Με απλά "μέσα"

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #1

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC

, με

και έστω

ο περιγεγραμμένος του κύκλος.
Φέρουμε τα ύψη

και

. Ες είναι

ένα τυχαίο σημείο του μικρού τόξου

. Οι ευθείες

και

τέμνονται στο

, ενώ οι

και

στο

. Τέλος , αν

το συμμετρικό του

ως προς το

, να αποδείξετε ότι ZE//KQ

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 28, 2020 12:28 am
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο , με και έστω ο περιγεγραμμένος του κύκλος.
Φέρουμε τα ύψη και . Ες είναι ένα τυχαίο σημείο του μικρού τόξου . Οι ευθείες και τέμνονται στο , ενώ οι και στο . Τέλος , αν το συμμετρικό του ως προς το , να αποδείξετε ότι .

Γεια σου Δημήτρη

Έστω $\rm H$ ορθόκεντρο του $\rm ABC$ και $\rm T\equiv BE\cap (A,B,C)$ .
Είναι $\rm \angle DCA=\angle DBA=\angle QBZ$ άρα $\rm \Delta BZQ\approx\Delta CES$ και επίσης $\rm \angle QBH=\angle DBT=\angle DCT=\angle SCT$ οπότε $\rm \dfrac{TS}{ET}=\dfrac{HQ}{HZ}\,\,\,(1)$ .
Είναι γνωστό ότι $\rm HE=TE$ οπότε $\rm KH=KE-HE=SE-ET=TS$ και έτσι $\rm \dfrac{TS}{ET}=\dfrac{KH}{HE}$ .
Αντικαθιστώντας στην $\rm (1)$ έχουμε $\rm \dfrac{HQ}{HZ}=\dfrac{HK}{HE}$ και έτσι από το θεώρημα του Θαλή έχουμε το ζητούμενο.

: 329.PNG (32.19 KiB) Προβλήθηκε 770 φορές

#3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 28, 2020 12:28 am
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο , με και έστω ο περιγεγραμμένος του κύκλος.
Φέρουμε τα ύψη και . Ες είναι ένα τυχαίο σημείο του μικρού τόξου . Οι ευθείες και τέμνονται στο , ενώ οι και στο . Τέλος , αν το συμμετρικό του ως προς το , να αποδείξετε ότι .

Το τετράπλευρο EZBC

είναι εγγράψιμο γιατί οι κορυφές του $Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ βλέπουν υπό ίσες ( και μάλιστα ορθές γωνίες ) τη πλευρά

.

Στο τρίγωνο CTK

η

είναι ταυτόχρονα διάμεσος και ύψος άρα αυτό θα είναι ισοσκελές ,

οπότε η

είναι και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής του .

Δηλαδή : $\widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{\omega _1}} + \widehat {{\theta _1}}$ . Αλλά $\widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{\omega _2}} + \widehat {{\theta _2}}$ ως εγγεγραμμένες στο μικρό τόξο της χορδής

.

: με απλά μέσα.png (42.23 KiB) Προβλήθηκε 754 φορές

Έτσι $\widehat {{\omega _1}} + \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\omega _2}} + \widehat {{\theta _2}}$ . Αλλά λόγω του προαναφερθέντος εγγραψίμου τετραπλεύρου

EZBC

θα είναι : $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ και η προηγούμενη δίδει: $\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}}$ που μου εξασφαλίζει ότι και το τετράπλευρο KBCQ

είναι εγγράψιμο.

Από τα εγγράψιμα τώρα τετράπλευρα : EZBC

και

έχω ταυτόχρονα:

$\left\{ \begin{gathered} \widehat {{x_{}}} = \widehat {EBC} \hfill \\ \widehat {{y_{}}} = \widehat {KBC} \equiv \widehat {EBC} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \widehat {{x_{}}} = \widehat {{y_{}}} \Leftrightarrow ZE//KQ$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 28, 2020 12:28 am
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο , με και έστω ο περιγεγραμμένος του κύκλος.
Φέρουμε τα ύψη και . Ες είναι ένα τυχαίο σημείο του μικρού τόξου . Οι ευθείες και τέμνονται στο , ενώ οι και στο . Τέλος , αν το συμμετρικό του ως προς το , να αποδείξετε ότι .

Με $SI//ZE \Rightarrow KZ=ZH$ και από την προφανή ισότητα των κόκκινων γωνιών, ISCB

είναι εγγράψιμο

Όμως $\angle \omega= \angle \phi$ ως συμπληρώματα των ίσων γωνιών ACD,DBA

,επομένως , IZ=ZQ

,συνεπώς

: Με απλά μέσα.png (20.5 KiB) Προβλήθηκε 712 φορές

Με απλά "μέσα"

Με απλά "μέσα"

Re: Με απλά "μέσα"

Re: Με απλά "μέσα"

Re: Με απλά "μέσα"

Μέλη σε σύνδεση