Εξισώσεις κύκλων

#1

: εξισώσεις κύκλων.png (13.22 KiB) Προβλήθηκε 1114 φορές

Δίδονται τα σημεία $A\left( {1,2} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B\left( {3,4} \right)$

α)Δείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας

είναι :

β) Δείξετε ότι η εξίσωση: $\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {y - 2} \right)\left( {y - 4} \right) + k\left( {x - y + 1} \right) = 0\,\,,\,\,k \in \mathbb{R}$

παριστάνει όλους τους κύκλους που διέρχονται από τα σημεία : $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$

γ) Να βρεθούν οι εξισώσεις των κύκλων που διέρχονται από τα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B\,$ κι εφάπτονται της ευθείας $\varepsilon$ , με εξίσωση : 3x + y - 3 = 0

.

Έχει διορθωθεί το β ερώτημα. Ευχαριστώ το Γιώργο το Βισβίκη που με ενημέρωσε

#2

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2020 12:25 pm
εξισώσεις κύκλων.png

Δίδονται τα σημεία $A\left( {1,2} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B\left( {3,4} \right)$

α)Δείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας είναι :

β) Δείξετε ότι η εξίσωση: $\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {y - 2} \right)\left( {y - 4} \right) + k\left( {x - y + 1} \right) = 0\,\,,\,\,k \in \mathbb{R}$

παριστάνει όλους τους κύκλους που διέρχονται από τα σημεία : $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$

γ) Να βρεθούν οι εξισώσεις των κύκλων που διέρχονται από τα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B\,$ κι εφάπτονται της ευθείας $\varepsilon$ , με εξίσωση : .

: Εξισώσεις κύκλων..png (17.5 KiB) Προβλήθηκε 1056 φορές

γ) $\displaystyle K:{\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{7}{2}} \right)^2} = \frac{5}{2}$ και $\displaystyle L:{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 10$

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης.

#3

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2020 12:25 pm

β) Δείξετε ότι η εξίσωση: $\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {y - 2} \right)\left( {y - 4} \right) + k\left( {x - y + 1} \right) = 0\,\,,\,\,k \in \mathbb{R}$

παριστάνει όλους τους κύκλους που διέρχονται από τα σημεία : $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$

Μου τράβηξε την προσοχή το β) γιατί έχει ωραία λύση πέρα από την παραδοσιακή. Η λύση αυτή ερμηνεύει καλύτερα τα $\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)$ και $\left( {y - 2} \right)\left( {y - 4} \right)$ στην ζητούμενη εξίσωση.

1) Παραδοσιακή: Το μέσον του

είναι το

οπότε η μεσοκάθετος του

είναι ...

. To κέντρο του τυχαίου κύκλου βρίσκεται στην μεσοκάθετο άρα είναι της μορφής K(k,k-5)

, οπότε εύκολα βρίσκουμε την εξίσωση του κύκλου από το κέντρο του και την ακτίνα του

. To αφήνω ως άμεσο και διότι
.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

.
2) Καλύτερα: Αν C(x,y)

τυχαίο σημείο του κύκλου, τότε η γωνία $\angle ACB$ είναι σταθερή. Δεδομένου ότι οι CA, CB

έχουν κλίσεις $\dfrac {y-2}{x-1},\, \dfrac {y-4}{x-3}$ , αντίστοιχα, ο τύπος της μεταξύ τους γωνίας δίνει

$\displaystyle{ \dfrac {\dfrac {y-4}{x-3}- \dfrac {y-2}{x-1}}{1+\dfrac {y-4}{x-3}\dfrac {y-2}{x-1}} = p}$ ισοδύναμα

$\displaystyle{ \dfrac {(y-4)(x-1)-(y-2)(x-3)}{(x-1)(x-3)+(y-2)(y-4)} = p}$ που είναι ισοδύναμο με το ζητούμενο (πάρε k=2/p

) δεδομένου ότι ο αριθμητής είναι

-2(x-y+1)

#4

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2020 12:25 pm
εξισώσεις κύκλων.png

Δίδονται τα σημεία $A\left( {1,2} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B\left( {3,4} \right)$

α)Δείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας είναι :

β) Δείξετε ότι η εξίσωση: $\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {y - 2} \right)\left( {y - 4} \right) + k\left( {x - y + 1} \right) = 0\,\,,\,\,k \in \mathbb{R}$

παριστάνει όλους τους κύκλους που διέρχονται από τα σημεία : $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$

γ) Να βρεθούν οι εξισώσεις των κύκλων που διέρχονται από τα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B\,$ κι εφάπτονται της ευθείας $\varepsilon$ , με εξίσωση : .

Έχει διορθωθεί το β ερώτημα. Ευχαριστώ το Γιώργο το Βισβίκη που με ενημέρωσε

Για το γ) ερώτημα.

: Εξισώσεις κύκλων..png (17.5 KiB) Προβλήθηκε 970 φορές

Η εξίσωση του β) ερωτήματος γράφεται $\displaystyle {x^2} + {y^2} - (4 - k)x - (k + 6)y + k + 11 = 0$ και παριστάνει κύκλο

με κέντρο $\displaystyle K\left( {\frac{{4 - k}}{2},\frac{{k + 6}}{2}} \right)$ και ακτίνα $\displaystyle r = \sqrt {\frac{{{k^2} + 4}}{2}}.$ Αφού οι κύκλοι εφάπτονται στην ευθεία $\varepsilon$ θα είναι

$\displaystyle d(K,\varepsilon ) = r \Leftrightarrow \frac{{|3\frac{{4 - k}}{2} + \frac{{k + 6}}{2} - 3|}}{{\sqrt {10} }} = \sqrt {\frac{{{k^2} + 4}}{2}} \Leftrightarrow$ $\boxed{k=1}$ ή $\boxed{k=4}$ απ' όπου παίρνουμε δύο κύκλους

(K), (L)

με εξισώσεις: $\boxed{(K):{\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{7}{2}} \right)^2} = \frac{5}{2}}$ και $\boxed{ (L):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 10}$

Εξισώσεις κύκλων

Εξισώσεις κύκλων

Re: Εξισώσεις κύκλων

Re: Εξισώσεις κύκλων

Re: Εξισώσεις κύκλων

Μέλη σε σύνδεση