Διπλή εξίσωση

KARKAR · #1

α) Λύστε την εξίσωση : $\dfrac{2}{x+a}+\dfrac{2}{x+b}=\dfrac{8}{2x+a+b} , a , b \in \mathbb{R}$

β) Λύστε την εξίσωση : $\dfrac{2}{x+a}+\dfrac{2}{x+b}=\dfrac{9}{2x+a+b} , a , b \in \mathbb{R}$

Σημείωση : Η άσκηση απευθύνεται σε μαθητές της Α' Λυκείου . Παρακαλείται λοιπόν ο λύτης

να αναρτήσει λύση λεπτομερή , σαν αυτή δηλαδή που θα προτείναμε να γράψει ο μαθητής .

BAGGP93 · #2

α) Η εξίσωση ορίζεται για όλους τους αριθμούς

εκτός από $-a\,,-b\,,-\dfrac{a+b}{2}$ .

Ας δούμε πρώτα την περίπτωση, όπου a=b

, οπότε η εξίσωση ορίζεται για $x\neq -a$ και είναι η

$\displaystyle{\dfrac{2}{x+a}+\dfrac{2}{x+a}=\dfrac{8}{2\,x+2\,a}\iff \dfrac{4}{x+a}=\dfrac{4}{x+a}}$ αόριστη δηλαδή εκτός του

.

Έστω τώρα $a\neq b$ . Έχουμε,

$\begin{aligned}\dfrac{2}{x+a}+\dfrac{2}{x+b}=\dfrac{8}{2\,x+a+b}&\iff \dfrac{2\,(x+b)+2\,(x+a)}{(x+a)\,(x+b)}=\dfrac{8}{(x+a)+(x+b)}\\&\iff 2\,\left[(x+a)+(x+b)\right]^2=8\,(x+a)\,(x+b)\\&\iff 2\,(x+a)^2+2\,(x+b)^2+4\,(x+a)\,(x+b)-8\,(x+a)\,(x+b)=0\\&\iff 2\,(x+a)^2+2\,(x+b)^2-4\,(x+a)\,(x+b)=0\\&\iff 2\,[(x+a)-(x+b)]^2=0\\&\iff 0\,x=a-b \end{aligned}$

και στην περίπτωση αυτή δεν έχουμε λύσεις.

β) Ομοίως, και αυτή η εξίσωση ορίζεται για όλα τα πραγματικά

εκτός των $-a\,,-b\,,-\dfrac{a+b}{2}$ .

Όπως και την προηγούμενη, μπορούμε να την μετρατέψουμε στην ισοδύναμή της $2\,[(x+a)+(x+b)]^2=9\,(x+a)\,(x+b)$ .

Αν a=b

(με σύνολο ορισμού για $x\neq -a$ ) τότε έχουμε την εξίσωση

$2\,(2x+2\,a)^2=9\,(x+a)^2\iff 8\,(x+a)^2=9\,(x+a)^2\iff x=-a$ , απορρίπτεται.

Αν $a\neq b$ , τότε η εξίσωση γίνεται $-x^2-(a+b)\,x+2\,a^2+2\,b^2-5\,a\,b=0$ . Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα που είναι

$\Delta=a^2+b^2+2\,a\,b+8\,a^2+8\,b^2-20\,a\,b=9\,a^2+9\,b^2-18\,a\,b=9\,(a-b)^2>0$ , και άρα οι ρίζες είναι

$x=\dfrac{a+b\pm 3\,(a-b)}{-2}=b-2\,a\,\,,a-2\,b$ (δεκτές και οι 2 διότι καμία από αυτές δεν ισούται με κάποιο από τα $-a\,,-b\,,-\dfrac{a+b}{2}$ )

#3

Καλησπέρα σε όλους.
α) Για κάθε $\displaystyle x \in R$ με τους περιορισμούς $\displaystyle x \ne - a\;,\;\;x \ne - b\;\;\; \wedge \;\;\;x \ne - \frac{{a + b}}{2}$
η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle \frac{2}{{x + a}} + \frac{2}{{x + b}} = \frac{8}{{2x + a + b}}$

$\displaystyle \Leftrightarrow 2\left( {x + b} \right)\left( {2x + a + b} \right) + 2\left( {x + a} \right)\left( {2x + a + b} \right) = 8\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = b$

Οπότε η εξίσωση έχει λύση κάθε πραγματικό αριθμό $\displaystyle x \ne - a$ , αν και μόνο αν a=b

,

ενώ αν $\displaystyle a \ne b$ είναι αδύνατη.

β) Για κάθε $\displaystyle x \in R$ με τους περιορισμούς $\displaystyle x \ne - a\;,\;\;x \ne - b\;\;\; \wedge \;\;\;x \ne - \frac{{a + b}}{2}$
η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle \frac{2}{{x + a}} + \frac{2}{{x + b}} = \frac{9}{{2x + a + b}}$

$\displaystyle \Leftrightarrow 2\left( {x + b} \right)\left( {2x + a + b} \right) + 2\left( {x + a} \right)\left( {2x + a + b} \right) = 9\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} + \left( {a + b} \right)x + 5ab - 2{b^2} - 2{a^2} = 0$
που έχει ρίζες $\displaystyle x = a - 2b\;\;\; \wedge \;\;\;x = b - 2a$

Οπότε, για να ικανοποιούνται οι περιορισμοί, πρέπει

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} - a \ne a - 2b\\ - a \ne b - 2a \end{array} \right.\;\; \Leftrightarrow a \ne b\;\; \wedge \;\left\{ \begin{array}{l} - b \ne a - 2b\\ - b \ne b - 2a \end{array} \right.\;\; \Leftrightarrow a \ne b\; \wedge \;\left\{ \begin{array}{l} - \frac{{a + b}}{2} \ne a - 2b\\ - \frac{{a + b}}{2} \ne b - 2a \end{array} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;a \ne b$

Άρα αν a = b

η εξίσωση είναι αδύνατη, ενώ αν $\displaystyle a \ne b$ , έχει λύσεις της μορφής:

$\displaystyle x = a - 2b\;\;\; \wedge \;\;\;x = b - 2a$ , $a, b \in R$ .

edit: Νομίζω, έγραψα περίπου τα ίδια με τον Ευάγγελο, που απάντησε πρώτος και με καλύτερη στοίχιση και των εξισώσεων και ήταν και πιο επεξηγηματικός.

Διπλή εξίσωση

Διπλή εξίσωση

Re: Διπλή εξίσωση

Re: Διπλή εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση