
Εφόσον για κάθε , τότε .
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Υπερήλικη
Δεν βλέπω κάτι δύσκολο στην άσκηση. Ο παρονομαστής στο μεσαίο κλάσμα είναι θετικός στο Πολλαπλασιάζοντας με αυτόν σε κάθε μέλος παίρνουμε δύο ανισότητες που πρέπει να δείξουμε. Στην δεξιά ανισότητα τα φέρνουμε όλα μπροστά οπότε αρκεί να δείξουμε Θεωρώντας το τελευταίο ως συνάρτηση του και με έναν πίνακα μονοτονίας, πέφτοντας μέχρι τη 2η παραγωγό, βλέπουμε ότι αυτή ισχύει.Το ίδιο και η άλλη ανισότητα.
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Υπερήλικη
Επειδή ένας φίλος μου έγραψε σε μήνυμα ότι αυτά που λέω παραπάνω δεν στέκουν και η άσκηση
δεν βγαίνει τόσο απλά γράφω μια λύση με σχολικά εργαλεία. Ο λόγος που δεν έβαλα λύση το πρωί
δεν είναι ότι σνόμπαρα την άσκηση ως απλή αλλά ότι δεν είχα δυνατότητα να παρουσιάσω πινακάκια σε Latex.
Θα τα επισυνάψω σε χειρόγραφες εικόνες οπότε ζητώ προκαταβολικά συγνώμη αν βγαίνω εκτός κανονισμών.
Λύση
Πολλαπλασιάζοντας με παίρνουμε την διπλή ανισότητα
Οπότε έχουμε να αποδείξουμε τις εξής:
και
Για την πρώτη θεωρώντας τη συνάρτηση έχουμε:
και
Μπορούμε εύκολα να διακρίνουμε ότι η έχει δύο μόνο ρίζες .
Για βρίσκουμε εύκολα το πρόσημο της .
Επίσης έχουμε τις προφανείς ρίζες της και τις επίσης προφανείς
ρίζες της Συμπληρώνουμε στο πινακάκι τα παραπάνω και το πρόσημο
της και τα υπόλοιπα είναι τετριμμένα. Στο πρώτο πινακάκι έχουμε τα συμπεράσματα.
Για τη δεύτερη θεωρώντας τη συνάρτηση έχουμε:
και
Μπορούμε εύκολα να διακρίνουμε ότι η έχει δύο μόνο ρίζες .
Για βρίσκουμε εύκολα το πρόσημο της . Η έχει
προφανή ρίζα το και η τις Συμπληρώνουμε τις ρίζες
των στο πινακάκι και τo πρόσημο της Τα υπόλοιπα τώρα είναι απλά.
Στο δεύτερο πινακάκι έχουμε τα αποτελέσματα.
δεν βγαίνει τόσο απλά γράφω μια λύση με σχολικά εργαλεία. Ο λόγος που δεν έβαλα λύση το πρωί
δεν είναι ότι σνόμπαρα την άσκηση ως απλή αλλά ότι δεν είχα δυνατότητα να παρουσιάσω πινακάκια σε Latex.
Θα τα επισυνάψω σε χειρόγραφες εικόνες οπότε ζητώ προκαταβολικά συγνώμη αν βγαίνω εκτός κανονισμών.
Λύση
Πολλαπλασιάζοντας με παίρνουμε την διπλή ανισότητα
Οπότε έχουμε να αποδείξουμε τις εξής:
και
Για την πρώτη θεωρώντας τη συνάρτηση έχουμε:
και
Μπορούμε εύκολα να διακρίνουμε ότι η έχει δύο μόνο ρίζες .
Για βρίσκουμε εύκολα το πρόσημο της .
Επίσης έχουμε τις προφανείς ρίζες της και τις επίσης προφανείς
ρίζες της Συμπληρώνουμε στο πινακάκι τα παραπάνω και το πρόσημο
της και τα υπόλοιπα είναι τετριμμένα. Στο πρώτο πινακάκι έχουμε τα συμπεράσματα.
Για τη δεύτερη θεωρώντας τη συνάρτηση έχουμε:
και
Μπορούμε εύκολα να διακρίνουμε ότι η έχει δύο μόνο ρίζες .
Για βρίσκουμε εύκολα το πρόσημο της . Η έχει
προφανή ρίζα το και η τις Συμπληρώνουμε τις ρίζες
των στο πινακάκι και τo πρόσημο της Τα υπόλοιπα τώρα είναι απλά.
Στο δεύτερο πινακάκι έχουμε τα αποτελέσματα.
- Συνημμένα
-
- 1.JPG (89.22 KiB) Προβλήθηκε 558 φορές
-
- 2.JPG (113.39 KiB) Προβλήθηκε 558 φορές
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες