Εγγραφή 2

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Να εγγραφή εις δοθέν ημικύκλιον τετράπλευρο όμοιον προς δοθέν ώστε ,
δύο εκ των κορυφών αυτού να κείνται επί της διαμέτρου και αι άλλαι επί του κύκλου.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΤΟΜΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟΣ
Ι.ΙΩΑΝΝΙΔΗ
1968

[S.E.Louridas]

Να εγγραφή εις δοθέν ημικύκλιον τετράπλευρο όμοιον προς δοθέν ώστε ,
δύο εκ των κορυφών αυτού να κείνται επί της διαμέτρου και αι άλλαι επί του κύκλου.

Καταρχάς θεωρούμε το δοθέν ημικύκλιο κέντρου και διαμέτρου
Από την κλάση των όμοιων τετράπλευρων θεωρούμε ένα, έστω το Κατασκευάζουμε τώρα την μεσοκάθετη , της μίας πλευράς, έστω της με το μέσον της , που τέμνει την πλευρά στο σημείο Τότε προκύπτει το ισοσκελές τρίγωνο και η γωνία Πάμε τώρα στο ημικύκλιο και θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο , ώστε , και . H συνέχεια πλέον για την κατασκευή του ζητούμενου είναι στοιχειώδης, αφού

pap.png (19.4 KiB) Προβλήθηκε 972 φορές

[min##]

Τι φάση με το φάκελο
(Φιλικά πάντα)
Δεν έχω να προσθέσω λύση (το ίδιο έκανα περίπου)

Υγ. Πάντως αν κρίνουμε με βάση το σήμερα..

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Να εγγραφή εις δοθέν ημικύκλιον τετράπλευρο όμοιον προς δοθέν ώστε ,
δύο εκ των κορυφών αυτού να κείνται επί της διαμέτρου και αι άλλαι επί του κύκλου.

Καταρχάς θεωρούμε το δοθέν ημικύκλιο κέντρου και διαμέτρου
Από την κλάση των όμοιων τετράπλευρων θεωρούμε ένα, έστω το Κατασκευάζουμε τώρα την μεσοκάθετη , της μίας πλευράς, έστω της με το μέσον της , που τέμνει την πλευρά στο σημείο Τότε προκύπτει το ισοσκελές τρίγωνο και η γωνία Πάμε τώρα στο ημικύκλιο και θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο , ώστε , και . H συνέχεια πλέον για την κατασκευή του ζητούμενου είναι στοιχειώδης, αφού pap.png

Καλημέρα Σωτήρη.
Υπάρχει πρόβλημα.
Από που γνωρίζεις ότι είναι μικρότερα η ίσα του ;

[S.E.Louridas]

Να εγγραφή εις δοθέν ημικύκλιον τετράπλευρο όμοιον προς δοθέν ώστε ,
δύο εκ των κορυφών αυτού να κείνται επί της διαμέτρου και αι άλλαι επί του κύκλου.

Καταρχάς θεωρούμε το δοθέν ημικύκλιο κέντρου και διαμέτρου
Από την κλάση των όμοιων τετράπλευρων θεωρούμε ένα, έστω το Κατασκευάζουμε τώρα την μεσοκάθετη , της μίας πλευράς, έστω της με το μέσον της , που τέμνει την πλευρά στο σημείο Τότε προκύπτει το ισοσκελές τρίγωνο και η γωνία Πάμε τώρα στο ημικύκλιο και θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο , ώστε , και . H συνέχεια πλέον για την κατασκευή του ζητούμενου είναι στοιχειώδης, αφού pap.png

Καλημέρα Σωτήρη.
Υπάρχει πρόβλημα.
Από που γνωρίζεις ότι είναι μικρότερα η ίσα του ;

Καλημέρα φίλε Σταύρο.
Θα ήθελα να αναφέρω ότι η διαδικασία για την κατασκευή ενός σχήματος αποτελείται από τις κινήσεις, ΑΝΑΛΥΣΗ, Σύνθεση ή Κατασκευή, Απόδειξη, Διερεύνηση. Οι διαδικασίες Σύνθεση ή Κατασκευή, Απόδειξη, Διερεύνηση, είναι εξαρτώμενες από την Ανάλυση, για τούτο και ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΊΝΑΙ Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΊΑ στην οποία πρέπει να στηριζόμαστε, εδώ η Ανάλυση οδηγεί άμεσα στην επιλογή μεθόδου: σύνθεση στροφής (καθότι δεν γνωρίζουμε την θέση του δοθέντος τετραπλεύρου) και ομοιοθεσίας. Όμως μία σπουδαία διαδικασία, επίσης καθοριστική, είναι αυτή που λέμε ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ και που μας λέει, πότε το πρόβλημα ΔΕΝ έχει λύση, πότε έχει λύση και μάλιστα εξετάζει το μονοσήμαντο ή όχι της λύσης αυτής. Άρα στην Ανάλυση ξεκινάμε από το δεδομένο: ΑΝ ΤΟ ΠΡΌΒΛΗΜΑ ΈΧΕΙ ΛΎΣΗ, τότε, …..και παραγάγουμε ικανές συνθήκες που θα μας οδηγήσουν στην σύνθεση. Έτσι φίλε Σταύρο ένα πρόβλημα κατασκευής πιθανόν να εντάσσεται στο να έχει λύση και αν έχει πότε είναι μοναδική και πότε όχι μοναδική ή στο να μην έχει λύση αν τα δεδομένα έχουν ειδική μορφή. Για παράδειγμα αν μας δώσουν τρία ευθύγραμμα τμήματα εν γένει κατασκευάζεται τρίγωνο που τα έχει ως πλευρές του, αλλά αν τύχει π.χ. , το πρόβλημα κατασκευαστικά είναι αδύνατο. Στο πρόβλημα μας τώρα και στο σχήμα που ακολουθεί, αν ένας αντιπρόσωπος της κλάσης των όμοιων τετράπλευρων, από όπου παίρνουμε το δοθέν είναι το ισοσκελές τραπέζιο , τότε το πρόβλημα είναι κατασκευαστικά αδύνατο. Άρα μία ισχυρή κατασκευαστική διαδικασία, με βάση το: Αν το πρόβλημα έχει λύση, τότε,..., είναι αυτή που ανέφερα (αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος). Τώρα για τα περαιτέρω ερωτήματα, όπως αυτό που διατύπωσες, είναι θέμα πλέον της Διερεύνησης.

παπ.png (13.27 KiB) Προβλήθηκε 846 φορές

(*) Απλά να παρατηρήσω, ότι το σημείο στην μέθοδο κατασκευής που πρότεινα και στο βασικό μικρό κάτω σχήμα, μπορεί να είναι και εξωτερικό του ευθύγραμμου τμήματος και να έχουμε λύση.

[george visvikis]

Καλημέρα σε όλους!

Η κατασκευή του Σωτήρη είναι ενδεικτική και δεν παρουσιάζει, επί της ουσίας, κανένα πρόβλημα. Ούτε και η περίπτωση που αναφέρει είναι αδύνατη κατασκευαστικά. Αρκεί να τοποθετήσουμε τα σημεία πάνω στη διάμετρο. Μπορούμε πάντα να επιλέξουμε ποια πλευρά θα είναι τμήμα της διαμέτρου.

Εγγραφή-2.png (10.52 KiB) Προβλήθηκε 819 φορές

[S.E.Louridas]

Καλημέρα σε όλους!

Η κατασκευή του Σωτήρη είναι ενδεικτική και δεν παρουσιάζει, επί της ουσίας, κανένα πρόβλημα. Ούτε και η περίπτωση που αναφέρει είναι αδύνατη κατασκευαστικά. Αρκεί να τοποθετήσουμε τα σημεία πάνω στη διάμετρο. Μπορούμε πάντα να επιλέξουμε ποια πλευρά θα είναι τμήμα της διαμέτρου.
Εγγραφή-2.png

Πράγματι υπάρχει και η περίπτωση αυτή (απλά στην περίπτωση-εξαίρεση που ανέφερα θεώρησα και το επιπλέον δεδομένο της συγκεκριμένης διάταξης, για να δούμε στην πράξη την λειτουργία της ανάλυσης που οδηγεί, αν υπάρχει, στην τεχνική της κατασκευής, και που λόγω της διερεύνησης είναι υπαρκτό το ενδεχόμενο να υπάρχουν δεδομένα που την "απαγορεύουν"), αλλά και αυτή εδώ η ερώτηση του Σταύρου εντάσσεται στο πνεύμα της ΔΕΡΕΥΝΗΣΗΣ (που δεν έκανα) και όχι της κατασκευής που σαφώς αναφέρεται στην κατασκευστική διαδικασία με κανόνα και διαβήτη ως ΚΥΡΙΑΣ μετά την ΑΝΑΛΥΣΗ διαδικασίας στη περίπτωση που το σχήμα κατασκευάζεται. Η κατασκευή ως εκ τούτου που πρότεινα είναι μία σωστή κατασκευή με βάση την ανάλυση που ενυπάρχει στο μεγάλο σχήμα στο δεξιά μέρος.

[S.E.Louridas]

Τελικά και καλώς "μπλέξαμε" με την διερεύνηση. Αυτά "τραβάς" και καλώς όταν έχεις φίλους σαν τον Σταύρο, υψηλής και αυστηρής Μαθηματικής συγκρότησης, κάτι που στην εποχή μας δεν πολύ-ζητιέται πλέον και κακώς.
Τελικά, όπως με πληροφόρησε ο Σταύρος Παπαδόπουλος, πράγματι υπάρχει τουλάχιστον μία περίπτωση που η ζητούμενη αυτή κατασκευή με κανόνα και διαβήτη είναι αδύνατη.
Επαναλαμβάνω ότι προσωπικά δεν ασχολήθηκα επισταμένως με την διερεύνηση που σίγουρα είναι βασικότατο κομμάτι ενός προβλήματος κατασκευής.