Σύγκριση

KARKAR · #1

Να συγκριθούν οι αριθμοί : $2\ell og(20)+\ell og(25 )$ και : $\dfrac{e^3}{20}+\ell n20$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 24, 2020 8:17 pm
Να συγκριθούν οι αριθμοί : $2\ell og(20)+\ell og(25 )$ και : $\dfrac{e^3}{20}+\ell n20$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

KARKAR · #3

Είναι :

.

Θέλω λοιπόν : $4<\dfrac{e^3}{20}+ln20$ , ή : 80<e^3+20ln20

.

Θ.Μ.Τ. για την f(x)=lnx

, στο

. Προϋποθέσεις ΟΚ , άρα

Υπάρχει $\xi \in (20 , e^3)$ , τέτοιο ώστε : $f'(\xi)=\dfrac{1}{\xi}=\dfrac{3-ln20}{e^3-20}$ .

Αλλά : $\xi>20$ οπότε : $\dfrac{1}{\xi}<\dfrac{1}{20}\Leftrightarrow \dfrac{3-ln20}{e^3-20}< \dfrac{1}{20}\Leftrightarrow$

$60-20ln20<e^3-20 \Leftrightarrow 80<e^3+20ln20$ , ό . έ . δ .

Οι αριθμοί είναι πάρα πολύ κοντά . Ο δεύτερος είναι περίπου : 4,00001

Θεωρήθηκε γνωστό ότι : $e^3>20 , (e^3\simeq 20,086 )$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Χρειαζόμαστε ότι $\dfrac{e^3}{20}\neq 1$
που προκύπτει από το ότι το

είναι υπερβατικός

και ότι για $x\neq 1,x>0$ είναι
$\ln x>1-\frac{1}{x}$
που είναι ισοδύναμη με την $\ln x<x-1$
Την τελευταία μπορούμε να την δούμε γραφικά η από τον αυστηρό ορισμό του λογαρίθμου.
π.χ $\ln a=\lim_{n\rightarrow \infty }n(\sqrt[n]{a}-1)$
Φυσικά την έχει και το σχολικό της Γ Λυκείου.

Θέλουμε
$4<\dfrac{e^3}{20}+ln20$
Είναι
$\dfrac{e^3}{20}+\ln20=\dfrac{e^3}{20}+\ln e^{3}\frac{20}{e^{3}}=3+\dfrac{e^3}{20}+\ln \frac{20}{e^{3}}>4+ \dfrac{e^3}{20}-\dfrac{e^3}{20}=4$

Σύγκριση

Σύγκριση

Re: Σύγκριση

Re: Σύγκριση

Re: Σύγκριση

Μέλη σε σύνδεση