Περίεργη ισότητα

KARKAR · #1

: Περέργη ισότητα.png (7.91 KiB) Προβλήθηκε 1739 φορές

$\bigstar$ Δίπλα στο τετράγωνο ABCD

προσθέσαμε το ορθογώνιο BEZC

. Το

είναι σημείο της

.

Η ευθεία

τέμνει την

στο σημείο

και η

την

στο

. Δείξτε ότι : DT=EP

.

Λύση με ευκλείδεια γεωμετρία .. κάτι παραπάνω από ευπρόσδεκτη .

#2

Ολοφάνερα

και

$\dfrac{ST}{SE}=\dfrac{SC}{SA}=\dfrac{sin(SDC)}{sin(ADS)}=\dfrac{sin(SDC)}{sin(SPE)}$

Δηλαδή $\dfrac{ST}{sin(SDC)} = \dfrac{SE}{sin(SPE)}$

Επομένως από νόμο ημιτόνων τα τρίγωνα SDT, SPE

έχουν ίσους περιγεγραμμένους κύκλους, αφού έχουν ίσες διαμέτρους, άρα οι χορδές DT, PE

, αφού σε ίσους κύκλους έχουν ίσες αντίστοιχες εγγεγραμμένες γωνίες, είναι ίσες.

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 16, 2020 2:11 pm
Περίεργη ισότητα.png $\bigstar$ Δίπλα στο τετράγωνο προσθέσαμε το ορθογώνιο . Το είναι σημείο της .

Η ευθεία τέμνει την στο σημείο και η την στο . Δείξτε ότι : .

Λύση με ευκλείδεια γεωμετρία .. κάτι παραπάνω από ευπρόσδεκτη .

Καλησπέρα ΚΑΛΗ ΑΝΑΣΤΑΣΗ

Εστω DT=x,PE=y,AB=a,ZC=b,

Στο τρίγωνο TZE

με τέμνουσα $SCO,\dfrac{TS}{CZ}.\dfrac{OZ}{OE}.\dfrac{ES}{ST}=1\Rightarrow \dfrac{ST}{SE}=\dfrac{a-x}{b+a},(1),$

$DT//EJ\Leftrightarrow \dfrac{x}{EJ}=\dfrac{TS}{SE},(2), (1),(2)\Rightarrow EJ=\dfrac{x(b+a)}{a-x},(3), EP//AD\Leftrightarrow \dfrac{y}{a}=\dfrac{EJ}{EJ+a+b}\Leftrightarrow EJ=\dfrac{y(a+b)}{a-y},(4), (3),(4)\Rightarrow x=y$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 16, 2020 2:11 pm
Περίεργη ισότητα.png $\bigstar$ Δίπλα στο τετράγωνο προσθέσαμε το ορθογώνιο . Το είναι σημείο της .

Η ευθεία τέμνει την στο σημείο και η την στο . Δείξτε ότι : .

Λύση με ευκλείδεια γεωμετρία .. κάτι παραπάνω από ευπρόσδεκτη .

Καλή Ανάσταση!

: Περίεργη ισότητα.Κ.png (43.52 KiB) Προβλήθηκε 1623 φορές

Μενέλαος στο TZE

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {DSP} :$

$\displaystyle \frac{{EP}}{{PZ}} \cdot \frac{{ZD}}{{DT}} \cdot \frac{{TS}}{{SE}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{EP}}{{PZ}} \cdot \frac{{AE}}{{DT}} \cdot \frac{{TC}}{{AE}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{EP}}{{PZ}} = \frac{{DT}}{{TC}} \Leftrightarrow \frac{{EP}}{{EZ}} = \frac{{DT}}{{DC}}$

και επειδή EZ=BC=DC,

θα είναι και $\boxed{EP=DT}$

#5

Να πούμε ότι η πρόταση ισχύει, γενικότερα, σε ρόμβο.

Al.Koutsouridis · #6

Το ουσιώδες εδώ είναι ότι η

είναι διχοτόμος της γωνίας

βλέπε π.χ. εδώ. Οπότε ισχύει γενικότερα σε παραλληλόγραμμο κάτι αντίστοιχο.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 16, 2020 2:11 pm
Περίεργη ισότητα.png $\bigstar$ Δίπλα στο τετράγωνο προσθέσαμε το ορθογώνιο . Το είναι σημείο της .

Η ευθεία τέμνει την στο σημείο και η την στο . Δείξτε ότι : .

Λύση με ευκλείδεια γεωμετρία .. κάτι παραπάνω από ευπρόσδεκτη .

Έστω

σημείο της

ώστε

.Τότε , $\angle DKT= 45^0 \Rightarrow KT//AC$

Ισχύει, $\dfrac{CS}{SA} = \dfrac{TL}{LK}$ (Θ.κεντρικής δέσμης) και $\dfrac{CS}{SA} = \dfrac{TS}{SE}$ .

Άρα, $\dfrac{TL}{LK}= \dfrac{TS}{SE} \Rightarrow DP//KE \Rightarrow DKEP$ παραλ/μμο $\Rightarrow PE=DK=DT$

: Περίεργη ισότητα.png (13.13 KiB) Προβλήθηκε 1544 φορές

KARKAR · #8

: Περίεργη ισότητα.png (10.63 KiB) Προβλήθηκε 1515 φορές

Χρόνια πολλά σ' όλους ! Η έκκληση για μη καρτεσιανές λύσεις έπιασε τόπο

. Ίσως κάποτε ...

Γράφω και μία λύση , μόνο με ομοιότητα : $\dfrac{TC}{AE}=\dfrac{TK}{LE}$ , ή : $\dfrac{a-x}{a+b}=\dfrac{t-x}{a+b-t}$

Επίσης : $\dfrac{DM}{MP}=\dfrac{SN}{NP}$ , ή : $\dfrac{a-y}{a+b}=\dfrac{t-y}{a+b-t}$ , άρα : x=y

.

#9

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 18, 2020 10:21 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 16, 2020 2:11 pm
Περίεργη ισότητα.png $\bigstar$ Δίπλα στο τετράγωνο προσθέσαμε το ορθογώνιο . Το είναι σημείο της .

Η ευθεία τέμνει την στο σημείο και η την στο . Δείξτε ότι : .

Λύση με ευκλείδεια γεωμετρία .. κάτι παραπάνω από ευπρόσδεκτη .
Έστω σημείο της ώστε .Τότε , $\angle DKT= 45^0 \Rightarrow KT//AC$

Ισχύει, $\dfrac{CS}{SA} = \dfrac{TL}{LK}$ (Θ.κεντρικής δέσμης) και $\dfrac{CS}{SA} = \dfrac{TS}{SE}$ .

Άρα, $\dfrac{TL}{LK}= \dfrac{TS}{SE} \Rightarrow DP//KE \Rightarrow DKEP$ παραλ/μμο $\Rightarrow PE=DK=DT$

Περίεργη ισότητα.png

#10

Πάνω κάτω μια από τα ίδια με του Θανάση

: Περίεργη ισότητα.png (17.79 KiB) Προβλήθηκε 1480 φορές

Έστω ακόμα

η προβολή του

στην

. Προφανώς το τρίγωνο , FAS

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Θέτω: $TC = y\,\,,\,\,PZ = y\,\,$ και τις $AB = a\,\,,BE = b$

Τα ορθογώνια τρίγωνα, $ZDP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FSD$ είναι προφανώς όμοια οπότε και λόγω του Θ. Θαλή έχω:

$\dfrac{{a + b}}{y} = \dfrac{{DZ}}{{ZP}} = \dfrac{{FS}}{{FD}} = \dfrac{{FA}}{{FD}} = \dfrac{{ES}}{{ST}} = \dfrac{{AE}}{{TC}} = \dfrac{{a + b}}{x}$ και άρα $x = y \Leftrightarrow DT = EP$

p_gianno · #11

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 16, 2020 2:11 pm
Περίεργη ισότητα.png $\bigstar$ Δίπλα στο τετράγωνο προσθέσαμε το ορθογώνιο . Το είναι σημείο της .

Η ευθεία τέμνει την στο σημείο και η την στο . Δείξτε ότι : .

Λύση με ευκλείδεια γεωμετρία .. κάτι παραπάνω από ευπρόσδεκτη .

: Ισότητα τμημάτων.png (27.03 KiB) Προβλήθηκε 1449 φορές

Φέρω $HS \perp DS$ . Τότε $\angle DSH = \angle DAH =90^0$ συνεπώς DAHS

εγγράψιμο και επειδή

διχοτόμος της $\angle DAB$

προκύπτει SH=SD

(1)

Στην απόδειξη τώρα

$\displatstyle PE=PE \cdot \frac{EL}{EL} \overset{\triangle HSL \sim \triangle PEL}{=} \frac{SH}{SL} \cdot EL\overset{(1)}{=} \frac{SD}{SL} \cdot EL \overset{\triangle DTS \sim \triangle LEP}{=} \frac{DT}{EL} \cdot EL=DT$

Χρόνια πολλά σε όλους

Περίεργη ισότητα

Περίεργη ισότητα

Re: Περίεργη ισότητα

Re: Περίεργη ισότητα

Re: Περίεργη ισότητα

Re: Περίεργη ισότητα

Re: Περίεργη ισότητα

Re: Περίεργη ισότητα

Re: Περίεργη ισότητα

Re: Περίεργη ισότητα

Re: Περίεργη ισότητα

Re: Περίεργη ισότητα

Μέλη σε σύνδεση