Καθετότητα και ισότητα

#1

: Καθετότητα και ίσα τμήματα.png (11.52 KiB) Προβλήθηκε 941 φορές

Το $\displaystyle M$ είναι σημείο της υποτείνουσας

ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ABC,

ώστε $\displaystyle BM = MC\sqrt 3.$

Αν ο κύκλος (B, BA)

τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας $M\widehat AC$ στο

να δείξετε ότι $BE\bot AM$ και CE=CM.

Filippos Athos · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 20, 2020 10:10 am
Καθετότητα και ίσα τμήματα.png
Το $\displaystyle M$ είναι σημείο της υποτείνουσας ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ώστε $\displaystyle BM = MC\sqrt 3.$

Αν ο κύκλος τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας $M\widehat AC$ στο να δείξετε ότι $BE\bot AM$ και

Μια γρήγορη λύση για το πρώτο ερώτημα.

: καθετότητα και ισότητα.png (13.7 KiB) Προβλήθηκε 915 φορές

Για να ισχείει το ζητούμενο πρέπει $H\widehat{A}E$ + $H\widehat{E}A$ =

ή αλλιώς $E\widehat{A}C$ + $B\widehat{A}E$ =

(αφού

διχοτόμος της MAC

και

=

) που προφανώς ισχύει.

Το δεύτερο κομμάτι το δουλεύω ακόμα.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 20, 2020 10:10 am
Καθετότητα και ίσα τμήματα.png
Το $\displaystyle M$ είναι σημείο της υποτείνουσας ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ώστε $\displaystyle BM = MC\sqrt 3.$

Αν ο κύκλος τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας $M\widehat AC$ στο να δείξετε ότι $BE\bot AM$ και

Το α) βγαίνει και αλλιώς.
Έστω ότι η προέκταση της

προς το

τέμνει τον κύκλο (B,BA)

στο

.
Προφανώς ο κύκλος εφάπτεται της

. Επίσης $\angle{ATE}=\angle{EAC}=\angle{EAM}$ .Άρα AETB

χαρταετός και το ζητούμενο έπεται.

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 20, 2020 10:10 am
Καθετότητα και ίσα τμήματα.png
Το $\displaystyle M$ είναι σημείο της υποτείνουσας ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ώστε $\displaystyle BM = MC\sqrt 3.$

Αν ο κύκλος τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας $M\widehat AC$ στο να δείξετε ότι $BE\bot AM$ και

α) Ας είναι ένα εσωτερικό σημείο

του

προς τη μεριά του

και έστω

το σημείο τομής του κύκλου $\left( {B,BA} \right)$ με τη διχοτόμο της $\widehat {MAC}$ .

: Καθετότητα και ισότητα_a.png (23.62 KiB) Προβλήθηκε 896 φορές

Θα δείξω ότι $BE \bot MA$ . Αν

το αντιδιαμετρικό του

και η

κόψει την

στο

,

επειδή η

εφάπτεται του κύκλου θα είναι $\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{F_{}}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {EBA} = \widehat {MAL} = 2\widehat {{\theta _{}}}$ .

Αφού όμως $\widehat {BAL} = 90^\circ$ αναγκαστικά $BE \bot AM$ . Η ισότητα όμως απαιτεί το

να είναι ειδικό σημείο .

Ας είναι τώρα

η προβολή του

στη

. Θέτω

.

: Καθετότητα και ισότητα_b.png (21.48 KiB) Προβλήθηκε 881 φορές

Είναι $\left\{ \begin{gathered} TM = BM - BT \hfill \\ BM = \sqrt 3 MC \hfill \\ BM + MC = 2d \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} TM = d\left( {2 - \sqrt 3 } \right) \hfill \\ BM = d\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 - 1} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Άρα $\tan \omega = 2 - \sqrt 3 \Rightarrow \boxed{\omega = 15^\circ }$ .

Οπότε ( εύκολα έχω ) : το τετράπλευρο AEMB

είναι εγγράψιμο , τα τρίγωνα $ABE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EMC$ είναι όμοια και έτσι CE = CM

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #5

Καλό μεσημέρι,
Όμορφη άσκηση

Για το β)
Απο το γενικευμένο θ.διχοτόμου, στο τρίγωνο ABC

έχω:
$\dfrac{\sin \widehat{BAM}\cdot AB}{\sin \widehat{MAC}\cdot AC}=\dfrac{MB}{MC}\Leftrightarrow \dfrac{\sin \widehat{BAM}}{\cos BAM}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \tan \widehat{BAM}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \widehat{BAM}=60^{\circ}$ .

Εύκολα βρίσκουμε τις γωνίες $\widehat{AME}=30^{\circ},\,\widehat{EMC}=75^{\circ}$ .

Θέτω $\widehat{MCE}=x,\,\widehat{ECA}= y$ και $D\equiv CE\cap AM$ .

Με τριγ.Ceva στο τρίγωνο AMC

παίρνουμε:

$\dfrac{\sin x}{\sin y} \cdot \dfrac{\sin15^{\circ}}{\sin15^{\circ}}\cdot \dfrac{\sin30^{\circ}}{\sin75^{\circ}}=1\Leftrightarrow \dfrac{\sin x}{\sin y}= \dfrac{\sin75^{\circ}}{sin30^{\circ}}=\dfrac{AC}{MC}$ , δηλαδή η

είναι διάμεσος (προκύπτει απο το γενικευμένο θ.διχοτόμου).

Έστω

το συμμετρικό του

ως προ το

.
Το τετράπλευρο C'ACM

είναι παραλληλόγραμμο, έτσι $\widehat{MC'A}=45^{\circ}=180^{\circ} - \widehat{AEM}$ , άρα το τετράπλευρο AEMC'

είναι εγγράψιμο κι επομένως $x=\widehat{AME}=30^{\circ}$ . Το ζητούμενο έπεται άμεσα.

: Καθετότητα και ισότητα.png (40.61 KiB) Προβλήθηκε 878 φορές

Edit: Διόρθωση τυπογραφικών.

Καθετότητα και ισότητα

Καθετότητα και ισότητα

Re: Καθετότητα και ισότητα

Re: Καθετότητα και ισότητα

Re: Καθετότητα και ισότητα

Re: Καθετότητα και ισότητα

Μέλη σε σύνδεση