Μαθηματικά προσανατολισμού 2020 (Θέματα & Λύσεις)
-
- Δημοσιεύσεις: 28
- Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2016 9:41 am
Μαθηματικά προσανατολισμού 2020 (Θέματα & Λύσεις)
Αγαπητές/τοί φίλες/οι
Στο θέμα αυτό θα αναρτηθούν (αμέσως μόλις δημοσιευθούν στη σελίδα του Υπουργείου) και, αποκλειστικά, θα λυθούν τα θέματα των Μαθηματικών προσανατολισμού 2020 (νέου συστήματος και παλαιού συστήματος των ημερησίων ΓΕΛ). Επομένως σχολιασμοί-κριτική επί της δυσκολίας κ.λ.π. των θεμάτων θα απομακρύνονται από αυτήν την συζήτηση. Αυτές μπορούν να γίνουν στο Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2020
edit: 10:24, 17/6/20 Προστέθηκαν τα θέματα.
Στο θέμα αυτό θα αναρτηθούν (αμέσως μόλις δημοσιευθούν στη σελίδα του Υπουργείου) και, αποκλειστικά, θα λυθούν τα θέματα των Μαθηματικών προσανατολισμού 2020 (νέου συστήματος και παλαιού συστήματος των ημερησίων ΓΕΛ). Επομένως σχολιασμοί-κριτική επί της δυσκολίας κ.λ.π. των θεμάτων θα απομακρύνονται από αυτήν την συζήτηση. Αυτές μπορούν να γίνουν στο Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2020
edit: 10:24, 17/6/20 Προστέθηκαν τα θέματα.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2020 (Θέματα & Λύσεις)
Μια σκέψη για το ΘΕΜΑ Δ (Nέο σύστημα)
Δ1. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως άθροισμα τέτοιων συναρτήσεων με .
Με τη δέυτερη παράγωγο βρίσκουμε για κάθε , γεγονός που αποδεικνύει ότι η είναι
γνησίως αύξουσα στο . Συνεπώς, θα έχει το πολύ μια ρίζα. Λόγω συνέχειας της στο και του γεγονότος ότι
, έπεται από το Θεώρημα του Bolzano ότι υπάρχει ώστε ,
μοναδικό ως προς αυτή την ιδιότητα, αφού όπως είδαμε η είναι γνησίως αύξουσα στο . Έτσι, προκύπτει
και , δηλαδή γνησίως φθίνουσα στο
, γνησίως αύξουσα στο , δηλαδή για κάθε , όπως θέλαμε.
Επιπλέον, , οπότε
.
Δ2. Για έχουμε , οπότε
Αφού, , και επιπλέον , έπεται ότι
και από το κριτήριο παρεμβολής
παίρνουμε
Δ3. Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο ως άθροισμα της γνησίως αύξουσας
στο και της . Επίσης, είναι συνεχής ώς άθροισμα συνεχών με
διότι και , οπότε από μονοτονία και Θεώρημα Bolzano, υπάρχει
μοναδικό ώστε .
Δ4. Έστω . Η ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο , οπότε υπάρχει
ώστε .
Επειδή και η είναι γνησίως αύξουσα στο έχουμε διαδοχικά
και συνεπώς .
όπως θέλαμε.
Δ1. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως άθροισμα τέτοιων συναρτήσεων με .
Με τη δέυτερη παράγωγο βρίσκουμε για κάθε , γεγονός που αποδεικνύει ότι η είναι
γνησίως αύξουσα στο . Συνεπώς, θα έχει το πολύ μια ρίζα. Λόγω συνέχειας της στο και του γεγονότος ότι
, έπεται από το Θεώρημα του Bolzano ότι υπάρχει ώστε ,
μοναδικό ως προς αυτή την ιδιότητα, αφού όπως είδαμε η είναι γνησίως αύξουσα στο . Έτσι, προκύπτει
και , δηλαδή γνησίως φθίνουσα στο
, γνησίως αύξουσα στο , δηλαδή για κάθε , όπως θέλαμε.
Επιπλέον, , οπότε
.
Δ2. Για έχουμε , οπότε
Αφού, , και επιπλέον , έπεται ότι
και από το κριτήριο παρεμβολής
παίρνουμε
Δ3. Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο ως άθροισμα της γνησίως αύξουσας
στο και της . Επίσης, είναι συνεχής ώς άθροισμα συνεχών με
διότι και , οπότε από μονοτονία και Θεώρημα Bolzano, υπάρχει
μοναδικό ώστε .
Δ4. Έστω . Η ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο , οπότε υπάρχει
ώστε .
Επειδή και η είναι γνησίως αύξουσα στο έχουμε διαδοχικά
και συνεπώς .
όπως θέλαμε.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2020 (Θέματα & Λύσεις)
Βάζω μια λύση στο Β4 διαφορετική από την κλασσική με θέσιμο επειδή βλέπω πως στις προτεινόμενες λύσεις από διάφορα φροντιστήρια είναι όλες με θέσιμο.
Β4-ΝΕΟ
Αφού αντιστροφή της σύνθεσης θα έχει για σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού της δηλαδή το .
Όμως συνεχής και γν. φθίνουσα άρα το σύνολο τιμών της θα είναι με και
Συνεπώς και
Β4-ΝΕΟ
Αφού αντιστροφή της σύνθεσης θα έχει για σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού της δηλαδή το .
Όμως συνεχής και γν. φθίνουσα άρα το σύνολο τιμών της θα είναι με και
Συνεπώς και
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2020 (Θέματα & Λύσεις)
Για το Γ4 του παλαιού, μια εύκολη λύση ειναι
Γιώργος
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1272
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
- Τοποθεσία: Χανιά
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2020 (Θέματα & Λύσεις)
το Δ1 χωρίς Bolzano
(ΑΚΥΡΗ Η ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΛΥΣΗ ΕΠΕΙΔΗ ΔΕΝ ΛΑΜΒΑΝΕΙ ΥΠΟΨΗ ΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ (0,1) . ΑΥΤΑ ΣΥΜΒΑΙΝΟΥΝ ΟΤΑΝ ΟΤΑΝ ΔΕΝ ΔΙΑΒΑΖΟΥΜΕ ΣΩΣΤΑ ΤΗΝ ΕΚΦΩΝΗΣΗ!!!)
Η συνάρτηση είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο με και
Συνεπώς η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο και ως συνεχής έχει σύνολο τιμών το , αφού και .
Επειδή , η εξίσωση έχει ρίζα η οποία είναι μοναδική επειδή η είναι γνησίως αύξουσα, για την οποία ισχύει ότι (1)
Επίσης, από τη μονοτονία της έχουμε:
αν τότε οπότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα
αν τότε οπότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα
Άρα η στο παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το
(ΑΚΥΡΗ Η ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΛΥΣΗ ΕΠΕΙΔΗ ΔΕΝ ΛΑΜΒΑΝΕΙ ΥΠΟΨΗ ΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ (0,1) . ΑΥΤΑ ΣΥΜΒΑΙΝΟΥΝ ΟΤΑΝ ΟΤΑΝ ΔΕΝ ΔΙΑΒΑΖΟΥΜΕ ΣΩΣΤΑ ΤΗΝ ΕΚΦΩΝΗΣΗ!!!)
Η συνάρτηση είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο με και
Συνεπώς η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο και ως συνεχής έχει σύνολο τιμών το , αφού και .
Επειδή , η εξίσωση έχει ρίζα η οποία είναι μοναδική επειδή η είναι γνησίως αύξουσα, για την οποία ισχύει ότι (1)
Επίσης, από τη μονοτονία της έχουμε:
αν τότε οπότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα
αν τότε οπότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα
Άρα η στο παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το
- Συνημμένα
-
- 2020 neo to d1 xwris bolzano.docx
- (51.57 KiB) Μεταφορτώθηκε 128 φορές
τελευταία επεξεργασία από m.pαpαgrigorakis σε Τετ Ιουν 17, 2020 7:11 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2020 (Θέματα & Λύσεις)
θέλει στο (0,1) το Δ1 δεν φτάνει η ακριβώς μια ρίζα ...
-
- Δημοσιεύσεις: 148
- Εγγραφή: Πέμ Ιουν 03, 2010 2:43 pm
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2020 (Θέματα & Λύσεις)
για το ΘΕΜΑ Δ2 (Nέο σύστημα)
Δ2. Για έχουμε ,
οπότε
εφόσον θα έχουμε από το κριτήριο παρεμβολής
Αφού, , και έπεται ότι
και επομένως
παίρνουμε
Δ2. Για έχουμε ,
οπότε
εφόσον θα έχουμε από το κριτήριο παρεμβολής
Αφού, , και έπεται ότι
και επομένως
παίρνουμε
-
- Δημοσιεύσεις: 303
- Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
- Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2020 (Θέματα & Λύσεις)
Δ1. (NEO)
συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο με .
και .
Άρα από Θ.Rolle , υπάρχει τέτοιο ώστε .
Επειδή , η είναι γνησίως αύξουσα και το είναι η μοναδική της ρίζα.
Για είναι , ενώ για είναι , άρα το είναι το ελάχιστο της .
συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο με .
και .
Άρα από Θ.Rolle , υπάρχει τέτοιο ώστε .
Επειδή , η είναι γνησίως αύξουσα και το είναι η μοναδική της ρίζα.
Για είναι , ενώ για είναι , άρα το είναι το ελάχιστο της .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2020 (Θέματα & Λύσεις)
ΘΕΜΑ Γ (παλαιό)
Αφού τα σημεία είναι συνευθειακά.
απ΄όπου φαίνεται ότι το μεγιστοποιείται όταν H είναι γνησίως αύξουσα στο γνησίως φθίνουσα στο και επειδή θα έχει σε καθένα από αυτά τα διαστήματα σύνολο τιμών
που σημαίνει από το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών ότι η συνάρτηση του εμβαδού παίρνει την τιμή ακριβώς δύο φορές για
Δύο Θ.Μ.Τ για την συνάρτηση στα διαστήματα Υπάρχουν
ώστε
Αφού τα σημεία είναι συνευθειακά.
απ΄όπου φαίνεται ότι το μεγιστοποιείται όταν H είναι γνησίως αύξουσα στο γνησίως φθίνουσα στο και επειδή θα έχει σε καθένα από αυτά τα διαστήματα σύνολο τιμών
που σημαίνει από το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών ότι η συνάρτηση του εμβαδού παίρνει την τιμή ακριβώς δύο φορές για
Δύο Θ.Μ.Τ για την συνάρτηση στα διαστήματα Υπάρχουν
ώστε
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2020 (Θέματα & Λύσεις)
george visvikis έγραψε: ↑Τετ Ιουν 17, 2020 5:13 pmΘΕΜΑ Γ (παλαιό)
Αφού τα σημεία είναι συνευθειακά.
απ΄όπου φαίνεται ότι το μεγιστοποιείται όταν
Γ(παλαιό).png
H είναι γνησίως αύξουσα στο γνησίως φθίνουσα στο και επειδή θα έχει σε καθένα από αυτά τα διαστήματα σύνολο τιμών
που σημαίνει από το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών ότι η συνάρτηση του εμβαδού παίρνει την τιμή ακριβώς δύο φορές για
Δύο Θ.Μ.Τ για την συνάρτηση στα διαστήματα Υπάρχουν
ώστε
προφανώς πρόκειται για τυπογραφικό.
Και προφανώς δεν είναι το θέμα μου.
Το θέμα είναι ότι
Αυτό ισχύει αν
Αλλά δίνεται
Αν λοιπόν είναι
τότε
η ουσία βέβαια δεν αλλάζει.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2020 (Θέματα & Λύσεις)
Θέμα Β ΠΑΛΙΟ
Γράφω την εκφώνηση(σύντομα)
Δίνεται
Β1Η αντιστρέφεται στο
Β2Οι είναι ίσες
Β3Ισχύει
Ανάποδα σαν τον κάβουρα και τα τρία μαζί.
Παρατηρούμε ότι
Συμπέρασμα
Αρα η
ορίζεται.
Για (πράξεις στο πρόχειρο ) είναι
(1)
Η είναι 1-1 γιατί
Αρα η υπάρχει
Από (1) το πεδίο τιμών της είναι το
Αρα το πεδίο ορισμού της είναι το
Οι εχουν το ίδιο πεδίο ορισμού.
Επίσης για εχουμε
Αρα οι είναι ίσες.
Γράφω την εκφώνηση(σύντομα)
Δίνεται
Β1Η αντιστρέφεται στο
Β2Οι είναι ίσες
Β3Ισχύει
Ανάποδα σαν τον κάβουρα και τα τρία μαζί.
Παρατηρούμε ότι
Συμπέρασμα
Αρα η
ορίζεται.
Για (πράξεις στο πρόχειρο ) είναι
(1)
Η είναι 1-1 γιατί
Αρα η υπάρχει
Από (1) το πεδίο τιμών της είναι το
Αρα το πεδίο ορισμού της είναι το
Οι εχουν το ίδιο πεδίο ορισμού.
Επίσης για εχουμε
Αρα οι είναι ίσες.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2020 (Θέματα & Λύσεις)
Κι όμως Σταύρο, η ουσία αλλάζει. Δεν έπρεπε να δοθεί γιατί και έτσι ακυρώνονται τα ερωτήματα (Γ.3), (Γ.4).ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τετ Ιουν 17, 2020 6:07 pmgeorge visvikis έγραψε: ↑Τετ Ιουν 17, 2020 5:13 pmΘΕΜΑ Γ (παλαιό)
Αφού τα σημεία είναι συνευθειακά.
απ΄όπου φαίνεται ότι το μεγιστοποιείται όταν
Γ(παλαιό).png
H είναι γνησίως αύξουσα στο γνησίως φθίνουσα στο και επειδή θα έχει σε καθένα από αυτά τα διαστήματα σύνολο τιμών
που σημαίνει από το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών ότι η συνάρτηση του εμβαδού παίρνει την τιμή ακριβώς δύο φορές για
Δύο Θ.Μ.Τ για την συνάρτηση στα διαστήματα Υπάρχουν
ώστεπροφανώς πρόκειται για τυπογραφικό.
Και προφανώς δεν είναι το θέμα μου.
Το θέμα είναι ότι
Αυτό ισχύει αν
Αλλά δίνεται
Αν λοιπόν είναι
τότε
η ουσία βέβαια δεν αλλάζει.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2020 (Θέματα & Λύσεις)
Σημαντική η παρατήρηση του Σταύρου. Αναρωτιέμαι αν αναμένεται από τους μαθητές η διερεύνηση και της περίπτωσης το κέντρο να είναι εκτός κύκλου, όπως θα συνέβαινε αν η γωνία ήταν αμβλεία (ή επί της αν ήταν ορθή) ή ισχύει μόνο η περίπτωση που περιγράφει το σχήμα.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τετ Ιουν 17, 2020 6:07 pm
Το θέμα είναι ότι
Αυτό ισχύει αν
Αλλά δίνεται
Φαντάζομαι Όχι!
Δεν υπήρχε λόγος να δοθεί to ως Π.Ο..
Είμαι βέβαιος ότι μια απλή αναζήτηση θα δώσει πολλές βιβλιογραφικές αναφορές. Η "φρεσκότερη" που μού έρχεται στο μυαλό είναι το βιβλίο των φίλων Θανάση Ντρίζου, Περικλή Παντούλα και Κώστα Τηλέγραφου, που αναφέρονται σε οξεία γωνία.
Περισσότερα για τη γενίκευση του ωραίου αυτού θέματος (δίχως την "αναγκαστική λόγω ύλης" προσθήκης του Γ4) σε επόμενη ανάρτηση.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2020 (Θέματα & Λύσεις)
Εξαρτάται πως θα το πάρεις.george visvikis έγραψε: ↑Τετ Ιουν 17, 2020 7:08 pmΚι όμως Σταύρο, η ουσία αλλάζει. Δεν έπρεπε να δοθεί γιατί και έτσι ακυρώνονται τα ερωτήματα (Γ.3), (Γ.4).
Για κανονικά μαθηματικά αν δοθεί σχήμα αυτό είναι βοηθητικό.
Δηλαδή σου κάνει το σχήμα για μια περίπτωση.
Ετσι η άσκηση δεν έχει πρόβλημα γιατί ο τύπος
του εμβαδού δεν αλλάζει αν η γωνία είναι αμβλεία.
Τώρα για σχολικά μαθηματικά θα μου επιτρέψεις να μην
εκφέρω γνώμη.
Είναι άλλοι πιο ειδικοί από εμένα.π.χ εσύ.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2020 (Θέματα & Λύσεις)
Αν δεν δοθεί το ως πεδίο ορισμού, τότε δεν υπάρχουν τα σημεία του ερωτήματος (Γ.3). Υπάρχει μόνο ένα σημείο ώστε Άρα καταργείται και το (Γ.4).Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Τετ Ιουν 17, 2020 7:16 pmΣημαντική η παρατήρηση του Σταύρου. Αναρωτιέμαι αν αναμένεται από τους μαθητές η διερεύνηση και της περίπτωσης το κέντρο να είναι εκτός κύκλου, όπως θα συνέβαινε αν η γωνία ήταν αμβλεία (ή επί της αν ήταν ορθή) ή ισχύει μόνο η περίπτωση που περιγράφει το σχήμα.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τετ Ιουν 17, 2020 6:07 pm
Το θέμα είναι ότι
Αυτό ισχύει αν
Αλλά δίνεται
Φαντάζομαι Όχι!
Δεν υπήρχε λόγος να δοθεί to ως Π.Ο..
Το σχήμα μπορείς να το παραβλέψεις, όχι όμως και το δεδομένο (Αυτό χαλάει τη συνταγή).
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2020 (Θέματα & Λύσεις)
Γιώργο, εδώ είναι η ουσία της ένστασής μου στην "μεταμόρφωση" κλασσικών θεμάτων σε θέματα εξετάσεων. (Η μετάλλαξη που λέγαμε ΕΔΩ) (ανάρτηση #13).
Η καρδιά του προβλήματος είναι η εξής:
(Από το βιβλίο του Π. Τόγκα για μέγιστα κι ελάχιστα του 1932).
Οι Αndreescu, Mushkarov, Stoyanov στο Geometric Problems on Maxima and Minima στο γενικευμένο σχετικό πρόβλημα (σελ. 27) αναφέρουν ότι είναι πολύ χρήσιμη η εμπλοκή της Ανάλυσης σε τέτοια προβλήματα.
Εδώ, λοιπόν, δίνουμε (καλώς νομίζω, λόγω των συνθηκών των εξετάσεων) τα συγκεκριμένα στοιχεία στην εκφώνηση, και το σχήμα. Καλώς επίσης λέμε ποια πρέπει να είναι η συνάρτηση (όπως π.χ. στην εξαιρετική άσκηση 12, σελ. 153 του βιβλίου), αλλά για να χωρέσουν κι άλλα ερωτήματα "πειράζουμε" το πεδίο ορισμού της γωνίας, οπότε το σχήμα πάει στράφι.
Επίσης, ενώ τα Γ1, Γ2, Γ3 ταιριάζουν κι έχουν εποπτική αξία, αναρωτιέμαι πώς κολλάει το "υπαρξιακό" Γ4 με την καρδιά του θέματος.
Κάποτε πρέπει να αλλάξει η μορφή των θεμάτων για να γλυτώσουμε από την αναγκαιότητα να αντιμετωπίζουμε και κυρίως να διδάσκουμε τέτοια άτεχνα συγκολλημένα θέματα, που αλλοιώνουν την αρχική μορφή του προβλήματος.
Η καρδιά του προβλήματος είναι η εξής:
(Από το βιβλίο του Π. Τόγκα για μέγιστα κι ελάχιστα του 1932).
Οι Αndreescu, Mushkarov, Stoyanov στο Geometric Problems on Maxima and Minima στο γενικευμένο σχετικό πρόβλημα (σελ. 27) αναφέρουν ότι είναι πολύ χρήσιμη η εμπλοκή της Ανάλυσης σε τέτοια προβλήματα.
Εδώ, λοιπόν, δίνουμε (καλώς νομίζω, λόγω των συνθηκών των εξετάσεων) τα συγκεκριμένα στοιχεία στην εκφώνηση, και το σχήμα. Καλώς επίσης λέμε ποια πρέπει να είναι η συνάρτηση (όπως π.χ. στην εξαιρετική άσκηση 12, σελ. 153 του βιβλίου), αλλά για να χωρέσουν κι άλλα ερωτήματα "πειράζουμε" το πεδίο ορισμού της γωνίας, οπότε το σχήμα πάει στράφι.
Επίσης, ενώ τα Γ1, Γ2, Γ3 ταιριάζουν κι έχουν εποπτική αξία, αναρωτιέμαι πώς κολλάει το "υπαρξιακό" Γ4 με την καρδιά του θέματος.
Κάποτε πρέπει να αλλάξει η μορφή των θεμάτων για να γλυτώσουμε από την αναγκαιότητα να αντιμετωπίζουμε και κυρίως να διδάσκουμε τέτοια άτεχνα συγκολλημένα θέματα, που αλλοιώνουν την αρχική μορφή του προβλήματος.
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2020 (Θέματα & Λύσεις)
Ας δούμε και τα βασικά σχήματα των τριών θεμάτων :
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2020 (Θέματα & Λύσεις)
Στο Δ2 (ΝΕΟ), για κάποιους μαθητές, η εμφάνιση του όρου στον υπολογισμό του ζητούμενου ορίου, τους οδήγησε στη σκέψη να σχηματίσουν μέσα στο όριο τον λόγο μεταβολής που οδηγεί στον ορισμό της παραγώγου.
Η λύση που πρότειναν είναι η εξής:
Έχουμε:
(μηδενική επί φραγμένη)
όμως
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
Ι) Αν τότε:
δείξαμε ότι για είναι άρα
επίσης
Με βάση τα παραπάνω, το ζητούμενο όριο για είναι
ΙΙ) Αν τότε
δείξαμε ότι για είναι άρα
επίσης
Με βάση τα παραπάνω, το ζητούμενο όριο για είναι
άρα τελικά το ζητούμενο όριο είναι
Δεν ξέρω αν μετά από συζητήσεις με μαθητές σας, αντιμετώπισαν και άλλοι το ζητούμενο κατ' αυτόν τον τρόπο.
Πως σας φαίνεται αυτή η αντιμετώπιση;
Η λύση που πρότειναν είναι η εξής:
Έχουμε:
(μηδενική επί φραγμένη)
όμως
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
Ι) Αν τότε:
δείξαμε ότι για είναι άρα
επίσης
Με βάση τα παραπάνω, το ζητούμενο όριο για είναι
ΙΙ) Αν τότε
δείξαμε ότι για είναι άρα
επίσης
Με βάση τα παραπάνω, το ζητούμενο όριο για είναι
άρα τελικά το ζητούμενο όριο είναι
Δεν ξέρω αν μετά από συζητήσεις με μαθητές σας, αντιμετώπισαν και άλλοι το ζητούμενο κατ' αυτόν τον τρόπο.
Πως σας φαίνεται αυτή η αντιμετώπιση;
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2020 (Θέματα & Λύσεις)
Ποτέ δεν αναφέρθηκα στο σχήμα. Προσπαθώ να καταλάβω τι γίνεται. Έχουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο τη διάμεσό του το περίκεντρο και Στα κανονικά μαθηματικά η γωνία μπορεί να είναι αμβλεία;ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τετ Ιουν 17, 2020 7:19 pmΕξαρτάται πως θα το πάρεις.george visvikis έγραψε: ↑Τετ Ιουν 17, 2020 7:08 pmΚι όμως Σταύρο, η ουσία αλλάζει. Δεν έπρεπε να δοθεί γιατί και έτσι ακυρώνονται τα ερωτήματα (Γ.3), (Γ.4).
Για κανονικά μαθηματικά αν δοθεί σχήμα αυτό είναι βοηθητικό.
Δηλαδή σου κάνει το σχήμα για μια περίπτωση.
Ετσι η άσκηση δεν έχει πρόβλημα γιατί ο τύπος
του εμβαδού δεν αλλάζει αν η γωνία είναι αμβλεία.
Τώρα για σχολικά μαθηματικά θα μου επιτρέψεις να μην
εκφέρω γνώμη.
Είναι άλλοι πιο ειδικοί από εμένα.π.χ εσύ.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2020 (Θέματα & Λύσεις)
Γεια σου Γιώργο.george visvikis έγραψε: ↑Τετ Ιουν 17, 2020 10:27 pmΠοτέ δεν αναφέρθηκα στο σχήμα. Προσπαθώ να καταλάβω τι γίνεται. Έχουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο τη διάμεσό του το περίκεντρο και Στα κανονικά μαθηματικά η γωνία μπορεί να είναι αμβλεία;ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τετ Ιουν 17, 2020 7:19 pmΕξαρτάται πως θα το πάρεις.george visvikis έγραψε: ↑Τετ Ιουν 17, 2020 7:08 pmΚι όμως Σταύρο, η ουσία αλλάζει. Δεν έπρεπε να δοθεί γιατί και έτσι ακυρώνονται τα ερωτήματα (Γ.3), (Γ.4).
Για κανονικά μαθηματικά αν δοθεί σχήμα αυτό είναι βοηθητικό.
Δηλαδή σου κάνει το σχήμα για μια περίπτωση.
Ετσι η άσκηση δεν έχει πρόβλημα γιατί ο τύπος
του εμβαδού δεν αλλάζει αν η γωνία είναι αμβλεία.
Τώρα για σχολικά μαθηματικά θα μου επιτρέψεις να μην
εκφέρω γνώμη.
Είναι άλλοι πιο ειδικοί από εμένα.π.χ εσύ.
Τι λέω εγώ.
Λέω ότι η
δεν είναι σωστό.
Το έχει σημειώσει στο σχήμα το οποίο το έχει κάνει όταν η γωνία είναι οξεία.
Εσύ από ότι καταλαβαίνω (διόρθωσε με αν κάνω λάθος)
λες ότι αφού στο σχήμα το έχει βάλει έτσι, έτσι θα είναι.
Και σε σχολικό επίπεδο έχεις και δίκιο.
Συνήθως στα Μαθηματικά τα σχήματα απέχουν πάρα πολύ από την πραγματικότητα.
π.χ σχεδιάζουμε σχήματα σε χώρους άπειρης διάστασης.
σχεδιάζουμε τρίγωνα με άθροισμα γωνιών μικρότερο του
(στην Υπερβολική Γεωμετρία)
Το ζήτημα είναι τι είναι σχήμα.
Τώρα για το σχολείο δεν ξέρω τι κανόνες ισχύουν.
Σε τελική ανάλυση δεν νομίζω ότι διαφωνούμε.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες