Έρευνα
Συντονιστής: Demetres
Έρευνα
Καλησπέρα
Αυτή την περίοδο γράφω ένα ερευνητικό κείμενο στην Θεωρία Αριθμών που έχει σχέση με την εξής ερώτηση:
Αν είναι ένας πρώτος πότε και υπό ποιές συνθήκες έχουμε ότι ο είναι ανάγωγο στοιχείο στην περιοχή των αλγεβρικών ακεραίων ενός αριθμητικού σώματος;
Αν λάβω κάποια ικανοποιητική απάντηση από κάποιον, τότε φυσικά θα παραθέσω το όνομα του στο ερευνητικό κείμενο.
Αυτή την περίοδο γράφω ένα ερευνητικό κείμενο στην Θεωρία Αριθμών που έχει σχέση με την εξής ερώτηση:
Αν είναι ένας πρώτος πότε και υπό ποιές συνθήκες έχουμε ότι ο είναι ανάγωγο στοιχείο στην περιοχή των αλγεβρικών ακεραίων ενός αριθμητικού σώματος;
Αν λάβω κάποια ικανοποιητική απάντηση από κάποιον, τότε φυσικά θα παραθέσω το όνομα του στο ερευνητικό κείμενο.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Έρευνα
Όταν λες ανάγωγο εννοείς irreducible στα αγγλικά; Τώρα για σώματα αριθμών η κατάσταση είναι λίγο πιο πολύπλοκη αν ο class number είναι διαφορετικός από 1! Γενικά στα σώματα αριθμών προτιμάμε να δουλεύουμε με ιδεώδη. Στείλε μου μία σε προσωπικό μήνυμα τι θες να κάνεις και να δω αν μπορώ να σε βοηθήσω.stranger έγραψε: ↑Πέμ Ιουν 25, 2020 4:49 amΚαλησπέρα
Αυτή την περίοδο γράφω ένα ερευνητικό κείμενο στην Θεωρία Αριθμών που έχει σχέση με την εξής ερώτηση:
Αν είναι ένας πρώτος πότε και υπό ποιές συνθήκες έχουμε ότι ο είναι ανάγωγο στοιχείο στην περιοχή των αλγεβρικών ακεραίων ενός αριθμητικού σώματος;
Ας βρούμε απάντηση πρώτα σε αυτό που θες....
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Έρευνα
Λοιπό το σκέφτηκα λίγο παραπάνω και έχω μία ιδέα νομίζω.
Έστω το σώμα αριθμών που δουλεύεις. Ας πούμε ότι ο πρώτος δεν είναι ανάγωγος στο . Τότε υπάρχουν που κανένα δεν είναι unit τέτοια ώστε . Παίρνοντας νόρμες μπορείς να καταλάβεις ότι τα διαιρούνται μόνο από πρώτα ιδεώδη πάνω από το , έστω
,
,
τέτοια ώστε . Από την άλλη, επειδή έχουμε ότι
. Επομένως το Λήμμα είναι το εξής:
Λήμμα: Έστω , πιθανόν με επαναλήψεις. Ο πρώτος είναι ανάγωγος (irreducible) στο αν και μόνο αν για κάθε γνήσιο υποσύνολο ισχύει ότι το ιδεώδες δεν είναι principal.
ΥΓ: Σόρρυ για τη μίξη ελληνικών και αγγλικών αλλά κάποια ορολογία που διαφεύγει στα ελληνικά!
Έστω το σώμα αριθμών που δουλεύεις. Ας πούμε ότι ο πρώτος δεν είναι ανάγωγος στο . Τότε υπάρχουν που κανένα δεν είναι unit τέτοια ώστε . Παίρνοντας νόρμες μπορείς να καταλάβεις ότι τα διαιρούνται μόνο από πρώτα ιδεώδη πάνω από το , έστω
,
,
τέτοια ώστε . Από την άλλη, επειδή έχουμε ότι
. Επομένως το Λήμμα είναι το εξής:
Λήμμα: Έστω , πιθανόν με επαναλήψεις. Ο πρώτος είναι ανάγωγος (irreducible) στο αν και μόνο αν για κάθε γνήσιο υποσύνολο ισχύει ότι το ιδεώδες δεν είναι principal.
ΥΓ: Σόρρυ για τη μίξη ελληνικών και αγγλικών αλλά κάποια ορολογία που διαφεύγει στα ελληνικά!
τελευταία επεξεργασία από bouzoukman σε Παρ Ιουν 26, 2020 9:26 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Re: Έρευνα
Σε ευχαριστώ για την ενασχόλησή σου με αυτό το πρόβλημα. Νομίζω ότι κάτι είναι λάθος στο λήμμα. Οι ακέραιοι του είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών. Άρα σύμφωνα με το λήμμα θα είχαμε ότι δεν υπάρχει πρώτος που είναι ανάγωγο στοιχείο των ακεραίων του που δεν ισχύει αυτό γιατί αυτοί οι πρώτοι είναι ακριβώς αυτοί που είναι.bouzoukman έγραψε: ↑Πέμ Ιουν 25, 2020 4:32 pmΛοιπό το σκέφτηκα λίγο παραπάνω και έχω μία ιδέα νομίζω.
Έστω το σώμα αριθμών που δουλεύεις. Ας πούμε ότι ο πρώτος δεν είναι ανάγωγος στο . Τότε υπάρχουν που κανένα δεν είναι unit τέτοια ώστε . Παίρνοντας νόρμες μπορείς να καταλάβεις ότι τα διαιρούνται μόνο από πρώτα ιδεώδη πάνω από το , έστω
,
,
τέτοια ώστε . Από την άλλη, επειδή έχουμε ότι
. Επομένως το Λήμμα είναι το εξής:
Λήμμα: Έστω , πιθανόν με επαναλήψεις. Ο πρώτος είναι ανάγωγος (irreducible) στο αν και μόνο αν για κάθε υποσύνολο ισχύει ότι το ιδεώδες δεν είναι principal.
ΥΓ: Σόρρυ για τη μίξη ελληνικών και αγγλικών αλλά κάποια ορολογία που διαφεύγει στα ελληνικά!
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Έρευνα
stranger έγραψε: ↑Παρ Ιουν 26, 2020 5:59 amΣε ευχαριστώ για την ενασχόλησή σου με αυτό το πρόβλημα. Νομίζω ότι κάτι είναι λάθος στο λήμμα. Οι ακέραιοι του είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών. Άρα σύμφωνα με το λήμμα θα είχαμε ότι δεν υπάρχει πρώτος που είναι ανάγωγο στοιχείο των ακεραίων του που δεν ισχύει αυτό γιατί αυτοί οι πρώτοι είναι ακριβώς αυτοί που είναι.
Το λήμμα είναι σωστό απλώς είχα ξεχάσει να γράψω ότι το πρέπει να είναι γνήσιο υποσύνολο. Το διόρθωσα τώρα! Οπότε στην περίπτωση που αναφέρεις το λήμμα ισχύει με τετριμμένο τρόπο.
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Re: Έρευνα
Ασχολούμαι μόνο με αριθμητικά σώματα που οι ακέραιοι τους είναι περιοχή μοναδικής παραγοντοποιήσης γιατί χρειάζομαι την έννοια του μέγιστου κοινού διαιρέτη. Άρα το είναι αναγκαστικά περιοχή κυρίων ιδεωδών.bouzoukman έγραψε: ↑Παρ Ιουν 26, 2020 9:28 amΤο λήμμα είναι σωστό απλώς είχα ξεχάσει να γράψω ότι το πρέπει να είναι γνήσιο υποσύνολο. Το διόρθωσα τώρα! Οπότε στην περίπτωση που αναφέρεις το λήμμα ισχύει με τετριμμένο τρόπο.
Οπότε το λήμμα σου μεταφράζεται ότι ο πρώτος είναι ανάγωγος στο αν και μόνο αν το ιδεώδες είναι πρώτο.
Η αλήθεια είναι ότι δεν βοηθάει πολύ αυτό το λήμμα γιατί ουσιαστικά το έχω αποδείξει ήδη χρησιμοποιώντας άλλες μεθόδους.
Όποιος μπορεί να βοηθήσει ας γράψει ένα post εδώ.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Έρευνα
Αν πάντως δουλεύεις σε Αβελιανες επεκτάσεις Galois τότε αφού δουλεύεις σε περιοχή μοναδικής παραγοντοποίησης αυτό που ζητάς είναι ισοδύναμο με το να έχεις ότι το splits completely. Η χρήση Class Field Theory θα σε έσωζε πιστεύω. Γνωρίζω από αυτή τη θεωρία αν θες βοήθεια.
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Re: Έρευνα
Ερώτηση:
Έστω .Για ποια υπάρχει υπακολουθία της που να συγκλίνει στο ;
Έστω .Για ποια υπάρχει υπακολουθία της που να συγκλίνει στο ;
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Έρευνα
Ενδιαφέρον πρόβλημα! Έχεις λύση ή όχι; Η διαίσθηση μου λέει ότι η απάντηση είναι ναι αλλά δεν έχω ιδέα για απόδειξη. Πώς προέκυψε;
Αξίζει να την βάλεις στο φόρουμ πιστεύω!
Αξίζει να την βάλεις στο φόρουμ πιστεύω!
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Re: Έρευνα
Δεν έχω λύση. Προέκυψε από την έρευνά μου και γιαυτό το ρώτησα για να με βοηθήσει στην έρευνά μου.
Δεν μπορώ να βάλω τις λεπτομέρειες για ευνόητους λόγους.
Οποιός βρει έστω και μια μερική λύση ας απαντήσει.
Δεν μπορώ να βάλω τις λεπτομέρειες για ευνόητους λόγους.
Οποιός βρει έστω και μια μερική λύση ας απαντήσει.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Έρευνα
Καμία πρόοδο σε αυτό
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Re: Έρευνα
Το πρόβλημα είναι δύσκολο.
Για παράδειγμα αν δείξουμε ότι για έναν αριθμό δεν υπάρχει υπακολουθία της ώστε να συγκλίνει στο , τότε χρησιμοποιώντας την ταυτότητα παίρνουμε ότι υπάρχουν πεπερασμένοι το πλήθος ώστε , κάτι που είναι δύσκολο να δείξεις.
Για παράδειγμα αν δείξουμε ότι για έναν αριθμό δεν υπάρχει υπακολουθία της ώστε να συγκλίνει στο , τότε χρησιμοποιώντας την ταυτότητα παίρνουμε ότι υπάρχουν πεπερασμένοι το πλήθος ώστε , κάτι που είναι δύσκολο να δείξεις.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες