Εύρεση ακτίνας, κόβοντας..δρόμο!

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ! Ό,τι ακολουθεί είναι -προφανώς- μακρυά από την ιστορική αλήθεια.

Πριν αρκετούς .. αιώνες ο Εύδοξος βρέθηκε αντιμέτωπος με το εξής πρόβλημα:

Για τις πλευρές τριγώνου ισχύουν οι σχέσεις:

$\left ( ab \right )^{2}+\left ( ac \right )^{2}+\left ( bc \right )^{2}=12.304$ και

$a^{4}+b^{4}+c^{4}=15.392$

Ζητείται η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου.

Η κόρη του η Δελφίς, βλέποντας τον έτοιμο να παραιτηθεί , το μελέτησε αυτή και λίγο αργότερα του δήλωσε πασιχαρής:

<< Με λίγες πράξεις βρήκα την ακτίνα.. είναι μάλιστα ακέραιος αριθμός!>>

Πώς άραγε να τα κατάφερε η Δελφίς , χωρίς βεβαίως (το δικό μας) κομπιουτεράκι;

Σας ευχαριστώ, Γιώργος

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 28, 2020 11:47 pm

Για τις πλευρές τριγώνου ισχύουν οι σχέσεις:

$\left ( ab \right )^{2}+\left ( ac \right )^{2}+\left ( bc \right )^{2}=12.304$ και

$a^{4}+b^{4}+c^{4}=15.392$

Ζητείται η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου.

Από τον τύπο του Ήρωνα σε ισοδύναμη μορφή βρίσκουμε το

$\displaystyle{E=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}}$ και τώρα από το $E= \dfrac {abc}{4R}$ βρίσκουμε το

.

Οι πράξεις άμεσες, αλλά τις αφήνω. Δεν είναι τόσο πολλές αν βγάλουμε κοινούς παράγοντες στα δεδομένα νούμερα: Π.χ. το 2^4

είναι κοινός παράγοντας στα $12394,\, 15392$ . Με το μάτι (και με οδηγό το γεγονός ότι η Δελφίς ισχυρίζεται ότι η απάντηση είναι ακέραιος) το

βγαίνει μονοψήφιος περιττός αριθμός.

#3

Κάνω τις πράξεις που δεν έκανα χθες βράδυ:

Είναι $12304 = 2\times 6152 = 2^2\times 3076 = 2^3\times 1538=2^4\times 769$ και

$15392 = 2\times 7696 = 2^2\times 3848 = 2^3\times 1924=2^4\times 962 =2^5\times 481$ . Άρα

$\displaystyle{E=\frac{1}{4}\sqrt{2^5\times 769-2^5\times 481}}=\sqrt{2( 769- 481)}= \sqrt{2\times 288}= \sqrt {4\times 144} = 2\times 12 = 24$

Άρα $\displaystyle{ 24 = \dfrac {abc}{4R}= \dfrac {480}{4R}= \dfrac {120}{R}}$ , οπότε R=5

.

#4

Πώς και δεν κατάλαβε ο Εύδοξος ότι μιλάμε για το τρίγωνο 6-8-10;

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλημέρα! Ακόμη ένα ευχαριστώ στον κ. Μιχάλη για την άμεση λύση
και βεβαίως για τον διδακτικό τρόπο υπολογισμών χωρίς το κομπιουτεράκι!

Αν θέσουμε abc=p

... $\left ( ab \right )^{2}+\left ( bc \right )^{2}+\left ( ac \right )^{2}=m$ και $a^{4}+b^{4}+c^{4}=n$ από τους ως άνω τύπους παίρνουμε $R=\dfrac{p}{\sqrt{2m-n}}$ . Με δομένα τα p,m,n

υπολογίζουμε προφανώς την ακτίνα

.

Πράγματι Γιώργο, για την δημιουργία του θέματος θεώρησα το γνωστό (ορθογώνιο) τρίγωνο με πλευρές .

Υπολόγισα τα m=12304

και

που έδωσαν και με τον ως άνω τύπο του Ήρωνα το αναμενόμενο εμβαδόν $E=\dfrac{8 \cdot 6}{2}=24$ ,
αλλά και την ακτίνα όπου ο τύπος έδωσε το εξ' αρχής γνωστό $R=\dfrac{10}{2}=5$ .

Αν βεβαίως μιλάμε για τον Εύδοξο από την Κνίδο τότε ..

.. ο ψόγος περί παραίτησης απο μαθηματικό πρόβλημα
ασφαλώς και δεν τον αγγίζει!

Φιλικά, Γιώργος.

Εύρεση ακτίνας, κόβοντας..δρόμο!

Εύρεση ακτίνας, κόβοντας..δρόμο!

Re: Εύρεση ακτίνας, κόβοντας..δρόμο!

Re: Εύρεση ακτίνας, κόβοντας..δρόμο!

Re: Εύρεση ακτίνας, κόβοντας..δρόμο!

Re: Εύρεση ακτίνας, κόβοντας..δρόμο!

Μέλη σε σύνδεση