Εξισώσεις κύκλων

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7546
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Εξισώσεις κύκλων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Απρ 28, 2020 12:25 pm

εξισώσεις κύκλων.png
εξισώσεις κύκλων.png (13.22 KiB) Προβλήθηκε 713 φορές

Δίδονται τα σημεία A\left( {1,2} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B\left( {3,4} \right)

α)Δείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας AB είναι : x - y + 1 = 0

β) Δείξετε ότι η εξίσωση: \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {y - 2} \right)\left( {y - 4} \right) + k\left( {x - y + 1} \right) = 0\,\,,\,\,k \in \mathbb{R}

παριστάνει όλους τους κύκλους που διέρχονται από τα σημεία : A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B

γ) Να βρεθούν οι εξισώσεις των κύκλων που διέρχονται από τα A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B\, κι εφάπτονται της ευθείας \varepsilon , με εξίσωση : 3x + y - 3 = 0.


Έχει διορθωθεί το β ερώτημα. Ευχαριστώ το Γιώργο το Βισβίκη που με ενημέρωσε
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Τρί Απρ 28, 2020 7:31 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9799
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξισώσεις κύκλων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Απρ 28, 2020 7:31 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Απρ 28, 2020 12:25 pm
εξισώσεις κύκλων.png


Δίδονται τα σημεία A\left( {1,2} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B\left( {3,4} \right)

α)Δείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας AB είναι : x - y + 1 = 0

β) Δείξετε ότι η εξίσωση: \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {y - 2} \right)\left( {y - 4} \right) + k\left( {x - y + 1} \right) = 0\,\,,\,\,k \in \mathbb{R}

παριστάνει όλους τους κύκλους που διέρχονται από τα σημεία : A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B

γ) Να βρεθούν οι εξισώσεις των κύκλων που διέρχονται από τα A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B\, κι εφάπτονται της ευθείας \varepsilon , με εξίσωση : 3x + y - 3 = 0.
Εξισώσεις κύκλων..png
Εξισώσεις κύκλων..png (17.5 KiB) Προβλήθηκε 655 φορές
γ) \displaystyle K:{\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{7}{2}} \right)^2} = \frac{5}{2} και \displaystyle L:{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 10

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τετ Απρ 29, 2020 10:07 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12636
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εξισώσεις κύκλων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Απρ 28, 2020 11:11 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Απρ 28, 2020 12:25 pm

β) Δείξετε ότι η εξίσωση: \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {y - 2} \right)\left( {y - 4} \right) + k\left( {x - y + 1} \right) = 0\,\,,\,\,k \in \mathbb{R}

παριστάνει όλους τους κύκλους που διέρχονται από τα σημεία : A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B
Μου τράβηξε την προσοχή το β) γιατί έχει ωραία λύση πέρα από την παραδοσιακή. Η λύση αυτή ερμηνεύει καλύτερα τα \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) και  \left( {y - 2} \right)\left( {y - 4} \right) στην ζητούμενη εξίσωση.

1) Παραδοσιακή: Το μέσον του AB είναι το M(2,3) οπότε η μεσοκάθετος του AB είναι ... y=-x+5. To κέντρο του τυχαίου κύκλου βρίσκεται στην μεσοκάθετο άρα είναι της μορφής K(k,k-5), οπότε εύκολα βρίσκουμε την εξίσωση του κύκλου από το κέντρο του και την ακτίνα του KA. To αφήνω ως άμεσο και διότι
.
σίγουρα θα κάνω λάθος τις πράξεις την πρώτη φορά
.
2) Καλύτερα: Αν C(x,y) τυχαίο σημείο του κύκλου, τότε η γωνία \angle ACB είναι σταθερή. Δεδομένου ότι οι CA, CB έχουν κλίσεις \dfrac {y-2}{x-1},\, \dfrac {y-4}{x-3}, αντίστοιχα, ο τύπος της μεταξύ τους γωνίας δίνει

\displaystyle{ \dfrac {\dfrac {y-4}{x-3}- \dfrac {y-2}{x-1}}{1+\dfrac {y-4}{x-3}\dfrac {y-2}{x-1}} = p} ισοδύναμα

\displaystyle{ \dfrac {(y-4)(x-1)-(y-2)(x-3)}{(x-1)(x-3)+(y-2)(y-4)} = p} που είναι ισοδύναμο με το ζητούμενο (πάρε k=2/p) δεδομένου ότι ο αριθμητής είναι

-2(x-y+1)


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9799
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξισώσεις κύκλων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Απρ 29, 2020 11:09 am

Doloros έγραψε:
Τρί Απρ 28, 2020 12:25 pm
εξισώσεις κύκλων.png


Δίδονται τα σημεία A\left( {1,2} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B\left( {3,4} \right)

α)Δείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας AB είναι : x - y + 1 = 0

β) Δείξετε ότι η εξίσωση: \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {y - 2} \right)\left( {y - 4} \right) + k\left( {x - y + 1} \right) = 0\,\,,\,\,k \in \mathbb{R}

παριστάνει όλους τους κύκλους που διέρχονται από τα σημεία : A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B

γ) Να βρεθούν οι εξισώσεις των κύκλων που διέρχονται από τα A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B\, κι εφάπτονται της ευθείας \varepsilon , με εξίσωση : 3x + y - 3 = 0.


Έχει διορθωθεί το β ερώτημα. Ευχαριστώ το Γιώργο το Βισβίκη που με ενημέρωσε
Για το γ) ερώτημα.
Εξισώσεις κύκλων..png
Εξισώσεις κύκλων..png (17.5 KiB) Προβλήθηκε 569 φορές
Η εξίσωση του β) ερωτήματος γράφεται \displaystyle {x^2} + {y^2} - (4 - k)x - (k + 6)y + k + 11 = 0 και παριστάνει κύκλο

με κέντρο \displaystyle K\left( {\frac{{4 - k}}{2},\frac{{k + 6}}{2}} \right) και ακτίνα \displaystyle r = \sqrt {\frac{{{k^2} + 4}}{2}}. Αφού οι κύκλοι εφάπτονται στην ευθεία \varepsilon θα είναι

\displaystyle d(K,\varepsilon ) = r \Leftrightarrow \frac{{|3\frac{{4 - k}}{2} + \frac{{k + 6}}{2} - 3|}}{{\sqrt {10} }} = \sqrt {\frac{{{k^2} + 4}}{2}}  \Leftrightarrow \boxed{k=1} ή \boxed{k=4} απ' όπου παίρνουμε δύο κύκλους

(K), (L) με εξισώσεις: \boxed{(K):{\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{7}{2}} \right)^2} = \frac{5}{2}} και \boxed{ (L):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 10}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες