Σύγκριση

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11636
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σύγκριση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Μάιος 24, 2020 8:17 pm

Να συγκριθούν οι αριθμοί : 2\ell og(20)+\ell og(25
) και : \dfrac{e^3}{20}+\ell n20



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3075
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύγκριση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μάιος 25, 2020 3:37 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μάιος 24, 2020 8:17 pm
Να συγκριθούν οι αριθμοί : 2\ell og(20)+\ell og(25 
) και : \dfrac{e^3}{20}+\ell n20
Ο δεξιά είναι μεγαλύτερος .Δεν νομίζω ότι χρειάζεται λογισμός. Μια ανισότητα για τον \ln χρειάζεται που θα μπορούσε να είναι και στην Β Λυκείου.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11636
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Σύγκριση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μάιος 26, 2020 11:14 am

Είναι : 2log20+log25=log400+log25=log10000=4.

Θέλω λοιπόν : 4<\dfrac{e^3}{20}+ln20 , ή : 80<e^3+20ln20 .

Θ.Μ.Τ. για την f(x)=lnx , στο [20 , e^3 ] . Προϋποθέσεις ΟΚ , άρα

Υπάρχει \xi  \in (20 , e^3) , τέτοιο ώστε : f'(\xi)=\dfrac{1}{\xi}=\dfrac{3-ln20}{e^3-20} .

Αλλά : \xi>20 οπότε : \dfrac{1}{\xi}<\dfrac{1}{20}\Leftrightarrow \dfrac{3-ln20}{e^3-20}< \dfrac{1}{20}\Leftrightarrow

60-20ln20<e^3-20 \Leftrightarrow 80<e^3+20ln20 , ό . έ . δ .

Οι αριθμοί είναι πάρα πολύ κοντά . Ο δεύτερος είναι περίπου : 4,00001

Θεωρήθηκε γνωστό ότι : e^3>20 , (e^3\simeq 20,086 ) .


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3075
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύγκριση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μάιος 26, 2020 11:46 am

Χρειαζόμαστε ότι \dfrac{e^3}{20}\neq 1
που προκύπτει από το ότι το e είναι υπερβατικός

και ότι για  x\neq 1,x>0 είναι
 \ln x>1-\frac{1}{x}
που είναι ισοδύναμη με την \ln x<x-1
Την τελευταία μπορούμε να την δούμε γραφικά η από τον αυστηρό ορισμό του λογαρίθμου.
π.χ \ln a=\lim_{n\rightarrow \infty }n(\sqrt[n]{a}-1)
Φυσικά την έχει και το σχολικό της Γ Λυκείου.

Θέλουμε
4<\dfrac{e^3}{20}+ln20
Είναι
\dfrac{e^3}{20}+\ln20=\dfrac{e^3}{20}+\ln e^{3}\frac{20}{e^{3}}=3+\dfrac{e^3}{20}+\ln \frac{20}{e^{3}}>4+ \dfrac{e^3}{20}-\dfrac{e^3}{20}=4


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης