Σωληνοειδής επιφάνεια

#1

Θεωρούμε την σωληνοειδή επιφάνεια

με διευθετούσα την έλικα

${\bf{c}}(t)=(\alpha\cos{t},\alpha\sin{t},\beta\, t )\,, \; t\in [0,2\pi],\; \alpha>0,\; \beta>0\,,$
για την οποία, σε κάθε σημείο

της ${\bf{c}}$ , η τομή της

με το κάθετο στην ${\bf{c}}$ επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο το

και ακτίνα

.

Να βρεθεί μια παραμετρική παράσταση της επιφάνειας

και να υπολογισθεί το εμβαδόν της

.

: helicoid_surf.png (25.78 KiB) Προβλήθηκε 2726 φορές

#2

Στο ερώτημα

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 19, 2020 9:06 am
να υπολογισθεί το εμβαδόν της .

να συμπληρώσω ότι ζητείται το εμβαδόν

με απλό τρόπο, χωρίς να κάνουμε ολοκλήρωση. Ίσως αυτό έχει κατά νου ο Γρηγόρης...

#3

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 19, 2020 9:06 am
Θεωρούμε την σωληνοειδή επιφάνεια με διευθετούσα την έλικα

${\bf{c}}(t)=(\alpha\cos{t},\alpha\sin{t},\beta\, t )\,, \; t\in [0,2\pi],\; \alpha>0,\; \beta>0\,,$
για την οποία, σε κάθε σημείο της ${\bf{c}}$ , η τομή της με το κάθετο στην ${\bf{c}}$ επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο το και ακτίνα .

Να βρεθεί μια παραμετρική παράσταση της επιφάνειας και να υπολογισθεί το εμβαδόν της .

Γρηγόρη καλημέρα και Χρόνια Πολλά από τα Γρεβενά...

Πριν αναφέρω το τρόπο εύρεσης της παραμετρικής εξίσωσης της επιφάνειας αυτής, αναρτώ
το αποτέλεσμά της:

: Σωληνοειδές 1.png (56.22 KiB) Προβλήθηκε 2636 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνεται ακόμα και το τρίεδρο Frenet.
Για να δείτε την εξέλιξή του, καθώς και το εσωτερικό του, μπορείτε να
επισκεφτείτε το συνημμένο αρχείο.

Σωληνοειδές 1.ggb: (13.17 KiB) Μεταφορτώθηκε 46 φορές

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#4

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 19, 2020 9:06 am
Θεωρούμε την σωληνοειδή επιφάνεια με διευθετούσα την έλικα

${\bf{c}}(t)=(\alpha\cos{t},\alpha\sin{t},\beta\, t )\,, \; t\in [0,2\pi],\; \alpha>0,\; \beta>0\,,$
για την οποία, σε κάθε σημείο της ${\bf{c}}$ , η τομή της με το κάθετο στην ${\bf{c}}$ επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο το και ακτίνα .

Να βρεθεί μια παραμετρική παράσταση της επιφάνειας και να υπολογισθεί το εμβαδόν της .

(Συνέχεια...)

Καλησπέρα...

Για την αναζήτηση της παραμετρικής μορφής της σωληνοειδούς αυτής επιφάνειας εργαζόμαστε στο
ακόλουθο σχήμα:

: Σωληνοειδές 2.png (27.23 KiB) Προβλήθηκε 2551 φορές

Έστω τυχαίο σημείο $\displaystyle{M}$ του κύκλου $\displaystyle{(P,R)}$ .
Το σημείο αυτό βέβαια θα ανήκει και στην επιφάνεια του σωληνοειδούς.

Επειδή το σημείο $\displaystyle{P}$ είναι ένα τυχαίο σημείο της έλικας, τότε στο σημείο αυτό θεωρούμε,
όπως φαίνεται και στο σχήμα, το τρίεδρο Frenet:

$\displaystyle{(P,\vec{t}, \vec{\eta}, \vec{b})}$

όπου τα διανύσματα $\displaystyle{\vec{t}, \ \ \vec{\eta}, \ \ \vec{b} }$ είναι μοναδιαία και είναι αντίστοιχα
το εφαπτομενικό, η πρώτη κάθετος και η δεύτερη κάθετος της έλικας.

Τότε, όπως φαίνεται και από το σχήμα, θα είναι:

$\displaystyle{\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PM_1}+\overrightarrow{PM_2} \ \ (1) }$

Όμως είναι:

$\displaystyle{ \overrightarrow{PM_1}=(Rcos\phi) \vec{\eta}, \ \ \overrightarrow{PM_2}=(Rsin\phi )\vec{b} \ \ (2)}$

όπου η γωνία $\displaystyle{\phi}$ είναι η γωνία που σχηματίζει το τμήμα $\displaystyle{PM}$ με το διάνυσμα $\displaystyle{\vec{\eta}}$ της πρώτης καθέτου.

Εξάλλου είναι:

$\displaystyle{\overrightarrow{OP}=(acost, asint, \beta t) \ \ (3)}$

Επίσης είναι γνωστό ότι για την πρώτη και δεύτερη κάθετο ισχύει:

$\displaystyle{\vec{\eta}=(-cost, -sint) \ \ (4)}$

$\displaystyle{\vec{b}=(\frac{\beta}{\sqrt{a^2+\beta^2}}sint, \frac{\beta}{\sqrt{a^2+\beta^2}}cost, \frac{a}{\sqrt{a^2+\beta^2}}) \ \ (5)}$

Τελικά η σχέση (1) σύμφωνα με τις (2),(3),(4) και (5) δίνει:

$\displaystyle{ \vec{r}(t,\phi)=\begin{pmatrix} acost-Rcos\phi cost+\frac{R\beta}{\sqrt{a^2+\beta^2}} sin\phi sint\\asint-Rcos\phi sint -\frac{R\beta}{\sqrt{a^2+\beta^2}}sin\phi cost \\\beta t+\frac{Ra}{\sqrt{a^2+\beta^2}}sin\phi \end{pmatrix} \ \ (6) }$

Η εξίσωση (6) είναι η παραμετρική εξίσωση του σωληνοειδούς αυτού, όπου βέβαια είναι: $\displaystyle{0 \leq \phi \leq2 \pi, \ \ 0\leq t \leq 2\pi}$

Σημειώσεις:

1η) Οι μορφές των διανυσμάτων στις σχέσεις (3),(4) και (5) είναι γραμμένες, για συντομία χώρου, ως πίνακες - γραμμή, ενώ
η τελική σχέση (6) γράφηκε ως πίνακας - στήλη.

2η) Με τη βοήθεια της μορφής (6) σχεδιάστηκε το δυναμικό σχήμα της προηγούμενης ανάρτησης.

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 19, 2020 9:06 am
Θεωρούμε την σωληνοειδή επιφάνεια με διευθετούσα την έλικα

${\bf{c}}(t)=(\alpha\cos{t},\alpha\sin{t},\beta\, t )\,, \; t\in [0,2\pi],\; \alpha>0,\; \beta>0\,,$
για την οποία, σε κάθε σημείο της ${\bf{c}}$ , η τομή της με το κάθετο στην ${\bf{c}}$ επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο το και ακτίνα .

Να βρεθεί μια παραμετρική παράσταση της επιφάνειας και να υπολογισθεί το εμβαδόν της .

helicoid_surf.png

Το πρόβλημα είναι αν υπάρχει τέτοια επιφάνεια.
Δηλαδή οι κύκλοι να μην τέμνονται.
Είναι σαφές ότι αν το

είναι ''μεγάλο'' υπάρχει πρόβλημα.
Θα φανεί και από την απόδειξη που θα κάνω παρακάτω.
Νομίζω ότι μπορεί να αποδειχθεί η ύπαρξη της επιφάνειας για

''μικρό''
αλλά θα έχει πολύ φασαρία.

Η καμπύλη που είναι οδηγός της επιφάνειας μπορεί να είναι οποιαδήποτε .
Τότε το πόσο μεγάλο μπορούμε να πάρουμε το

έχει σχέση με την καμπυλότητα
της καμπύλης.

Θα γενικεύσω το πρόβλημα στο εξής
Θεωρούμε την σωληνοειδή επιφάνεια

με διευθετούσα την καμπύλη c(s)

με $s\in I$
παραμετρισμένη ως προς μήκος τόξου,

για την οποία, σε κάθε σημείο

της ${\bf{c}}$ , η τομή της

με το κάθετο στην ${\bf{c}}$ επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο το

και ακτίνα

.

Να βρεθεί μια παραμετρική παράσταση της επιφάνειας

και να υπολογισθεί το εμβαδόν της

.

(Το

είναι ένα πεπερασμένο διάστημα των πραγματικών)

Προσοχή.Υποθέτω ότι το

είναι τέτοιο ώστε οι κύκλοι δεν τέμνονται.

Το εμβαδό της επιφάνειας είναι $2\pi R|I|$
|I|

είναι το μήκος της καμπύλης.Υπολογίζεται χωρίζοντας σε μικρά κομμάτια και υπολογίζοντας
τα παράπλευρα εμβαδά κυλίνδρων.

Αν με T(s),N(s),B(s)

είναι το εφαπτόμενο ,πρώτο κάθετο ,δεύτερο κάθετο της καμπύλης στο
c(s)

τότε ο κύκλος βρίσκεται στο επίπεδο που ορίζουν τα N(s),B(s)

μετατοπισμένος στο c(s)

.
Ετσι μια παραμέτριση της επιφάνειας εκτός μιας καμπύλης της θα είναι

$X(s,\theta )=c(s)+R(N(s)\cos \theta +B(s)\sin \theta ) ,(s,\theta )\in J\times (0,2\pi )$

οπου

είναι τα εσωτερικά σημεία του

Εχουμε
$X_{\theta }(s,\theta )=R(-N(s)\sin \theta +B(s)\cos \theta )$ (1)

$X_{s }(s,\theta )=c'(s)+R(N'(s)\cos \theta +B'(s)\sin \theta )$ (2)

Αν k(s)

και $\tau (s)$ είναι η καμπυλότητα και η στρέψη της καμπύλης τότε
με τους γνωστούς τύπους η (2) γίνεται

$X_{s }(s,\theta )=(1-Rk(s)\cos \theta)T(s)+R\cos \theta\tau (s) B(s)-R\sin \theta\tau (s)N(s)$

Ετσι τα θεμελειώδη μεγέθη της πρώτης μορφής είναι

$E=X_{s }.X_{s}=(1-Rk(s)\cos \theta )^{2} + R^{2}(\tau (s))^{2}$

$F=X_{\theta }.X_{s }=R^{2}\tau (s)$

$G=X_{\theta }.X_{\theta }=R^{2}$

Ετσι παίρνουμε

$EG-F^{2}=(1-Rk(s)\cos \theta )^{2} R^{2}$ (3)

παρατηρήσεις.
1)Εχουμε εξαφάνιση του $\tau (s)$

2)Ως γνωστόν πρέπει να είναι $EG-F^{2}>0$

Βλέπουμε ότι για να ισχύει αυτό πρέπει Rk(s)<1

.

Ως γνωστόν το εμβαδό της επιφανείας θα είναι $\int _{I}\int_{0}^{2\pi }\sqrt{EG-F^{2}}d\theta ds$

Λόγω της (3) και της $EG-F^{2}>0$ είναι

$\sqrt{EG-F^{2}}=(1-Rk(s)\cos \theta ) R$

Ετσι το εμβαδό είναι

$\int _{I}\int_{0}^{2\pi }(1-Rk(s)\cos \theta ) R d\theta ds=2\pi R|I|$

που επιβεβαιώνει τον υπολογισμό χωρίζοντας.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 19, 2020 10:49 pm
...να συμπληρώσω ότι ζητείται το εμβαδόν με απλό τρόπο, χωρίς να κάνουμε ολοκλήρωση. Ίσως αυτό έχει κατά νου ο Γρηγόρης...

Αυτό που είχα κατά νου είναι η πολύ γενικότερη περίπτωση που παρουσίασε ο Σταύρος στην αμέσως προηγούμενη δημοσίευση. Να σημειωθεί ότι πρόκειται για σημαντική γενίκευση αφού η διευθετούσα $\bf{c}$ μπορεί να είναι οποιαδήποτε κανονική καμπύλη για την οποία πρέπει να ισχύει $0<R<\frac{1}{\kappa(s)}$ , όπου $\kappa(s)$ η καμπυλότητα της $\bf{c}$ αν έχουμε μια φυσική παραμετρικοποίησή της.

Βέβαια στην περίπτωση που η διευθετούσα είναι έλικα, ο υπολογισμός του εμβαδού της σωληνοειδούς επιφάνειας χωρίς ολοκλήρωση έχει το δικό της ενδιαφέρον. Όπως και η αναλυτική προσέγγιση της εύρεσης της παραμετρικής παράστασης που έδωσε ο Κώστας.

#7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 25, 2020 11:15 pm

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 19, 2020 9:06 am
Θεωρούμε την σωληνοειδή επιφάνεια με διευθετούσα την έλικα

${\bf{c}}(t)=(\alpha\cos{t},\alpha\sin{t},\beta\, t )\,, \; t\in [0,2\pi],\; \alpha>0,\; \beta>0\,,$
για την οποία, σε κάθε σημείο της ${\bf{c}}$ , η τομή της με το κάθετο στην ${\bf{c}}$ επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο το και ακτίνα .

Να βρεθεί μια παραμετρική παράσταση της επιφάνειας και να υπολογισθεί το εμβαδόν της .

helicoid_surf.png
Το πρόβλημα είναι αν υπάρχει τέτοια επιφάνεια.
Δηλαδή οι κύκλοι να μην τέμνονται.(1)
Είναι σαφές ότι αν το είναι ''μεγάλο'' υπάρχει πρόβλημα.
Θα φανεί και από την απόδειξη που θα κάνω παρακάτω.
Νομίζω ότι μπορεί να αποδειχθεί η ύπαρξη της επιφάνειας για ''μικρό''
αλλά θα έχει πολύ φασαρία.

Η καμπύλη που είναι οδηγός της επιφάνειας μπορεί να είναι οποιαδήποτε .(2)
Τότε το πόσο μεγάλο μπορούμε να πάρουμε το έχει σχέση με την καμπυλότητα
της καμπύλης.
........................................................

Καλημέρα από Γρεβενά ...

Για την παρατήρηση (1) :

Δηλαδή θα αποκλείαμε(;) από την έννοια του "σωληνοειδούς" και την περίπτωση που δείχνει το σχήμα:

: Σωληνοειδές 3.png (49.68 KiB) Προβλήθηκε 2370 φορές

Στο σχήμα αυτό η γωνία $\displaystyle{t}$ κινήθηκε στο διάστημα $\displaystyle{[0,8 \pi]}$ και η γενέτειρα γραμμή της
επιφάνειας αυτής είναι κύκλος με ακτίνα τέτοια ώστε η παραγόμενη επιφάνεια δημιουργεί
"αλληλοτομές" που τις βλέπουμε στο σχήμα αυτό.( Αυτό που λέει η φράση (1), αν και ο κύκλος
που "γεννάει" το σωληνοειδές αυτό είναι ένας και δεν τέμνει ποτέ τον εαυτό του. Ίσως βέβαια η
έκφραση να θέλει να πει ότι τέμνονται τα ίχνη των κύκλων αυτών...)
Ασφαλώς και είναι μια ενδιαφέρουσα περίπτωση του γενικευμένου σωληνοειδούς που αξίζει μελέτη.

Εξάλλου τέτοιες επιφάνειες με ενδιαφέρουσες τοπολογικές ιδιότητες έχουν μελετηθεί,
όπως "η φιάλη του Klein" ή ακόμα "η επιφάνεια του Boy" η οποία φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:

: Επιφάνεια του Boy 1.png (99.9 KiB) Προβλήθηκε 2370 φορές

Για την παρατήρηση (2):
Προφανώς. Αρκεί οι καμπύλες αυτές να είναι κανονικές.

Κι ακόμα:

Αντί του κύκλου αυτού που παράγει τα σωληνοειδή αυτά, μπορούμε να θεωρήσουμε τρίγωνα, τετράγωνα,
πολύγωνα(κυρτά ή μη κυρτά), ακόμα και ελλείψεις, καρδιοειδείς καμπύλες κλπ. Έτσι θα μπορούσαμε
να απολαύσουμε το μεγαλείο της φύσης! της φύσης που τα μαθηματικά προσπαθούν να ερμηνεύσουν!

Κώστας Δόρτσιος

#8

KDORTSI έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 26, 2020 8:46 am

Για την παρατήρηση (1) :

Δηλαδή θα αποκλείαμε(;) από την έννοια του "σωληνοειδούς" και την περίπτωση που δείχνει το σχήμα:

Σωληνοειδές 3.png (49.68 KiB) Προβλήθηκε 2352 φορές

Προφανώς είναι μια επιφάνεια, αλλά δεν είναι κανονική επιφάνεια -αφού το $|{\bf{X}}_s\times{\bf{X}}_{\theta}|=R\,|1-R\,\kappa\cos\theta|$ μηδενίζεται για κάποιες τιμές- και, επομένως, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την θεωρία που χρησιμοποίησε παραπάνω ο Σταύρος για να εξάγει το αποτέλεσμα.

Ανδρέας Πούλος · #9

Δεν έχω να συνεισφέρω κάτι στον εκπληκτικό αυτό διάλογο (εξάλλου δεν μπορώ) και στις λύσεις που δόθηκαν,
απλά θέλω να εκφράσω τον θαυμασμό μου για όσα έμαθα. Το Φόρουμ είναι ένα "Κέντρο μάθησης" ανοιχτό μέρα-νύχτα.
Το μόνο που μπορώ να κάνω είναι να αναρτήσω μια φωτογραφία κοχυλιού, η "εξέλιξη" του οποίου σχετίζεται έμμεσα με το θέμα της συζήτησης.

: F.jpg (8.48 KiB) Προβλήθηκε 2262 φορές

Σας ευχαριστώ πολύ.

#10

Ανδρέας Πούλος έγραψε: ↑
Δευ Απρ 27, 2020 11:42 am
Δεν έχω να συνεισφέρω κάτι στον εκπληκτικό αυτό διάλογο (εξάλλου δεν μπορώ) και στις λύσεις που δόθηκαν,
απλά θέλω να εκφράσω τον θαυμασμό μου για όσα έμαθα. Το Φόρουμ είναι ένα "Κέντρο μάθησης" ανοιχτό μέρα-νύχτα.
Το μόνο που μπορώ να κάνω είναι να αναρτήσω μια φωτογραφία κοχυλιού, η "εξέλιξη" του οποίου σχετίζεται έμμεσα με το θέμα της συζήτησης.
Σας ευχαριστώ πολύ.

Αντρέα καλησπέρα....

Πράγματι! Το μεγαλείο της φύσης! Κι απ' την άλλη μεριά τα Μαθηματικά!

: Σωληνοειδές 6.png (130.73 KiB) Προβλήθηκε 2207 φορές

Προσπάθησα να μιμηθώ κι εγώ τα κοχύλια αυτά..,

χωρίς όμως επιτυχία....

Όμως προσπάθησα...

Κώστας Δόρτσιος

(Συνεχίζεται...)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #11

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 26, 2020 2:30 am

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 19, 2020 10:49 pm
...να συμπληρώσω ότι ζητείται το εμβαδόν με απλό τρόπο, χωρίς να κάνουμε ολοκλήρωση. Ίσως αυτό έχει κατά νου ο Γρηγόρης...
Αυτό που είχα κατά νου είναι η πολύ γενικότερη περίπτωση που παρουσίασε ο Σταύρος στην αμέσως προηγούμενη δημοσίευση. Να σημειωθεί ότι πρόκειται για σημαντική γενίκευση αφού η διευθετούσα $\bf{c}$ μπορεί να είναι οποιαδήποτε κανονική καμπύλη για την οποία πρέπει να ισχύει $0<R<\frac{1}{\kappa(s)}$ , όπου $\kappa(s)$ η καμπυλότητα της $\bf{c}$ αν έχουμε μια φυσική παραμετρικοποίησή της.

Βέβαια στην περίπτωση που η διευθετούσα είναι έλικα, ο υπολογισμός του εμβαδού της σωληνοειδούς επιφάνειας χωρίς ολοκλήρωση έχει το δικό της ενδιαφέρον. Όπως και η αναλυτική προσέγγιση της εύρεσης της παραμετρικής παράστασης που έδωσε ο Κώστας.

Γρηγόρη γειά.
Η συνθήκη $0<R<\frac{1}{\kappa(s)}$ δεν μας εξασφαλίζει ότι οι κύκλοι δεν τέμνονται.
Η συνθήκη μας εξασφαλίζει ότι έχουμε παραμετρική επιφάνεια.
Την σωληνοειδή παραμετρική επιφάνεια (tubular) χρησιμοποιεί ο
MANFREDO P.DO CARMO
στο
Differential Geometry of Curves and Surfaces
(κυκλοφορεί ελεύθερα στο ιντερνετ)
για να αποδείξει το θεώρημα του Fenchel.(σελ 399).
Εκεί σελ400 σαφώς αναφέρει ότι με αυτή την συνθήκη μπορεί οι κύκλοι να τέμνονται.

Με την ευκαιρία να διατυπώσω το θεώρημα του Fenchel το οποίο τώρα το έμαθα.

Αν
$a:[0,l]\rightarrow \mathbb{R}^{3}$
είναι μια κανονική κλειστή απλή καμπύλη με φυσική παράμετρο
τότε
$\int_{0}^{l}|k(s)|ds\geq 2\pi$

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν η καμπύλη είναι επίπεδη και κυρτή.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #12

KDORTSI έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 26, 2020 8:46 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 25, 2020 11:15 pm

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 19, 2020 9:06 am
Θεωρούμε την σωληνοειδή επιφάνεια με διευθετούσα την έλικα

${\bf{c}}(t)=(\alpha\cos{t},\alpha\sin{t},\beta\, t )\,, \; t\in [0,2\pi],\; \alpha>0,\; \beta>0\,,$
για την οποία, σε κάθε σημείο της ${\bf{c}}$ , η τομή της με το κάθετο στην ${\bf{c}}$ επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο το και ακτίνα .

Να βρεθεί μια παραμετρική παράσταση της επιφάνειας και να υπολογισθεί το εμβαδόν της .

helicoid_surf.png
Το πρόβλημα είναι αν υπάρχει τέτοια επιφάνεια.
Δηλαδή οι κύκλοι να μην τέμνονται.(1)
Είναι σαφές ότι αν το είναι ''μεγάλο'' υπάρχει πρόβλημα.
Θα φανεί και από την απόδειξη που θα κάνω παρακάτω.
Νομίζω ότι μπορεί να αποδειχθεί η ύπαρξη της επιφάνειας για ''μικρό''
αλλά θα έχει πολύ φασαρία.

Η καμπύλη που είναι οδηγός της επιφάνειας μπορεί να είναι οποιαδήποτε .(2)
Τότε το πόσο μεγάλο μπορούμε να πάρουμε το έχει σχέση με την καμπυλότητα
της καμπύλης.
........................................................
Καλημέρα από Γρεβενά ...

Για την παρατήρηση (1) :

Δηλαδή θα αποκλείαμε(;) από την έννοια του "σωληνοειδούς" και την περίπτωση που δείχνει το σχήμα:

Σωληνοειδές 3.png

Στο σχήμα αυτό η γωνία $\displaystyle{t}$ κινήθηκε στο διάστημα $\displaystyle{[0,8 \pi]}$ και η γενέτειρα γραμμή της
επιφάνειας αυτής είναι κύκλος με ακτίνα τέτοια ώστε η παραγόμενη επιφάνεια δημιουργεί
"αλληλοτομές" που τις βλέπουμε στο σχήμα αυτό.( Αυτό που λέει η φράση (1), αν και ο κύκλος
που "γεννάει" το σωληνοειδές αυτό είναι ένας και δεν τέμνει ποτέ τον εαυτό του. Ίσως βέβαια η
έκφραση να θέλει να πει ότι τέμνονται τα ίχνη των κύκλων αυτών...)
Ασφαλώς και είναι μια ενδιαφέρουσα περίπτωση του γενικευμένου σωληνοειδούς που αξίζει μελέτη.

Εξάλλου τέτοιες επιφάνειες με ενδιαφέρουσες τοπολογικές ιδιότητες έχουν μελετηθεί,
όπως "η φιάλη του Klein" ή ακόμα "η επιφάνεια του Boy" η οποία φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:

Επιφάνεια του Boy 1.png

Για την παρατήρηση (2):
Προφανώς. Αρκεί οι καμπύλες αυτές να είναι κανονικές.

Κι ακόμα:

Αντί του κύκλου αυτού που παράγει τα σωληνοειδή αυτά, μπορούμε να θεωρήσουμε τρίγωνα, τετράγωνα,
πολύγωνα(κυρτά ή μη κυρτά), ακόμα και ελλείψεις, καρδιοειδείς καμπύλες κλπ. Έτσι θα μπορούσαμε
να απολαύσουμε το μεγαλείο της φύσης! της φύσης που τα μαθηματικά προσπαθούν να ερμηνεύσουν!

Κώστας Δόρτσιος

Κώστα γειά.
Αυτό που υπάρχει στο 3 έχω την εντύπωση ότι δεν είναι επιφάνεια.
Εψαξα τους ορισμούς της επιφάνειας.
Με κανέναν από αυτούς που είδα δεν είναι.
Αν έχεις υπ οψιν σου κάποιον γράφτον.

#13

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2020 1:40 pm

KDORTSI έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 26, 2020 8:46 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 25, 2020 11:15 pm

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 19, 2020 9:06 am
Θεωρούμε την σωληνοειδή επιφάνεια με διευθετούσα την έλικα

${\bf{c}}(t)=(\alpha\cos{t},\alpha\sin{t},\beta\, t )\,, \; t\in [0,2\pi],\; \alpha>0,\; \beta>0\,,$
για την οποία, σε κάθε σημείο της ${\bf{c}}$ , η τομή της με το κάθετο στην ${\bf{c}}$ επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο το και ακτίνα .

Να βρεθεί μια παραμετρική παράσταση της επιφάνειας και να υπολογισθεί το εμβαδόν της .

helicoid_surf.png
...................................

Κώστας Δόρτσιος
Κώστα γειά.
Αυτό που υπάρχει στο 3 έχω την εντύπωση ότι δεν είναι επιφάνεια.
Εψαξα τους ορισμούς της επιφάνειας.
Με κανέναν από αυτούς που είδα δεν είναι.
Αν έχεις υπ οψιν σου κάποιον γράφτον.
Σταύρε γειά σου...

Το σχήμα 3 που ανάρτησα, θεωρώντας ακτίνα μεγάλη ώστε να προκύπτουν "τομές" κατά την εξέλιξή της,
πιστεύω ότι είναι μια επιφάνεια παραμετρικής μορφής η οποία βέβαια σχεδιάστηκε από τη σχέση (6) της
δεύτερης ανάρτησης που έβαλα.

Δεν είναι όμως κανονική, γιατί στα σημεία εκείνα των "τομών" δεν ορίζεται η κάθετος, όπως αναφέρει
και ο Γρηγόρης σε ένα από τα μηνύματά του.

Έτσι η επιφάνεια αυτή ανήκει στην κατηγορία εκείνη που ορίζονται με παραμετρικές εξισώσεις.

https://lescoursdemathsdepjh.monsite-or ... 213bff.pdf

Για να φανεί ίσως καλύτερα αυτό παραθέτω μια εικόνα:

Σωληνοειδές 8.png (70.28 KiB) Προβλήθηκε 2105 φορές

Ίσως αυτό φανεί καλύτερα, όταν θα παραθέσω( ίσως αύριο) και το τελικό μου μήνυμα, όπου υπολογίζω το εμβαδόν
του αρχικού σωληνοειδούς όπου το αποτέλεσμά μου συμφωνεί με τη δικιά σου άποψη όταν μελετά το θέμα αυτό
γενικότερα.

Κώστας Δόρτσιος

#14

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 19, 2020 9:06 am
Θεωρούμε την σωληνοειδή επιφάνεια με διευθετούσα την έλικα

${\bf{c}}(t)=(\alpha\cos{t},\alpha\sin{t},\beta\, t )\,, \; t\in [0,2\pi],\; \alpha>0,\; \beta>0\,,$
για την οποία, σε κάθε σημείο της ${\bf{c}}$ , η τομή της με το κάθετο στην ${\bf{c}}$ επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο το και ακτίνα .

Να βρεθεί μια παραμετρική παράσταση της επιφάνειας και να υπολογισθεί το εμβαδόν της .

helicoid_surf.png

Καλησπέρα...

Υπολογισμός του εμβαδού της επιφάνειας $\displaystyle{S}$ .

Η παραμετρική εξίσωση της επιφάνειας του σωληνοειδούς,
όπως υπολογίστηκε σε προηγούμενο μήνυμά μου με την αρίθμηση (6) είναι:

$\displaystyle{\vec{r}(t,\phi)=\begin{pmatrix} acost-Rcos \phi cost+\frac{Rb}{\sqrt{a^2+b^2}}sin\phi sint\\ asint -Rcos \phi sint-\frac{Rb}{\sqrt{a^2+b^2}}sin \phi cost \\ bt+\frac{Ra}{\sqrt{a^2+b^2}}sin phi \end{pmatrix} \ \ (6) }$

Από την (6) υπολογίζουμε τις ποσότητες:

$\displaystyle{E=\vec{r_{\phi}} \cdot \vec{r_{\phi}}, \ \ F= \vec{r_{\phi}} \cdot \vec{r_t}, \ \ G=\vec{r_t} \cdot \vec{r_t}, \ \ (7) }$

Οι τύποι (7) είναι απλοί, αλλά αρκετά επίπονοι. Έτσι μετά από πράξεις που έκανα
με προσοχή αλλά και που επαλήθευσα με το λογισμκό Maple, καταλήγουμε:

$\displaystyle{E=R^2, \ \ F=\frac{R^2b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \ \ G=\frac{R^2b^2}{a^2+b^2}+(\frac{Ra}{\sqrt{a^2+b^2}}cos \phi -\sqrt{a^2+b^2})^2 \ \ (8)}$

Με τους τύπους (8) προκύπτει:

$\displaystyle{ \sqrt{EG-F^2}=R \left |{\frac{Ra}{\sqrt{a^2+b^2}}cos \phi -\sqrt{a^2+b^2}} \right | \ \ (9) }$

Έτσι το εμβαδόν της επιφάνειας αυτής θα είναι:
$\displaystyle{A=\iint_w\sqrt{EG-F^2}d \phi dt= }$
$\displaystyle{ \\=R\int_{0}^{2\pi} dt \int_{0}^{2 \pi} \left |{\frac{Ra}{\sqrt{a^2+b^2}}cos \phi -\sqrt{a^2+b^2}} \right |d \phi = }$
$\displaystyle{\\ =2\pi R \int_{0}^{2 \pi} \left |{\frac{Ra}{\sqrt{a^2+b^2}}cos \phi -\sqrt{a^2+b^2}} \right |d \phi }$
$\displaystyle{=2 \pi R \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} \int_{0}^{2 \pi} \left |{Ra cos \phi -(a^2+b^2)} \right | d \phi \ \ (10) }$

Για την παράσταση εντός του απολύτου διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:

1ο) Αν $\displaystyle{{Ra cos \phi -(a^2+b^2) \geqslant 0 }$ τότε $\displaystyle{A=-2\pi R \cdot 2 \pi \sqrt{a^2+b^2} < 0 }$ απορρίπτεται.

2ο) Αν $\displaystyle{{Ra cos \phi -(a^2+b^2) \leqslant 0 }$ τότε $\displaystyle{A=2\pi R \cdot 2 \pi \sqrt{a^2+b^2} =(2 \pi R) \cdot (2 \pi \sqrt{a^2+b^2} \ \ (11) }$

Όμως το μήκος της έλικας που οδήγησε στη σωληνοειδή αυτή επιφάνεια έχει μήκος:

$\displaystyle{L=2 \pi \sqrt{a^2+b^2} \ \ (12)}$

Άρα είναι:

$\displaystyle{A=(2 \pi R) \cdot (L) \ \ (13) }$

Δηλαδή συμφωνεί με το γενικό τύπο που έδειξε ο Σταύρος.

Κώστας Δόρτσιος

(Συνεχίζεται...)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #15

Κώστα χαιρετώ.
Στο νούμερο 4 έχεις δύο τυπογραφικά.

KDORTSI έγραψε: ↑
Τρί Απρ 21, 2020 6:41 pm

Επίσης είναι γνωστό ότι για την πρώτη και δεύτερη κάθετο ισχύει:

$\displaystyle{\vec{\eta}=(-cost, -sint) \ \ (4)}$

$\displaystyle{\vec{b}=(\frac{\beta}{\sqrt{a^2+\beta^2}}sint, \frac{\beta}{\sqrt{a^2+\beta^2}}cost, \frac{a}{\sqrt{a^2+\beta^2}}) \ \ (5)}$

Κώστας Δόρτσιος

ενω είναι $\displaystyle{\vec{\eta}=(-cost, -sint,0) \ \ (4)}$

$\displaystyle{\vec{b}=(\frac{\beta}{\sqrt{a^2+\beta^2}}sint, -\frac{\beta}{\sqrt{a^2+\beta^2}}cost, \frac{a}{\sqrt{a^2+\beta^2}}) \ \ (5)}$

Στο

KDORTSI έγραψε: ↑
Τετ Απρ 29, 2020 7:33 pm

Για την παράσταση εντός του απολύτου διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:

1ο) Αν $\displaystyle{{Ra cos \phi -(a^2+b^2) \geqslant 0 }$ τότε $\displaystyle{A=-2\pi R \cdot 2 \pi \sqrt{a^2+b^2} < 0 }$ απορρίπτεται.

2ο) Αν $\displaystyle{{Ra cos \phi -(a^2+b^2) \leqslant 0 }$ τότε $\displaystyle{A=2\pi R \cdot 2 \pi \sqrt{a^2+b^2} =(2 \pi R) \cdot (2 \pi \sqrt{a^2+b^2} \ \ (11) }$

Κώστας Δόρτσιος

(Συνεχίζεται...)

Η δικαιολόγηση μπορεί να γίνει και ως εξής:
Για να είναι κανονική πρέπει να μην μηδενίζεται η παράσταση μέσα στο απόλυτο .
Εχει σταθερό πρόσημο οπότε βάζοντας $\theta =\frac{\pi }{2}$ το βρίσκουμε.

Εδώ βέβαια μπορεί κάποιος να πάρει και τις δύο περιπτώσεις
να υπολογίσει το ολοκλήρωμα κάποιας ''επιφάνειας'' που δεν ξέρει τι είναι.
Τα εμβαδά υπάρχουν και στην περίπτωση που δεν είναι κανονική ,απλά τότε υπάρχει
πρόβλημα με την περιγραφή της ''επιφάνειας''

#16

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 19, 2020 9:06 am
Θεωρούμε την σωληνοειδή επιφάνεια με διευθετούσα την έλικα

${\bf{c}}(t)=(\alpha\cos{t},\alpha\sin{t},\beta\, t )\,, \; t\in [0,2\pi],\; \alpha>0,\; \beta>0\,,$
για την οποία, σε κάθε σημείο της ${\bf{c}}$ , η τομή της με το κάθετο στην ${\bf{c}}$ επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο το και ακτίνα .

Να βρεθεί μια παραμετρική παράσταση της επιφάνειας και να υπολογισθεί το εμβαδόν της .

Γρηγόρη και Σταύρο καλησπέρα και καλό μήνα...

Κλείνοντας από τη μεριά μου το θέμα αυτό, θα αναρτήσω και την περίπτωση κατά την οποία το σωληνοειδές αυτό
παρουσιάζει μια "αυτοεπαφή".

Αρχικά η γραμμή, κατά την οποία θα υπάρχει αυτή η αυτοεπαφή, είναι μια έλικα, δηλαδή μια από τις
παραμετρικές καμπύλες που σχηματίζουν την επιφάνεια αυτή. Έτσι παρατηρώντας το πρώτο σχήμα έχουμε:

: Σωληνοειδές 11.png (13.11 KiB) Προβλήθηκε 1908 φορές

Η ακτίνα του κύκλου που δημιουργεί το σωληνοειδές θα έχει ακτίνα:

$\displaystyle{R=(P_1P)cos(\beta) \ \ (1)}$

όπου:
1ο) το σημείο $\displaystyle{P}$ είναι το μέσο του τμήματος $\displaystyle{P_1P_2}$ με $\displaystyle{P_1,P_2}$ τα άκρα της αρχικής έλικας.

2ο) η $\displaystyle{\beta}$ είναι η γωνία που σχηματίζει η $\displaystyle{(P_1P_2)}$ με το επίπεδο του κύκλου αυτού.

Στη συνέχεια μετακινούμε κατά το διάνυσμα $\displaystyle{\overrightarrow {P_1P}}$ , την αρχική έλικα, ή καλύτερα, σχεδιάζοντας
την έλικα:

$\displaystyle{ c_1(t)=(acost, asint,bt+(P_1P)), 0 \leq 2 t \leq \pi+\beta \ \ (2)}$

Έτσι βλέπουμε στο επόμενο σχήμα τα ίχνη του αρχικού κύκλου που διέρχονται όλα από την έλικα αυτή με ροζ χρώμα.

: Σωληνοειδές 12.png (54.87 KiB) Προβλήθηκε 1908 φορές

Τέλος στο τρίτο σχήμα βλέπουμε μια όψη από το σωληνοειδές αυτό που παρουσιάζει αυτήν την

αυτοεπαφή.

: Σωληνοειδές 13.png (75.59 KiB) Προβλήθηκε 1908 φορές

Κώστας Δόρτσιος

#17

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 19, 2020 9:06 am
Θεωρούμε την σωληνοειδή επιφάνεια με διευθετούσα την έλικα

${\bf{c}}(t)=(\alpha\cos{t},\alpha\sin{t},\beta\, t )\,, \; t\in [0,2\pi],\; \alpha>0,\; \beta>0\,,$
για την οποία, σε κάθε σημείο της ${\bf{c}}$ , η τομή της με το κάθετο στην ${\bf{c}}$ επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο το και ακτίνα .

Να βρεθεί μια παραμετρική παράσταση της επιφάνειας και να υπολογισθεί το εμβαδόν της .

Γρηγόρη καλησπέρα...

Παρόλο που είπα στο τελευταίο μου μήνυμα πως θα ήταν το τελευταίο, προχωρώ παραπέρα...

Εφόσον η επιφάνεια του σωληνοειοδούς αυτού είναι ίση με την επιφάνεια ενός κυλίνδρου με βάση ίση με
τον κύκλο που διαγράφει το σωληνοειδές αυτό και ύψος το μήκος του σωληνοειδούς προχώρησα στο
ακόλουθο σχήμα:

: Σωληνοειδές 14.png (7.9 KiB) Προβλήθηκε 1690 φορές

Στο σχήμα αυτό θεώρησα την εφαπτομένη της αρχικής έλικας στο αρχικό της σημείο $\displaystyle{P_1}$ και

πάνω σ' αυτήν πήρα ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{P_1P_3}$ με μήκος ίσο με το μήκος της έλικας $\displaystyle{P_1P_2}$ .

Στη συνέχεια κατασκεύασα ορθό κύλινδρο με ύψος το τμήμα $\displaystyle{P_1P_3}$ και κύκλο τον $\displaystyle{(P_1, R)}$ .

Έτσι προέκυψε το σχήμα:

: Σωληνοειδές 15.png (35.96 KiB) Προβλήθηκε 1690 φορές

Στο σχήμα αυτό τα δύο αυτά στερεά έχουν ίσες τις κυρτές των επιφάνειες, όπως δείχθηκε σε

προηγούμενα μηνύματα.

Στον σύνδεσμο που ακολουθεί μπορείτε να δείτε και τη δυναμική μορφή του σχήματος αυτού.

Σωληνοειδές 11.ggb: (14.08 KiB) Μεταφορτώθηκε 24 φορές

Κώστας Δόρτσιος

(Συνεχίζεται...)

Σωληνοειδής επιφάνεια

Σωληνοειδής επιφάνεια

Re: Σωληνοειδής επιφάνεια

Re: Σωληνοειδής επιφάνεια

Re: Σωληνοειδής επιφάνεια

Re: Σωληνοειδής επιφάνεια

Re: Σωληνοειδής επιφάνεια

Re: Σωληνοειδής επιφάνεια

Re: Σωληνοειδής επιφάνεια

Re: Σωληνοειδής επιφάνεια

Re: Σωληνοειδής επιφάνεια

Re: Σωληνοειδής επιφάνεια

Re: Σωληνοειδής επιφάνεια

Re: Σωληνοειδής επιφάνεια

Re: Σωληνοειδής επιφάνεια

Re: Σωληνοειδής επιφάνεια

Re: Σωληνοειδής επιφάνεια

Re: Σωληνοειδής επιφάνεια

Μέλη σε σύνδεση