Παραμετρική εξίσωση

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου

, για κάθε μια από τις οποίες η εξίσωση

$\displaystyle{a\sqrt{1-\dfrac{1}{x^2}}+\left | 1-\dfrac{\left | x \right |}{2} \right |=1}$

έχει ακριβώς δυο διαφορετικές ρίζες.

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 28, 2020 3:44 pm
Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για κάθε μια από τις οποίες η εξίσωση

$\displaystyle{a\sqrt{1-\dfrac{1}{x^2}}+\left | 1-\dfrac{\left | x \right |}{2} \right |=1}$

έχει ακριβώς δυο διαφορετικές ρίζες.

Είναι $a \in(-\infty,1)\cup (\frac{2}{\sqrt{3}},+\infty).$

To σύνολο ορισμού είναι το $(-\infty,-1]\cup [1,+\infty).$ Παρατηρούμε ότι αν ο

είναι ρίζα της εξίσωσης τότε

και ο

θα είναι. Επομένως μπορούμε να δουλέψουμε στο $[1,+\infty)$ και να βρούμε τα

ώστε

η εξίσωση να έχει μία ρίζα μόνο. Επίσης, για κάθε

ο αριθμός

δεν είναι ρίζα της εξίσωσης.

Τελικά περιοριζόμαστε στο $(1,+\infty).$ Θέτουμε $y=1-\dfrac{1}{x^2}}$ (1-1 μετασχηματισμός) και θα ισχύει τότε ότι

$y\in (0,1).$ H εξίσωση παίρνει την μορφή $a\sqrt{y}+\left | 1-\dfrac{1}{2\sqrt{1-y}} \right |=1$ και πετώντας τα

απόλυτα οδηγούμαστε στις

$a\sqrt{y}+ 1-\dfrac{1}{2\sqrt{1-y}} =1,y\in(0,\dfrac{3}{4}]\Leftrightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{y(1-y)}}=a,y\in(0,\dfrac{3}{4}]$

και

$a\sqrt{y}- 1+\dfrac{1}{2\sqrt{1-y}} =1,y\in(\dfrac{3}{4},1)\Leftrightarrow \dfrac{2}{\sqrt{y}}-\dfrac{1}{2\sqrt{y(1-y)}} =a,y\in(\dfrac{3}{4},1).$

Θεωρούμε τώρα τη συνάρτηση

$f(y)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{2\sqrt{y(1-y)}}, &y\in(0,\frac{3}{4}] \\ \dfrac{2}{\sqrt{y}}-\dfrac{1}{2\sqrt{y(1-y)}}, &y\in(\frac{3}{4},1) \end{matrix}\right.,$

η οποία είναι συνεχής. Θα την μελετήσουμε ως προς το σύνολο τιμών της και τη μονοτονία. Για $y\in(0,\frac{3}{4}]$ έχουμε ότι το

τριώνυμο y(1-y)

αυξάνει στο $[0,\frac{1}{2}]$ και μειώνεται στο $[\frac{1}{2},\frac{3}{4}].$

Επομένως, η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $(0,\frac{1}{2}]$ και γνησίως αύξουσα στο $[\frac{1}{2},\frac{3}{4}].$

Το σύνολο τιμών της, για $y\in(0,\frac{3}{4}]$ , είναι το

$[f(\frac{1}{2}),\lim_{y\rightarrow 0}f(y))\cup [f(\frac{1}{2}),f(\frac{3}{4})]=[1,+\infty)\cup [1,\frac{2}{\sqrt{3}}]=[1,+\infty).$

Επίσης για $y\in(\frac{3}{4},1)$ η

είναι γνησίως φθίνουσα αφού

${f}'(y)=-y^{-3/2}+\dfrac{1}{4}\left ( (y-y^2) ^{-3/2}\right(1-2y) )<0$

όπως μπορούμε εύκολα να δούμε (η παρένθεση είναι αρνητική).

Άρα το σύνολο τιμών της, για $y\in(\frac{3}{4},1)$ , είναι το $(\lim_{y\rightarrow 1}f(y),f(\frac{3}{4}))=(-\infty,\frac{2}{\sqrt{3}})$ .

Κάνοντας μια πρόχειρη γραφική παράσταση βλέπουμε τελικά ότι τα ζητούμενα

είναι όλοι οι αριθμοί του

συνόλου $(-\infty,1)\cup (\frac{2}{\sqrt{3}},+\infty).$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Δεν νομίζω για a=0

να έχει δύο λύσεις.

Λάμπρος Κατσάπας · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 29, 2020 5:01 pm
Δεν νομίζω για να έχει δύο λύσεις.

Σωστά.Για

έχουμε σύνολο ορισμού το $\mathbb{R}$ οπότε από αυτά που προέκυψαν πετάμε το a=0.

Παραμετρική εξίσωση

Παραμετρική εξίσωση

Re: Παραμετρική εξίσωση

Re: Παραμετρική εξίσωση

Re: Παραμετρική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση