Μια φιλοσοφική συζήτηση περί των Μαθηματικών

[stranger]

Σας καλώ να συζητήσουμε όλοι μαζί τις φιλοσοφικές προεκτάσεις των Μαθηματικών.
Θα ξεκινήσω εγώ τη συζήτηση και αργότερα όποιος επιθυμεί να συμπεριλάβει μια ερώτηση φιλοσοφικού χαρακτήρα πάντα όμως σχετική με τα μαθηματικά. Δεν χρειάζεται να ξέρει κάποιος πολλά για να συμμετάσχει. Καλοσωρίζω οποιαδήποτε απορία η αναζήτηση σχετικά με τη μαθηματική φιλοσοφία.
Ξεκινάω από το θεώρημα πληρότητας(προσοχή όχι μη πληρότητας) του Godel.
Μια ισοδύναμη μορφή του είναι η εξής:
"Ένα σύνολο προτάσεων είναι συνεπές αν και μόνο αν έχει μοντέλο."
Δηλαδή μας λέει ότι η μόνη περίπτωση κάτι να μην υπάρχει είναι να είναι αντιφατικό.
Όσα είναι αντιφατικά δεν υπάρχουν.
Ας στραφούμε στην ανθρώπινη πραγματικότητα. Ισχυέι το θεώρημα πληρότητας εκεί;
Είναι αλήθεια ότι οτιδήποτε δεν είναι αντιφατικό υπάρχει;
Κατά πόσο ισχύουν οι μαθηματικές προτάσεις της λογικής στην πραγματικότητα; Μπορεί η λογική να εννοήσει το κόσμο;

[bouzoukman]

Δύσκολα ερωτήματα κι ακόμη πιο δύσκολο να απαντηθούν αν και εφόσον υπάρχουν απαντήσεις. Νομίζω ότι σε τέτοια ερωτήματα η απάντηση εξαρτάται από το πώς βλέπουμε το ρόλο των μαθηματικών, εννοώντας αν πιστεύουμε ότι τα μαθηματικά είναι οικουμενικά και είναι κομμάτι του φυσικού κόσμου ή απλώς είναι ανθρώπινα κατασκευάσματα.

Προσωπικά πιστεύω (είμαι από τους ρομαντικούς) ότι τα μαθηματικά υπάρχουν ανεξάρτητα από εμάς και ίσως ανεξάρτητα κι από την ύπαρξη του φυσικού κόσμου που γνωρίζουμε.

Οπότε πιστεύω ότι ο κόσμος σε μεγάλο βαθμό εξαρτάται από το πώς λειτουργούν τα μαθηματικά που γνωρίζουμε και είναι ένα κομμάτι του. Από την άλλη υπάρχουν κι αυτοί που υποστηρίζουν ότι πολλές φορές προσαρμόζουμε τις μαθηματικές μας θεωρίες ή και ακόμη τις θεμελιώνουμε, δες Ευκλείδια γεωμετρία, ώστε να συμβαδίζουν με το τι γίνεται στο κόσμο.

[stranger]

Ωραία το έθεσες το θέμα.
Η δικιά μου άποψη είναι ο κόσμος των ιδεών(που σε αυτόν ανήκουν τα μαθηματικά) έχει αληθινή ύπαρξη.
Υπάρχουν μέσα σε αυτόν όλα τα μαθηματικά που έχουν ανακαλυφθεί αλλά και όσα δεν έχουν ανακαληφθεί ακόμα.
Πιστεύω ότι το ένα αποτέλεσμα εξαρτάται από το άλλο με τέτοιο τρόπο που όλα μαζί φτιάχνουν μια ολότητα(την ολότητα της μαθηματικής αλήθειας).
Βέβαια στον κόσμο αυτόν των ιδεών υπάρχουν άπειρα το πλήθος μαθηματικά όμως ο άνθρωπος μπορεί να φτάσει σε πεπερασμένο το πλήθος γνώσεις.
Με λίγα λόγια ο άνθρωπος είναι καταδικασμένος να μην μάθει ποτέ όλη τη μαθηματική αλήθεια.

[nsmavrogiannis]

Ωραία το έθεσες το θέμα.
Η δικιά μου άποψη είναι ο κόσμος των ιδεών(που σε αυτόν ανήκουν τα μαθηματικά) έχει αληθινή ύπαρξη.
Υπάρχουν μέσα σε αυτόν όλα τα μαθηματικά που έχουν ανακαλυφθεί αλλά και όσα δεν έχουν ανακαληφθεί ακόμα.
Πιστεύω ότι το ένα αποτέλεσμα εξαρτάται από το άλλο με τέτοιο τρόπο που όλα μαζί φτιάχνουν μια ολότητα(την ολότητα της μαθηματικής αλήθειας).
Βέβαια στον κόσμο αυτόν των ιδεών υπάρχουν άπειρα το πλήθος μαθηματικά όμως ο άνθρωπος μπορεί να φτάσει σε πεπερασμένο το πλήθος γνώσεις.
Με λίγα λόγια ο άνθρωπος είναι καταδικασμένος να μην μάθει ποτέ όλη τη μαθηματική αλήθεια.

Μου πήρε καιρό, χρόνια για την ακρίβεια, για να έχω αντιρρήσεις σε αυτή την άποψη.
Με την ίδια λογική στον κόσμο των ιδεών (στην γλώσσα θα προτιμούσα) υπάρχουν όχι μόνο όσα έγιναν ή γίνονται αλλά και τα μελλούμενα.
Από την στιγμή που στον κόσμο των ιδεών υπάρχουν οι λέξεις και οι επαναληπτικές διατάξεις υπάρχει όλη η Λογοτεχνία.
Η Ιλιάδα του Ομήρου, η Αινειάδα του Βιργίλιου, ο Σοφοκλής, Δάντης, ο Σαίξπηρ.
Και αφού όλη η μουσική είναι σύμβολα σε μία παρτιτούρα υπάρχει και η 9η, τα Κατά Ματθαίον Πάθη, το "Βρέχει στη Φτωχογειτονιά" και ενδεχομένως και το Aqualung.
Και αν υποθέσουμε ότι η σμίλη του γλύπτη και το πινέλο του ζωγράφου κατευθύνονται από οδηγίες ε! τότε σε αυτό τον κόσμο των ιδεών υπάρχουν όλα τα δυνατά έργα της μουσικής ή της ζωγραφικής.
Σταματάω εδώ.
Ας το ξανασκεφτούμε χωρίς τον Πλάτωνα.
Ο κόσμος των ιδεών είναι απλώς μια δυνατότητα.
Ότι πραγματώνεται είναι η πραγματικότητα.
Ας μείνουμε στο τελευταίο. Τα Μαθηματικά μας είναι αυτά που έχουν γραφεί και όχι άλλα. Και υπάρχουν επειδή υπάρχουμε όλοι εμείς. Ένα μαθηματικό κείμενο γραμμένο σε χαρτί γίνεται μαθηματικό κείμενο όταν διαβαστεί και συζητηθεί από ανθρώπους.
Και για να μην παρεξηγηθώ ιδεαλιστής είμαι. Φρονώ ότι οι ιδέες είνα βαριές σαν μέταλλα και από τις πλέον υλικές. Όμως όλα αυτά μέσα στους ανθρώπους. Ποτέ ερήμην τους.
Απολογούμαι στο για το εκτενές κείμενο που οι ισχυρισμοί του δε μπορούν να επαληθευτούν ούτε να διαψευστούν.

[stranger]

Νομίζω ότι το θέμα είναι αν υπάρχει η μαθηματική αλήθεια η όχι; Όπως είπατε και εσείς αν υπάρχει η μαθηματική αλήθεια με την ίδια λογική υπάρχει όλη η λογοτεχνία και η μουσική κ.α.
Εγώ τείνω να πιστέψω πως οτιδήποτε υπάρχει τώρα, υπήρχε από πάντα σαν ιδέα.
Δηλαδή πριν ανακαλυφτούν τα αυτοκίνητα δεν υπήρχαν ήδη οι νόμοι της φυσικής που χρησιμοποιήσαμε μετά για να φτιάξουμε ένα αυτοκίνητο.
Νομίζω ότι το αυτοκίνητο σαν ιδέα υπήρχε πάντα και έμελε να ανακαλυφτεί αργότερα.
Βέβαια αυτό που λεω μοιάζει πολύ με τις πλατωνικές ιδέες.
Ας δούμε κάτι άλλο. Πριν υπάρξει ο βούδας δεν υπήρχε ήδη αυτή η σύνδεση της αναπνοής με την ευδαιμονία;

[Μάρκος Βασίλης]

Ποια είναι η σκοπιμότητα του να θεωρούμε ότι υπάρχει, εν γένει, μαθηματική αλήθεια πέρα από αυτή που μπορούμε να κατασκευάσουμε; Θεωρώ ότι ως άνθρωποι, κάθε μας συμπεριφορά και πεποίθηση (εσωτερική ή εξωτερική) σε ατομικό ή/και συλλογικό επίπεδο ξεκινάει γιατί (τουλάχιστον κάποια στιγμή στη ζωή μας) κάπου μας εξυπηρετούσε. Επομένως, το να θέλουμε να «ξεφύγουμε» από αυτά που μπορούμε να φτάσουμε - από την κατασκευάσιμη αλήθεια - κάπου μας εξυπηρετεί/έχει εξυπηρετήσει.

[stranger]

Προσωπικά δεν με εξυπηρετεί σε κάτι να προσπαθώ να κατανοήσω η να αμφισβητήσω κάποια πράγματα στα μαθηματικά.
Είναι ενδιαφέρον και γιαυτό ασχολούμε με τη φιλοσοφία των μαθηματικών.
Σίγουρα αν κατανοήσω κάποια πράγματα παραπάνω θα έχω τη χαρά ότι κάπως προχώρησα στις γνώσεις μου και στις ικανότητές μου.
Αυτό μόνο τίποτα άλλο.

[george visvikis]

Πιστεύω ότι όλες οι μαθηματικές αλήθειες προϋπήρχαν από καταβολής κόσμου και όχι μόνο στον κόσμο των ιδεών. Στην διάρκεια των αιώνων η μαθηματική επιστήμη έχει εξελιχθεί, αναπτύχθηκαν-και συνεχίζουν να αναπτύσσονται-νέοι κλάδοι και ανοίχτηκαν νέοι ορίζοντες που έδωσαν και εξακολουθούν να δίνουν τροφή για σκέψη και έρευνα. Δίνεται έτσι η ψευδαίσθηση ότι ο άνθρωπος ανακαλύπτει καινούργια μονοπάτια πάνω στα οποία θεμελιώνει νέες θεωρίες. Στην πραγματικότητα αποκαλύπτει αυτά που ήδη υπάρχουν.

Η σχέση ανάμεσα στις πλευρές ορθογωνίου τριγώνου υπήρχε πάντα. Οι άνθρωποι απλώς την διαπίστωσαν (σε διαφορετικές χρονικές περιόδους και σε διαφορετικά μήκη και πλάτη της γης) και την ονόμασαν Πυθαγόρειο θεώρημα. Το ίδιο συμβαίνει με τον χρυσό αριθμό Φ . Η θεϊκή αυτή αναλογία εμφανίζεται παντού στη φύση, σε φυτά, σε καρπούς, σε ζωντανούς οργανισμούς, στην αρχιτεκτονική, στη ζωγραφική στη γλυπτική, στη μουσική, κ.α. Είναι μία αναλογία που υπήρχε από τη δημιουργία του κόσμου, ανεξάρτητα από τον Φειδία (το αρχικό γράμμα Φ του ονόματός του), τον Mark Barr (στον οποίο αποδίδεται ο συμβολισμός Φ), τον Luca Pacioli (που τον ονόμασε Θεία αναλογία) και της ακολουθίας του Fibonacci (για τους γνωστούς μαθηματικούς λόγους). Τέλος, το φως ακολουθούσε πάντα την "αρχή του ελάχιστου χρόνου" πριν γεννηθεί ο Fermat και είχε την ίδια ταχύτητα, πριν μπορέσουμε να την μετρήσουμε.

Με λίγα λόγια, θέλω να πω ότι οι εκάστοτε ανακαλύψεις μπορεί να είναι νέες για τον κόσμο μας, αλλά στον ιδεατό κόσμο υπήρχαν από την αρχή του χρόνου. Ωστόσο, αυτά αποτελούν προσωπικές σκέψεις και πεποιθήσεις και δεν θέλω σε καμία περίπτωση να υποβαθμίσω την συμβολή του ανθρώπου που ομολογουμένως είναι τεράστια στην εξέλιξη όλων των Επιστημών. Εξάλλου ζούμε σε ένα κόσμο ανθρωποκεντρικό και τίποτα απ' ό,τι υπάρχει δεν θα είχε νόημα χωρίς την ύπαρξη του ανθρώπου. Εν κατακλείδι, αυτό που πιστεύω είναι ότι η Παγκόσμια Δύναμη που διέπει τους Συμπαντικούς Νόμους έχει αφήσει ανοιχτό κάποιο παραθυράκι, απ' όπου αντλούμε τις διάφορες πληροφορίες. Έτσι, μας δίνεται η δυνατότητα κατά καιρούς να πανηγυρίζουμε ένα νέο επίτευγμα του ανθρώπινου γένους.

[stranger]

Πιστεύω ότι όλες οι μαθηματικές αλήθειες προϋπήρχαν από καταβολής κόσμου και όχι μόνο στον κόσμο των ιδεών. Στην διάρκεια των αιώνων η μαθηματική επιστήμη έχει εξελιχθεί, αναπτύχθηκαν-και συνεχίζουν να αναπτύσσονται-νέοι κλάδοι και ανοίχτηκαν νέοι ορίζοντες που έδωσαν και εξακολουθούν να δίνουν τροφή για σκέψη και έρευνα. Δίνεται έτσι η ψευδαίσθηση ότι ο άνθρωπος ανακαλύπτει καινούργια μονοπάτια πάνω στα οποία θεμελιώνει νέες θεωρίες. Στην πραγματικότητα αποκαλύπτει αυτά που ήδη υπάρχουν.

Η σχέση ανάμεσα στις πλευρές ορθογωνίου τριγώνου υπήρχε πάντα. Οι άνθρωποι απλώς την διαπίστωσαν (σε διαφορετικές χρονικές περιόδους και σε διαφορετικά μήκη και πλάτη της γης) και την ονόμασαν Πυθαγόρειο θεώρημα. Το ίδιο συμβαίνει με τον χρυσό αριθμό Φ . Η θεϊκή αυτή αναλογία εμφανίζεται παντού στη φύση, σε φυτά, σε καρπούς, σε ζωντανούς οργανισμούς, στην αρχιτεκτονική, στη ζωγραφική στη γλυπτική, στη μουσική, κ.α. Είναι μία αναλογία που υπήρχε από τη δημιουργία του κόσμου, ανεξάρτητα από τον Φειδία (το αρχικό γράμμα Φ του ονόματός του), τον Mark Barr (στον οποίο αποδίδεται ο συμβολισμός Φ), τον Luca Pacioli (που τον ονόμασε Θεία αναλογία) και της ακολουθίας του Fibonacci (για τους γνωστούς μαθηματικούς λόγους). Τέλος, το φως ακολουθούσε πάντα την "αρχή του ελάχιστου χρόνου" πριν γεννηθεί ο Fermat και είχε την ίδια ταχύτητα, πριν μπορέσουμε να την μετρήσουμε.

Με λίγα λόγια, θέλω να πω ότι οι εκάστοτε ανακαλύψεις μπορεί να είναι νέες για τον κόσμο μας, αλλά στον ιδεατό κόσμο υπήρχαν από την αρχή του χρόνου. Ωστόσο, αυτά αποτελούν προσωπικές σκέψεις και πεποιθήσεις και δεν θέλω σε καμία περίπτωση να υποβαθμίσω την συμβολή του ανθρώπου που ομολογουμένως είναι τεράστια στην εξέλιξη όλων των Επιστημών. Εξάλλου ζούμε σε ένα κόσμο ανθρωποκεντρικό και τίποτα απ' ό,τι υπάρχει δεν θα είχε νόημα χωρίς την ύπαρξη του ανθρώπου. Εν κατακλείδι, αυτό που πιστεύω είναι ότι η Παγκόσμια Δύναμη που διέπει τους Συμπαντικούς Νόμους έχει αφήσει ανοιχτό κάποιο παραθυράκι, απ' όπου αντλούμε τις διάφορες πληροφορίες. Έτσι, μας δίνεται η δυνατότητα κατά καιρούς να πανηγυρίζουμε ένα νέο επίτευγμα του ανθρώπινου γένους.

Αυτή ακριβώς είναι και η δική μου πεποίθηση. Ας επιστρέψουμε στο αρχικό ερώτημα που έβαλα(δηλαδή στο θεώρημα πληρότητας του Godel).
Το θεώρημα του Godel λέει ότι οτιδήποτε δεν είναι αντιφατικό έχει μοντέλο, δηλαδή αφού έχει μοντέλο υπάρχει.Κατά τη γνώμη μου το θεώρημα του Godel ισχύει στον κόσμο των ιδεών, δηλαδή οτιδήποτε δεν είναι αντιφατικό υπάρχει.
Το θεώρημα του Godel χρησιμοποιεί λογικές ιδέες και αυτό σημαίνει πιστεύω ότι ισχύει και στον κόσμο των ιδεών.

[S.E.Louridas]

Γειά σας.
Ας μου επιτραπεί να εκθέσω και εγώ κάτι. Ο Άνθρωπος εκ των πραγμάτων ζει υπό τη σημερινή του μορφή σε μία εξ΄ ορισμού άβολη για αυτόν κατάσταση. Αυτή είναι ότι, πάντα υπό την συγκεκριμένη μορφή του, είναι ως άτομο πεπερασμένος, αλλά είναι υποχρεωμένος να κινείται ως συνεχές σύνολο στο άπειρο που δεν έχει αρχή ούτε τέλος. Τελικά ο Θεός για αυτούς που πιστεύουν σε αυτό ή η Φύση για τους άλλους του έχει δώσει προνομιακό – ηγετικό ρόλο πάνω στη Γη με κόστος να μπορεί να επιβιώνει αυτός αλλά και το υπόλοιπο κομμάτι της Γης έτσι ή αλλιώς. Εκ των πραγμάτων χρειάζεται δύο τουλάχιστον πράγματα: 1ο ένα μηχανισμό λειτουργίας της σκέψης του και 2ο ένα σημείο εκκίνησης του μηχανισμού αυτού, ώστε να παραχθεί έργο ζωής του πλανήτη Γη αλλά και των στοιχείων της. Ο μηχανισμός είναι αυτό που ονομάζουμε Λογική που η επιστημονικοποίηση της είναι η Μαθηματική Λογική δηλαδή η επιστημονική Λογική από τη στιγμή μάλιστα που Θαλής επέλεξε την Απόδειξη ως μέθοδο τεκμηρίωσης. Όμως η Λογική από μόνη της είναι απλά ένα εργαλείο νεκρό, πολύ καλό αλλά νεκρό. Την εκκίνηση για να λειτουργήσει την δίνει τουλάχιστον ένα ΑΞΙΩΜΑ, ώστε να μοντελοποιηθεί μία κατάσταση που θα Δουλεύει όπως λέμε. Έτσι για τις διάφορες θεωρίες ενώ το εργαλείο είναι το ίδιο, αυτές διαφέρουν από την αξιωματική βάση εκκίνησης της λειτουργίας. Όμως για την επιλογή του τουλάχιστον ενός βασικού Αξιώματος εκκίνησης υπάρχει κάτι πολύ-πολύ δυνατό που δεν είναι λογικό. Είναι η δύναμη του Ανθρώπου στον πριν λογικό μηχανισμό που την ονόμασε {Διαίσθηση, Αφαιρετική ικανότητα , Εκ των προτέρων κοσμικό αίσθημα}. Αυτά τα τρία είναι που όταν συνυπάρχουν ενισχυόμενα από την επίσης ανεξήγητη θέληση για ζωή ως είδος, μέρος του γενικότερου περιβάλλοντος ζωής, παράγουν την νοητική πρόοδο άρα την ζωή ως επαγωγική διαδικασία από άτομο σε άτομο, από ομάδα σε ομάδα σε ένα νήμα που τελικά οδεύει ως τέτοιο προς το άπειρο σε μία συνεχή κινητικότητα προς τα εκεί. Άρα το ίδιο εργαλείο που είναι η Λογική εφαρμοζόμενη σε δύο τουλάχιστον διαφορετικά αρχικά αξιώματα εκκίνησης μπορεί να δώσει τελείως διαφορετικές θεωρίες που να είναι αποδεκτές. Δηλαδή απλοποιώντας τελείως τα πράγματα, η ίδια μηχανή παραγωγής κιμά δίνει κιμά ανάλογα με το είδος του κρέατος που θέτουμε προς άλεσμα. Όμως ο Τεράστιος Καθοριστικός Μοναδικός Ρόλος που μάλλον είναι δώρο του Θεού είτε της Φύσης για την επιβίωση είναι ο ρόλος των Μαθηματικών για την τελειοποίηση όσο το δυνατόν της χρήσης της Λογικής για την παραγωγή δεδομένων για την ανελικτική επιβίωση του Ανθρώπινου είδους μέσω της Άγιας Επιστήμης, αλλά εντός ενός γενικότερου περιβάλλοντος ζωής και των άλλων ειδών, κατά το μέγιστο δυνατόν. Αλλά πάντα θα παραμένει το πρόβλημα της επιλογής των κατάλληλων Αξιωμάτων εκκίνησης ως αποτέλεσμα της εξέλιξης των ήδη υπαρχόντων ή γιατί όχι και καινούργιων; Για αυτό το εκτός Λογικής περιβάλλον χρειάζεται ο Άνθρωπος να μην χάσει το εκ των προτέρων κοσμικό αίσθημα που έχει ως θείο δώρο και βέβαια την διαίσθηση και την αφαίρεση και αυτό επειδή η Λογική από μόνη της αυτή καθ΄ αυτή Δυστυχώς δεν «Δουλεύει».
Ευχαριστώ όσους διάβασαν αυτά που εκτέθηκαν από μέρους μου ως προς το παρόν πιστεύω μου.

[bouzoukman]

Αυτή ακριβώς είναι και η δική μου πεποίθηση. Ας επιστρέψουμε στο αρχικό ερώτημα που έβαλα(δηλαδή στο θεώρημα πληρότητας του Godel).
Το θεώρημα του Godel λέει ότι οτιδήποτε δεν είναι αντιφατικό έχει μοντέλο, δηλαδή αφού έχει μοντέλο υπάρχει.Κατά τη γνώμη μου το θεώρημα του Godel ισχύει στον κόσμο των ιδεών, δηλαδή οτιδήποτε δεν είναι αντιφατικό υπάρχει.
Το θεώρημα του Godel χρησιμοποιεί λογικές ιδέες και αυτό σημαίνει πιστεύω ότι ισχύει και στον κόσμο των ιδεών.

Ο τρόπος σκέψης μου συμβαδίζει απόλυτα με το Θεώρημα το Godel. Σε αντίθεση με τα περισσότερα πράγματα στον κόσμο των ιδεών που είναι αποτέλεσμα της ανθρώπινης δημιουργικότητας, πιστεύω ότι οι μαθηματικές αλήθειες υπάρχουν και χωρίς εμάς. Η έννοια των αριθμών 1,2,3,.. υπάρχει για οποιοδήποτε πλάσμα σε αυτό το σύμπαν έστω κι αν δεν έχουν την νοημοσύνη να το αντιληφθούν. Προσωπικά πιστεύω ότι οι μαθηματικοί δουλεύουν πιο πολύ σαν 'ντετέκτιβ' και 'εξερευνητές' και πως ανακαλύπτουν πράγματα που ενώ είναι εκεί απλώς δεν ξέραμε ότι υπάρχουν.

Από την άλλη βέβαια το Θεώρημα της Μη Πληρότητας του Godel μας λέει ξεκάθαρα ότι δυστυχώς τα όριά μας είναι περιορισμένα και 'δυστυχώς' είμαστε αναγκασμένοι και καταδικασμένοι να δεχτούμε ότι δεν μπορούμε να μάθουμε τα πάντα.

[stranger]

Ο τρόπος σκέψης μου συμβαδίζει απόλυτα με το Θεώρημα το Godel. Σε αντίθεση με τα περισσότερα πράγματα στον κόσμο των ιδεών που είναι αποτέλεσμα της ανθρώπινης δημιουργικότητας, πιστεύω ότι οι μαθηματικές αλήθειες υπάρχουν και χωρίς εμάς. Η έννοια των αριθμών 1,2,3,.. υπάρχει για οποιοδήποτε πλάσμα σε αυτό το σύμπαν έστω κι αν δεν έχουν την νοημοσύνη να το αντιληφθούν. Προσωπικά πιστεύω ότι οι μαθηματικοί δουλεύουν πιο πολύ σαν 'ντετέκτιβ' και 'εξερευνητές' και πως ανακαλύπτουν πράγματα που ενώ είναι εκεί απλώς δεν ξέραμε ότι υπάρχουν.

Από την άλλη βέβαια το Θεώρημα της Μη Πληρότητας του Godel μας λέει ξεκάθαρα ότι δυστυχώς τα όριά μας είναι περιορισμένα και 'δυστυχώς' είμαστε αναγκασμένοι και καταδικασμένοι να δεχτούμε ότι δεν μπορούμε να μάθουμε τα πάντα.

Το θεώρημα μη-πληρότητας ίσως είναι ένα σημάδι ότι τα αξιώματά μας δεν είναι αυτά που θα πρέπει να είναι.
Το γεγονός ότι για παράδειγμα η υπερβολική γεωμετρία είναι πλήρης ίσως είναι ένα σημάδι ότι υπάρχει ένα αξιωματικό σύστημα πλήρες που να μπορεί να στηρίξει όλα τα μαθηματικά.
Ίσως τέτοιο αξιωματικό σύστημα υπάρχει αλλά δεν το έχουμε βρει ακόμα. Το μεγάλο πρόβλημα είναι ότι αν θέλουμε να ορίσουμε τους φυσικούς αριθμούς υπάρχει ένα θέμα το οποίο μας λέει ότι είναι δύσκολο(αν όχι ακατώρθωτο) να τους ορίσουμε μέσα σε ένα πλήρες σύστημα.
Δηλαδή ίσως υπάρχει ένα αξιωματικό σύστημα πλήρες και συνεπές που να μπορεί να στηρίξει όλα τα μαθηματικά.
Ίσως η αλλαγή πλεύσης στο μέλλον είναι απαραίτητη.

[Μάρκος Βασίλης]

Το θεώρημα μη-πληρότητας ίσως είναι ένα σημάδι ότι τα αξιώματά μας δεν είναι αυτά που θα πρέπει να είναι.
Το γεγονός ότι για παράδειγμα η υπερβολική γεωμετρία είναι πλήρης ίσως είναι ένα σημάδι ότι υπάρχει ένα αξιωματικό σύστημα πλήρες που να μπορεί να στηρίξει όλα τα μαθηματικά.

Το παραπάνω δεν ξέρω αν είναι απόλυτα αληθές, υπό την έννοια ότι, τουλάχιστον με όσα έχω υπ' όψιν μου, δεν είναι καθ' ολοκληρίαν η θεωρία της υπερβολικής γεωμετρίας πλήρης αλλά το «ουσιώδες» τμήμα της. Για την ακρίβεια, η απόδειξη πληρότητας που έχω κατά νου βασίζεται στην αξιωματικοποίηση του Tarki - η οποία είναι η ίδια με αυτήν που έχει δώσει για την Ευκλείδεια Γεωμετρία αν αρνηθούμε το σχετικό αξίωμα περί παραλλήλων - για την οποία δεν έχω κατά νου κάποιο αποτέλεσμα που να αποδεικνύει ότι αναπαριστά κάθε αποτέλεσμα της «συνήθους» υπερβολικής γεωμετρίας.

Όπως και να έχει, όμως, η εν λόγω αξιωματικοποίηση είναι αρκετά «φτωχή» εκφραστικά, ακριβώς για να μην πέφτει στις γλώσσες που περιγράφεται από το Θεώρημα μη πληρότητας του Goedel, οπότε δεν ξέρω αν μας υποδεικνύει έναν «δρόμο» για κάτι άλλο ή αν απλά είναι μία πολύ καλή γυμναστική πάνω στα όρια της εκφραστικότητας των πλήρων γλωσσών.

[stranger]

Αυτό που θέλω να πω είναι ότι ίσως υπάρχει καλύτερος δρόμος από την ZFC. Μια αξιωματικοποίηση που όλα τα μοντέλα της να είναι ισόμορφα(πληρότητα δηλαδή).
Δεν είμαι ειδικός πάνω στη λογική και τα αξιώματα οπότε μπορεί ένα τέτοιο ενδεχόμενο να μην υπάρχει.
Παρόλαυτα έχω πει ότι θα το ψάξω το συγκεκριμένο θέμα όταν βρω χρόνο και όρεξη.
Το ότι οι περισσότεροι μαθηματικοί συμφωνουν στην ZFC είναι κάτι.
Βέβαια λίγοι από αυτους είναι ειδήμονες πάνω σε αυτό το θέμα.
Το μόνο που λέω είναι ότι ίσως αυτό να χρειάζεται ψάξιμο πολλών ετών.

[S.E.Louridas]

Καλημέρα.
Απλά να πω ότι υπάρχουν και κάποιες λεπτομέρειες που παίζουν πολύ πιό σημαντικό ρόλο από αυτόν που φαίνεται αρχικά. Για παράδειγμα από τη στιγμή που λέμε .... κατά την άποψη μου .... αυτόματα είναι σαν να ζητούμε και πάλι "κατάλληλο" αξίωμα για να αρχίσει να λειτουργεί με βάση αυτό η λογική. Επίσης η έννοια της ευθείας κατά Ευκλείδη (είναι η γραμμή ήτις εξίσου της ευ ευ εαυτής σημείοις κείται, δηλαδή έχουμε τα απόλυτο "τέντωμα της τρίχας") είναι απειροστά μεν διαφορετική από την περίπτωση που της θεώρησης μίας ενυπάρχουσας καμπυλότητας που τείνει μεν στο μηδέν αλλά "σπάει" ας πούμε το απόλυτο "τέντωμα της τρίχας" επιτρέποντας έτσι την ας πούμε κατάργηση του 5ου αιτήματος στον Ευκλείδη. Όμως παρόλη την όμορφη και ίσως επιβαλλόμενη κατάσταση ψαξίματος, ο Άνθρωπος-άτομο είναι πεπερασμένος, αλλά προς το παρόν και ο Άνθρωπος - κοινωνία, ενώ το σύμπαν και δή το σύνολο των συμπάντων είναι τουλάχιστον απειροσύνολο. Προχωράμε λοιπόν τον όμορφο αυτό δρόμο με βάση το μέγιστο δώρο που μας έδωσε ο Θεός (όπως θα έλεγαν και οι Πυθαγόρειοι, τουλάχιστον), που είναι τα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ως καθύλην αρμόδια Επιστήμη Μελέτης, Χειρισμού, εξέλιξης της ΛΟΓΙΚΗΣ, αλλά και ΚΥΡΙΑ της επιλογής κατάλληλων αξιωμάτων, ώστε η λογική να λειτουργεί και να μην μετατραπεί σε θαυμάσιο μεν αλλά "σκουριασμένο" δε εργαλείο ζωής, σκουριασμένο λόγω ακινησίας.

[bouzoukman]

Αυτό που θέλω να πω είναι ότι ίσως υπάρχει καλύτερος δρόμος από την ZFC. Μια αξιωματικοποίηση που όλα τα μοντέλα της να είναι ισόμορφα(πληρότητα δηλαδή).
Δεν είμαι ειδικός πάνω στη λογική και τα αξιώματα οπότε μπορεί ένα τέτοιο ενδεχόμενο να μην υπάρχει.
Παρόλαυτα έχω πει ότι θα το ψάξω το συγκεκριμένο θέμα όταν βρω χρόνο και όρεξη.
Το ότι οι περισσότεροι μαθηματικοί συμφωνουν στην ZFC είναι κάτι.
Βέβαια λίγοι από αυτους είναι ειδήμονες πάνω σε αυτό το θέμα.
Το μόνο που λέω είναι ότι ίσως αυτό να χρειάζεται ψάξιμο πολλών ετών.

Αυτά είναι δύσκολα ερωτήματα και χρειάζεται χρόνια έρευνας. Είναι τόσο λεπτές οι ισορροπίες που δεν είναι τυχαίο ότι πήρε αρκετούς αιώνες ώστε να καταλήξουμε σε αυτό που έχουμε σήμερα που φαίνεται να δουλεύει αρκετά καλά ως τώρα.

[stranger]

Αυτό που μου κίνησε την περιέργεια και ήθελα να το ψάξω παραπάνω ήταν ένα θεώρημα στο βιβλίο του Μοσχοβάκη στην συνολοθεωρία που αποδεικνύει ότι όλα τα μοντέλα της αριθμητικής είναι ισόμορφα. Αυτό συνεπάγεται πληρότητα της αριθμητικής. Ίσως να θεωρεί μια άλλη αξιωματικοποίηση των μαθηματικών δεν είμαι σίγουρος. Βέβαια για να ψάξεις σωστά ένα τέτοιο θέμα χρειάζεται πολλή δουλειά και πολύς χρόνος.
Αν κάποιος ξέρει να μου το εξηγήσει πως έχουμε ότι στο συγκεκριμένο βιβλίο η αριθμητική είναι πλήρης, θα ήμουν υπόχρεος.

[stranger]

Το μόνο ανέγκιχτο στον συνεχώς μεταβαλλόμενο κόσμο είναι οι ιδέες.
Ο κόσμος συνεχώς μεταβάλλεται υπό τις διαταγές του χρόνου.
Οι ιδέες είναι αιώνιες και ο χρόνος δεν μπορεί να τις φτάσει.

[bouzoukman]

Το μόνο ανέγκιχτο στον συνεχώς μεταβαλλόμενο κόσμο είναι οι ιδέες.
Ο κόσμος συνεχώς μεταβάλλεται υπό τις διαταγές του χρόνου.
Οι ιδέες είναι αιώνιες και ο χρόνος δεν μπορεί να τις φτάσει.

Συμφωνώ απόλυτα όσο αναφορά τις μαθηματικές έννοιες αλλά δεν ξέρω αν συμφωνώ για κάτι πέρα από αυτό. Όσο περνάνε τα χρόνια και μαθαίνοντας περισσότερο και ιδιαίτερα για το πως δουλεύει ο ανθρώπινος εγκέφαλος (παρεμπιπτόντως δεν έχω κάποιο υπόβαθρο σε Βιολογία ότι μαθαίνω διαβάζοντας εδώ κι από εκεί) πιστεύω ότι ένα μεγάλο κομμάτι από αυτό που λέμε 'ιδέες' είναι απόρροια του πως δουλεύει αυτός ο βιολογικός υπολογιστής που έχουμε. Αυτό δε σημαίνει απαραίτητα ότι είναι κακό γιατί ο εγκέφαλος είναι η αιτία που φτάσαμε εδώ που φτάσαμε σαν είδος αλλά σίγουρα επεξεργάζεται τον κόσμο με ένα συγκεκριμένο τρόπο.

Αυτό που θέλω να πω είναι ότι οι μαθηματικές έννοιες υπάρχουν και έχουν το ίδιο νόημα ανεξαρτήτως αν είσαι άνθρωπος, μύκητας, εξωγήινος, είναι οικουμενικές. Από την άλλη ένα μουσικό κομμάτι ή ένα μυθιστόρημα για παράδειγμα που αν και τα δύο είναι αποτέλεσμα έντονης και ιδιαίτερης πνευματικής δουλειάς (επουδενί δεν έχω σκοπό να μειώσω τον κόπο αυτόν τον ανθρώπων, μάλιστα πολλούς τους θαυμάζω) δεν ξέρω αν έχουν πολύ νόημα για κάποιο είδος πέραν του ανθρώπινου; δεν είναι οικουμενικά.

[Μάρκος Βασίλης]

Συμφωνώ απόλυτα όσο αναφορά τις μαθηματικές έννοιες αλλά δεν ξέρω αν συμφωνώ για κάτι πέρα από αυτό. Όσο περνάνε τα χρόνια και μαθαίνοντας περισσότερο και ιδιαίτερα για το πως δουλεύει ο ανθρώπινος εγκέφαλος (παρεμπιπτόντως δεν έχω κάποιο υπόβαθρο σε Βιολογία ότι μαθαίνω διαβάζοντας εδώ κι από εκεί) πιστεύω ότι ένα μεγάλο κομμάτι από αυτό που λέμε 'ιδέες' είναι απόρροια του πως δουλεύει αυτός ο βιολογικός υπολογιστής που έχουμε. Αυτό δε σημαίνει απαραίτητα ότι είναι κακό γιατί ο εγκέφαλος είναι η αιτία που φτάσαμε εδώ που φτάσαμε σαν είδος αλλά σίγουρα επεξεργάζεται τον κόσμο με ένα συγκεκριμένο τρόπο.

Αυτό που θέλω να πω είναι ότι οι μαθηματικές έννοιες υπάρχουν και έχουν το ίδιο νόημα ανεξαρτήτως αν είσαι άνθρωπος, μύκητας, εξωγήινος, είναι οικουμενικές. Από την άλλη ένα μουσικό κομμάτι ή ένα μυθιστόρημα για παράδειγμα που αν και τα δύο είναι αποτέλεσμα έντονης και ιδιαίτερης πνευματικής δουλειάς (επουδενί δεν έχω σκοπό να μειώσω τον κόπο αυτόν τον ανθρώπων, μάλιστα πολλούς τους θαυμάζω) δεν ξέρω αν έχουν πολύ νόημα για κάποιο είδος πέραν του ανθρώπινου; δεν είναι οικουμενικά.

Αν βάζουμε έναν παράγοντα «υποκειμενικότητας» στον τρόπο που δουλεύει ο ανθρώπινος εγκέφαλος δε βλέπω γιατί πρέπει να τον αγνοήσουμε όταν μιλάμε για τα μαθηματικά. Παραμένουν υποκειμενικές ερμηνείες του ανθρώπου για τον κόσμο, άλλωστε, που τον περιγράφουν, προς το παρόν, εντυπωσιακά καλά. Αλλά, ποιος μας λέει ότι είναι αλήθειες πέρα από τη βαθύτερη επιθυμία μας να το πιστέψουμε;