Τεστ Εξάσκησης!
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Τεστ Εξάσκησης!
Ένα τεστ εξάσκησης για Μεγάλους.
Όλες οι ασκήσεις είναι δικής μου κατασκευής.
Enjoy them!
Πρόβλημα 1
Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί . Ο Δημήτρης κάνει την εξής κίνηση:
Επιλέγει δύο διαφορετικούς μεταξύ τους αριθμούς του πίνακα, που είναι ισοϋπόλοιποι , τους σβήνει και τους αντικαθιστά γράφοντας δύο φορές τον μέσο όρο τους (έτσι αν επιλέξει τους , τους σβήνει και γράφει ).
Ορίζουμε ως αξία του πίνακα, το άθροισμα των τετράγωνων των αριθμών του πίνακα. Έτσι, η αξία του πίνακα στην αρχή είναι . Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της αξίας του πίνακα μετά από κινήσεις.
Πρόβλημα 2
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του θετικού ακέραιου , ώστε να ικανοποιούνται οι δύο παρακάτω συνθήκες:
υπάρχει θετικός ακέραιος , σχετικά πρώτος με τον , ώστε ο να είναι τέλειο τετράγωνο.
Πρόβλημα 3
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο και τα ύψη τους. Έστω το σημείο τομής της με τον περιγεγραμμένο κύκλο του με το να ανήκει στο μικρό τόξο . Αν τέλος το σημείο τομής της με τον , να δείξετε την πιο κάτω ισοδυναμία:
αρμονικό τετράπλευρο.
Πρόβλημα 4
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις , ώστε:
, για κάθε .
Edit: Προσθήκη στο Πρόβλημα 2 ... (η αρχική μορφή της εκφώνησης καθιστούσε το πρόβλημα προφανές καθώς αρκούσε να επιλέξουμε ...
Όλες οι ασκήσεις είναι δικής μου κατασκευής.
Enjoy them!
Πρόβλημα 1
Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί . Ο Δημήτρης κάνει την εξής κίνηση:
Επιλέγει δύο διαφορετικούς μεταξύ τους αριθμούς του πίνακα, που είναι ισοϋπόλοιποι , τους σβήνει και τους αντικαθιστά γράφοντας δύο φορές τον μέσο όρο τους (έτσι αν επιλέξει τους , τους σβήνει και γράφει ).
Ορίζουμε ως αξία του πίνακα, το άθροισμα των τετράγωνων των αριθμών του πίνακα. Έτσι, η αξία του πίνακα στην αρχή είναι . Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της αξίας του πίνακα μετά από κινήσεις.
Πρόβλημα 2
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του θετικού ακέραιου , ώστε να ικανοποιούνται οι δύο παρακάτω συνθήκες:
υπάρχει θετικός ακέραιος , σχετικά πρώτος με τον , ώστε ο να είναι τέλειο τετράγωνο.
Πρόβλημα 3
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο και τα ύψη τους. Έστω το σημείο τομής της με τον περιγεγραμμένο κύκλο του με το να ανήκει στο μικρό τόξο . Αν τέλος το σημείο τομής της με τον , να δείξετε την πιο κάτω ισοδυναμία:
αρμονικό τετράπλευρο.
Πρόβλημα 4
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις , ώστε:
, για κάθε .
Edit: Προσθήκη στο Πρόβλημα 2 ... (η αρχική μορφή της εκφώνησης καθιστούσε το πρόβλημα προφανές καθώς αρκούσε να επιλέξουμε ...
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Κυρ Μαρ 08, 2020 5:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Τεστ Εξάσκησης!
Καλησπέρα Ορέστη.
4.Συμβολίζω με τη σχέση.
Αρχικά είναι απλό πως η είναι και επί.
Έχω:
από όπου (αφού η είναι ).
Το τώρα, δίνει πως περιττή.
Έτσι,το δίνει .
Για μπορώ να έχω για οποιοδήποτε με κατάλληλο ( επί..).Ακόμα,για το παίρνει την τιμή που απομένει.
Μ'αυτά και μ'αυτά,η παραπάνω ανάγεται στην .
Συνεπώς,η γίνεται .
Από το προκύπτει τελικά πως η είναι γραμμική.
Αντικαθιστώντας στην αρχική,μόνο η επαληθεύει κλπ.
υγ...Και κατασκευαστής ο δικός σου Μπράβο..
4.Συμβολίζω με τη σχέση.
Αρχικά είναι απλό πως η είναι και επί.
Έχω:
από όπου (αφού η είναι ).
Το τώρα, δίνει πως περιττή.
Έτσι,το δίνει .
Για μπορώ να έχω για οποιοδήποτε με κατάλληλο ( επί..).Ακόμα,για το παίρνει την τιμή που απομένει.
Μ'αυτά και μ'αυτά,η παραπάνω ανάγεται στην .
Συνεπώς,η γίνεται .
Από το προκύπτει τελικά πως η είναι γραμμική.
Αντικαθιστώντας στην αρχική,μόνο η επαληθεύει κλπ.
υγ...Και κατασκευαστής ο δικός σου Μπράβο..
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης!
Καλησπέρα Ορέστη!Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 07, 2020 1:42 pmΠρόβλημα 1
Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί . Ο Δημήτρης κάνει την εξής κίνηση:
Επιλέγει δύο διαφορετικούς μεταξύ τους αριθμούς του πίνακα, που είναι ισοϋπόλοιποι , τους σβήνει και τους αντικαθιστά γράφοντας δύο φορές τον μέσο όρο τους (έτσι αν επιλέξει τους , τους σβήνει και γράφει ).
Ορίζουμε ως αξία του πίνακα, το άθροισμα των τετράγωνων των αριθμών του πίνακα. Έτσι, η αξία του πίνακα στην αρχή είναι . Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της αξίας του πίνακα μετά από κινήσεις.
Έστω ότι σε κάποιο βήμα έχουμε επιλέξει τους με .Τότε αν η προηγούμενη αξία του πίνακα τότε η νέα θα είναι
Άρα όσο μικραίνει το τόσο θα μεγαλώνει η νέα αξία( η οποία όμως πάντα θα είναι μικρότερη του ).
Επειδή είναι .Έτσι σε κάθε βήμα η αξία του πίνακα μειώνεται κατά τουλάχιστον .
Έτσι αν κάνουμε τις παρακάτω κινήσεις θα βρούμε την μέγιστη αξία μετά από κινήσεις:
Ο τελευταίος πίνακας έχει αξία .
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης!
Γεωμε3:
Εξετάζουμε τις 2 υποθέσεις ξεχωριστά για αρχή :
H ισότητα ισοδυναμεί με την εγγραψιμότητα του .
Πράγματι, διότι .
Η υπόθεση αρμονικό ισοδυναμεί με την ισότητα (απλά προβάλλουμε το τετράπλευρο από το στην .)
Ισοδυναμεί λοιπόν με ή από με εγγράψιμο,όπου .
Θέμε να δείξουμε πως από τη μια εγγραψιμότητα έπεται η άλλη.
Αρκεί από Ριζικούς άξονες νδο. οι είναι συντρέχουσες.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε την εγγραψιμότητα του .(η αντίστροφη πορεία προκύπτει εύκολα με βάση τα παρακάτω).
Ας είναι τα συμμετρικά των ως προς το αντίστοιχα.
Από υπόθεση ( εγγράψιμο/ παράλληλες) βλέπουμε πως .
Λόγω συμμετρίας,το είναι το Ορθόκεντρο του και το είναι εγγράψιμο.
Είναι γνωστό ότι η τομή των -το δηλαδή-ανήκει στη διάμεσο του ως προς .
Αφού λοιπόν λόγω συμμετρίας τα είναι συνευθειακά,προκύπτει ότι το είναι το μέσον της .
Πάλι λόγω συμμετρίας τα είναι συνευθειακά,οπότε πάλι από γνωστή πρόταση .
Από ριζικούς άξονες () ή συμμετρία έπεται ότι συνευθειακά,οπότε ως γνωστόν
το είναι το αρμονικό συζυγές του ως προς τα .
Έτσι, και συνευθειακά,δηλαδή οι συντρέχουν στο που είναι το ζητούμενο..
Εξετάζουμε τις 2 υποθέσεις ξεχωριστά για αρχή :
H ισότητα ισοδυναμεί με την εγγραψιμότητα του .
Πράγματι, διότι .
Η υπόθεση αρμονικό ισοδυναμεί με την ισότητα (απλά προβάλλουμε το τετράπλευρο από το στην .)
Ισοδυναμεί λοιπόν με ή από με εγγράψιμο,όπου .
Θέμε να δείξουμε πως από τη μια εγγραψιμότητα έπεται η άλλη.
Αρκεί από Ριζικούς άξονες νδο. οι είναι συντρέχουσες.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε την εγγραψιμότητα του .(η αντίστροφη πορεία προκύπτει εύκολα με βάση τα παρακάτω).
Ας είναι τα συμμετρικά των ως προς το αντίστοιχα.
Από υπόθεση ( εγγράψιμο/ παράλληλες) βλέπουμε πως .
Λόγω συμμετρίας,το είναι το Ορθόκεντρο του και το είναι εγγράψιμο.
Είναι γνωστό ότι η τομή των -το δηλαδή-ανήκει στη διάμεσο του ως προς .
Αφού λοιπόν λόγω συμμετρίας τα είναι συνευθειακά,προκύπτει ότι το είναι το μέσον της .
Πάλι λόγω συμμετρίας τα είναι συνευθειακά,οπότε πάλι από γνωστή πρόταση .
Από ριζικούς άξονες () ή συμμετρία έπεται ότι συνευθειακά,οπότε ως γνωστόν
το είναι το αρμονικό συζυγές του ως προς τα .
Έτσι, και συνευθειακά,δηλαδή οι συντρέχουν στο που είναι το ζητούμενο..
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης!
Με επιφυλάξεις...Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 07, 2020 1:42 pm
Πρόβλημα 2
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του θετικού ακέραιου , ώστε να ικανοποιούνται οι δύο παρακάτω συνθήκες:
υπάρχει θετικός ακέραιος , σχετικά πρώτος με τον , ώστε ο να είναι τέλειο τετράγωνο.
Έστω .Οπότε έχουμε 2 περιπτώσεις:
- με
Με αντικατάσταση του παίρνουμε και επειδή θα είναι .Άρα θέλουμε .Επειδή πρέπει .
Θεωρώ το παραπάνω ως τριώνυμο του οπότε η διακρίνουσα πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο ,έστω
.Είναι ,από όπου εύκολα .
Είναι .Άρα ελέγχουμε την περίπτωση .Θα είναι .Θα πρέπει τότε άτοπο.
Έστω .Προφανώς ,έστω .Γίνεται .Από εδώ άτοπο.
Αν τότε αναγκαστικά άτοπο.
Πάμε στην .Αυτή για δίνει ,δεκτή λύση αφού .Αντικαθιστώντας βρίσκουμε που είναι σχετικά πρώτος με το και η δοθείσα παράσταση είναι τέλειο τετράγωνο.
- .Όπως πριν και έτσι .Πάλι θεωρούμε ως τριώνυμο του με διακρίνουσα .Πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο,έστω .Άν υπάρχει μικρότερη τιμή για το απ΄αυτή της πρώτης περίπτωσης θα είναι .Οπότε έχουμε .
Αν είναι άτοπο.
Επίσης , έτσι όλες οι παραπάνω απορρίπτονται.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης!
Πολύ ωραία λύση Πρόδρομε!ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Τρί Ιουν 23, 2020 10:09 pmΜε επιφυλάξεις...Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 07, 2020 1:42 pm
Πρόβλημα 2
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του θετικού ακέραιου , ώστε να ικανοποιούνται οι δύο παρακάτω συνθήκες:
υπάρχει θετικός ακέραιος , σχετικά πρώτος με τον , ώστε ο να είναι τέλειο τετράγωνο.
Έστω .Οπότε έχουμε 2 περιπτώσεις:
- με
Με αντικατάσταση του παίρνουμε και επειδή θα είναι .Άρα θέλουμε .Επειδή πρέπει .
Θεωρώ το παραπάνω ως τριώνυμο του οπότε η διακρίνουσα πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο ,έστω
.Είναι ,από όπου εύκολα .
Είναι .Άρα ελέγχουμε την περίπτωση .Θα είναι .Θα πρέπει τότε άτοπο.
Έστω .Προφανώς ,έστω .Γίνεται .Από εδώ άτοπο.
Αν τότε αναγκαστικά άτοπο.
Πάμε στην .Αυτή για δίνει ,δεκτή λύση αφού .Αντικαθιστώντας βρίσκουμε που είναι σχετικά πρώτος με το και η δοθείσα παράσταση είναι τέλειο τετράγωνο.Η ζητούμενη τιμή λοιπόν είναι
- .Όπως πριν και έτσι .Πάλι θεωρούμε ως τριώνυμο του με διακρίνουσα .Πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο,έστω .Άν υπάρχει μικρότερη τιμή για το απ΄αυτή της πρώτης περίπτωσης θα είναι .Οπότε έχουμε .
Αν είναι άτοπο.
Επίσης , έτσι όλες οι παραπάνω απορρίπτονται.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: Τεστ Εξάσκησης!
Επί:
Σταθεροποιώντας το το διατρέχει όλο το για τις διάφορες τιμές του .
1-1:
Βάλε και θα το δεις μόνος σου.
Re: Τεστ Εξάσκησης!
Έστω και τότε θα πρέπει:Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 07, 2020 1:42 pm
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του θετικού ακέραιου , ώστε να ικανοποιούνται οι δύο παρακάτω συνθήκες:
υπάρχει θετικός ακέραιος , σχετικά πρώτος με τον , ώστε ο να είναι τέλειο τετράγωνο.
Άρα αν τότε η .
Αν ο τότε δεινή .
Αν ο τότε .
Άρα αφού ,,,,.
Για μπορούμε να πάρουμε .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες