Θεωρούμε τα δευτεροβάθμια πολυώνυμα και τα οποία έχουν ρητούς συντελεστές.
Υποθέτουμε ότι οι ρίζες του είναι οι άρρητοι πραγματικοί αριθμοί και Αν ο αριθμός είναι ρίζα του
να προσδιορίσετε όλες τις δυνατές τιμές της άλλης ρίζας του.
ΘΕΜΑ 2
Να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή της παράστασης όπου μη αρνητικοί ακέραιοι.
Bonus (αρκετά δυσκολότερο): βρείτε όλα τα ζεύγη για τα οποία πιάνεται το ελάχιστο!
ΘΕΜΑ 3
Οι κύκλοι και τέμνονται στα σημεία και Οι εφαπτόμενες στον στα σημεία και τέμνονται στο Έστω σημείο του κύκλου διαφορετικό από τα και Η ευθεία τέμνει τον για δεύτερη φορά, στο η ευθεία τέμνει τον για δεύτερη φορά στο και η ευθεία τέμνει τον στο Να αποδείξετε ότι η ευθεία περιέχει το μέσο του τμήματος
ΘΕΜΑ 4
Πάνω στο τραπέζι βρίσκονται οκτώ κουτιά, αριθμημένα από το μέχρι το και ένα άδειο σακούλι. Αρχικά κάθε κουτί περιέχει ένα πιόνι.
Ο Εστραγκόν έχει στη διάθεσή του απεριόριστα πιόνια και μπορεί να εκτελέσει επανειλημμένα τις παρακάτω κινήσεις:
- αφαιρεί 1 πιόνι από το κουτί και προσθέτει 2 πιόνια στο κουτί ,
- αφαιρεί 1 πιόνι από το κουτί και μετακινεί 1 πιόνι από το κουτί στο σακούλι.