Εφαπτομένες σε γραφικές παραστάσεις εκθετικών.

#1

Ποιες ευθείες είναι εφαπτομένες γραφικών παραστάσεων εκθετικών συναρτήσεων;

Tolaso J Kos · #2

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 21, 2020 10:18 pm
Ποιες ευθείες είναι εφαπτομένες γραφικών παραστάσεων εκθετικών συναρτήσεων;

Εν δυνάμει όλες οι ευθείες.

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 21, 2020 10:25 pm

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 21, 2020 10:18 pm
Ποιες ευθείες είναι εφαπτομένες γραφικών παραστάσεων εκθετικών συναρτήσεων;

Εν δυνάμει όλες οι ευθείες.

Καλησπέρα σε όλους.
Τόλη όπως έγραψα και σε μήνυμα που σου έστειλα πριν δύο μέρες θεωρώ ότι η απάντηση σου δεν αποτελεί απάντηση στο ερώτημα.

Christos.N · #4

Τι ακριβώς ορίζουμε ως εκθετική συνάρτηση;
Είναι η f(x)=2^x+1

εκθετική συνάρτηση ;
Δεν αντιλαμβάνομαι την ερώτηση.

#5

Christos.N έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 23, 2020 9:21 pm
Τι ακριβώς ορίζουμε ως εκθετική συνάρτηση;
Είναι η εκθετική συνάρτηση ;
Δεν αντιλαμβάνομαι την ερώτηση.

Υιοθετώ τον ορισμό του σχολικού βιβλίου Άλγεβρας Β' Λυκείου που υπάρχει στην παράγραφο 5.1. (υποπαράγραφος "Εκθετική συνάρτηση")
Ο ορισμός επαναλαμβάνεται στο βιβλίο κατεύθυνσης της Γ' Λυκείου στην παράγραφο 1.2 (υποπαράγραφος "Η εκθετική συνάρτηση $f\left( x\right) =a^{x},\,\,\,0<a\neq 1$ ").

#6

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 21, 2020 10:18 pm
Ποιες ευθείες είναι εφαπτομένες γραφικών παραστάσεων εκθετικών συναρτήσεων;

Απάντηση: Οι ευθείες y=mx+c

με $m\ne 0, \, c\le 1$

Ευθύ:
Αν $y=a^x,\, a>0,\, a\ne 1$ και x_o

πραγματικός, ας βρούμε την εφαπτομένη της στο σημείο $(x_o, a^{x_o})$ . Εύκολα βλέπουμε ότι είναι η

$\displaystyle{y=(a^{x_o}\ln a)(x-x_o)+a^{x_o}= \frac {a^{x_o}\ln a^{x_o}}{x_o}x +a^{x_o} - a^{x_o}\ln a^{x_o} }$ (όπου για x_o=0

εννοώ την $y=(\ln a)x +1)$

Για x_o=0

παίρνουμε όλες τις ευθείες y=m+1

ως εφαπτόμενες της $y= e^{mx}, \, m\ne 0$ , οπότε ας μελετήσουμε την περίπτωση $x_o\ne 0$ .

Θέτοντας $t=a^{x_o}$ μελετάμε τώρα τις συναρτήσεις f(t)= a^t

και $g(t)=t-t\ln t$ με t>0

. Η πρώτη έχει σύνολο τιμών $(0,+\infty )$ . H δεύτερη έχει $g'(t)=-\ln t$ από όπου εύκολα συμπεραίνουμε ότι είναι αύξουσα μέχρι το t=1

και φθίνουσα από εκεί και πέρα, με σύνολο τιμών $(-\infty , 1]$ . Από αυτά εύκολα βλέπουμε ότι ισχύουν τα $m\ne 0, \, c\le 1$

Αντίστροφα.

Με οδηγό τα προηγούμενα, δοθείσης μίας y=mx+c

με $m\ne 0, \, c\le 1$ , βρίσκουμε t>0

με $t-t\ln t =c$ ( εκτός αν c=1

που δίνει

το οποίο κάνουμε χωριστά. Τα υπόλοιπα

δίνουν $t\ne 1$ ). Με αυτό το

ορίζουμε

από την σχέση $m = \frac {t \ln t}{x_o}$ (για $t\ne 1$ δεν έχουμε πρόβλημα) και κατόπιν

από την $a^{x_o}=t$ . Κάνουμε την περίπτωση c=1

χωριστά, αλλά αυτή είναι εύκολη και έχει γίνει στο ευθύ. Έτσι βρήκαμε την εκθετική και το σημείο x_o

στο οποίο η εφαπτομένη είναι η δοθείσα.

#7

Γεια σας
Μιχάλη ευχαριστώ για την απάντηση.
Από μαθηματική άποψη είναι ίδια με την δικιά μου. Την γράφω γιατί, ίσως, κάποιοι συνάδελφοι την βρουν πιο κοντά με τον τρόπο που δουλεύουν στην τάξη:
Η τυχούσα εκθετική συνάρτηση $a^{x}$ γράφεται $e^{\lambda x}$ όπου $\lambda =\ln a\neq 0$ και επομένως η τυχούσα εφαπτομένη της είναι η
$y=\left( \lambda e^{\lambda x_{0}}\right) x+\left( 1-\lambda x_{0}\right) e^{\lambda x_{0}}\,\,\,(1)$
Οι ευθείες που δεν έχουν συντελεστή διευθύνσεως δε μπορούν να είναι εφαπτομένες της εκθετικής και επομένως μας ενδιαφέρουν ευθείες της μορφής
$y=px+q\,\,\,(2)$
οι οποίες είναι εφαπτομένες αν και μόνο αν υπάρχουν συμπίπτουν με κάποια από τις (1)

δηλαδή αν και μόνο αν υπάρχουν $\lambda ,x_{0}$ τέτοια ώστε:
$\boxed{\lambda e^{\lambda x_{0}}=p}\,\,\,\,\,\,\,\,(I)$ $\boxed{\left( 1-\lambda x_{0}\right) e^{\lambda x_{0}}=q}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(II)$
H (I)

μας δίνει ότι τα $\lambda ,p$ είναι ομόσημα και ότι $x_{0}=\frac{1}{\lambda }\ln \left( \frac{p}{\lambda }\right)$ οπότε η (II)

γίνεται
$\left( 1-\ln \left( \frac{p}{\lambda }\right) \right) \frac{p}{\lambda }=q$ και επομένως θα πρέπει το

να ανήκει στο σύνολο τιμών της $\left( 1-\ln t\right) t$ , t>0

που, με μελέτη συνάρτησης, βρίσκουμε ότι είναι το $\left( -\infty ,1\right]$ .
Άρα πρέπει $q \leq 1$ . Για κάθε τέτοιο

υπάρχει τουλάχιστον ένα $t=\frac{p}{\lambda }$ και επομένως ένα $\lambda$ οπότε και ένα $x_{0}=\frac{1}{\lambda }\ln \left( \frac{p}{\lambda }\right)$ .
Άρα εφαπτομένες είναι οι ευθείες y=px+q

, $q \leq 1$ .
ΣΧΟΛΙΟ Κάθε ευθεία y=px+q

, με

είναι εφαπτομένη σε δύο εκθετικές συναρτήσεις.

: exptan.png (75.48 KiB) Προβλήθηκε 1001 φορές

Εφαπτομένες σε γραφικές παραστάσεις εκθετικών.

Εφαπτομένες σε γραφικές παραστάσεις εκθετικών.

Re: Εφαπτομένες σε γραφικές παραστάσεις εκθετικών.

Re: Εφαπτομένες σε γραφικές παραστάσεις εκθετικών.

Re: Εφαπτομένες σε γραφικές παραστάσεις εκθετικών.

Re: Εφαπτομένες σε γραφικές παραστάσεις εκθετικών.

Re: Εφαπτομένες σε γραφικές παραστάσεις εκθετικών.

Re: Εφαπτομένες σε γραφικές παραστάσεις εκθετικών.

Μέλη σε σύνδεση