Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος

[george visvikis]

Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος.png (17.9 KiB) Προβλήθηκε 1356 φορές

Από σημείο εκτός κύκλου φέρνω τυχούσες τέμνουσες και γράφω τους κύκλους

που διέρχονται από τα σημεία και αντίστοιχα. Οι κύκλοι αυτοί τέμνονται και σε ένα δεύτερο σημείο

εκτός του Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος.png
Από σημείο εκτός κύκλου φέρνω τυχούσες τέμνουσες και γράφω τους κύκλους

που διέρχονται από τα σημεία και αντίστοιχα. Οι κύκλοι αυτοί τέμνονται και σε ένα δεύτερο σημείο

εκτός του Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του

Καλησπέρα!

Η αντιστροφή πόλου και δύναμης απεικονίζει τον πράσινο κύκλο (στο σχήμα της άσκησης) στην ευθεία και τον μπλε στην .Άρα αν το είναι η εικόνα του ως προς την αντιστροφή.Όμως το ανήκει στην πολική του ως προς τον κόκκινο κύκλο .Δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος του είναι η εικόνα της πολικής του ως προς τον κόκκινο κύκλο ως προς την αντιστροφή.Τα σημεία τομής της πολικής με τον κόκκινο κύκλο μένουν αναλλοίωτα.Άρα ο ζητούμενος τόπος είναι ο κύκλος διαμέτρου

304.PNG (35.98 KiB) Προβλήθηκε 1333 φορές

[george visvikis]

Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος.png
Από σημείο εκτός κύκλου φέρνω τυχούσες τέμνουσες και γράφω τους κύκλους

που διέρχονται από τα σημεία και αντίστοιχα. Οι κύκλοι αυτοί τέμνονται και σε ένα δεύτερο σημείο

εκτός του Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του

Καλησπέρα!

Η αντιστροφή πόλου και δύναμης απεικονίζει τον πράσινο κύκλο (στο σχήμα της άσκησης) στην ευθεία και τον μπλε στην .Άρα αν το είναι η εικόνα του ως προς την αντιστροφή.Όμως το ανήκει στην πολική του ως προς τον κόκκινο κύκλο .Δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος του είναι η εικόνα της πολικής του ως προς τον κόκκινο κύκλο ως προς την αντιστροφή.Τα σημεία τομής της πολικής με τον κόκκινο κύκλο μένουν αναλλοίωτα.Άρα ο ζητούμενος τόπος είναι ο κύκλος διαμέτρου

304.PNG

Άψογος όπως πάντα

[Al.Koutsouridis]

Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος.png
Από σημείο εκτός κύκλου φέρνω τυχούσες τέμνουσες και γράφω τους κύκλους

που διέρχονται από τα σημεία και αντίστοιχα. Οι κύκλοι αυτοί τέμνονται και σε ένα δεύτερο σημείο

εκτός του Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του

Το πρόβλημα αυτό είναι επί της ουσίας ίδιο με το 5ο πρόβλημα της διεθνούς μαθηματικής ολυμπιάδας του 1985. Είναι από τα αγαπημένα μου. Το είχα συναντήσει σε κάποια παλιά τεύχη του Ευκλείδη Β' που ήταν στην βιβλιοθήκη του γυμνασίου μου. Προσπάθησα το καλοκαίρι της Γ' Γυμνασίου να το λύσω και δεν τα είχα καταφέρει. Επιδέχεται και άλλες όμορφες και στοιχειώδεις λύσεις πέραν της εξαιρετικής του Πρόδρομου.

[min##]

Το είναι το σημείο του εγγράψιμου (τεμνόμενου) τετραπλεύρου .
Αν το θα ανήκει στη διαγώνιο και επιπλέον θα είναι κάθετες κλπ.(γνωστό λήμμα για σημεία εγγράψιμων τετραπλεύρων).

[george visvikis]

Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος.png
Από σημείο εκτός κύκλου φέρνω τυχούσες τέμνουσες και γράφω τους κύκλους

που διέρχονται από τα σημεία και αντίστοιχα. Οι κύκλοι αυτοί τέμνονται και σε ένα δεύτερο σημείο

εκτός του Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του

Το πρόβλημα αυτό είναι επί της ουσίας ίδιο με το 5ο πρόβλημα της διεθνούς μαθηματικής ολυμπιάδας του 1985. Είναι από τα αγαπημένα μου. Το είχα συναντήσει σε κάποια παλιά τεύχη του Ευκλείδη Β' που ήταν στην βιβλιοθήκη του γυμνασίου μου. Προσπάθησα το καλοκαίρι της Γ' Γυμνασίου να το λύσω και δεν τα είχα καταφέρει. Επιδέχεται και άλλες όμορφες και στοιχειώδεις λύσεις πέραν της εξαιρετικής του Πρόδρομου.

Πράγματι, τα δύο προβλήματα μοιάζουν πολύ και υπάρχουν και άλλες ωραίες λύσεις. Παρόλα αυτά, η παρούσα άσκηση
είναι αρχαιότερη από την IMO 1985. Είναι από το βιβλίο του Αριστείδη Φ. Πάλλα, Μεγάλη Γεωμετρία Τόμος Α (έκδοση
1971). Πρόκειται για την άσκηση 815 από τις Γενικές του Β' τεύχους.

[Al.Koutsouridis]

Πράγματι, τα δύο προβλήματα μοιάζουν πολύ και υπάρχουν και άλλες ωραίες λύσεις. Παρόλα αυτά, η παρούσα άσκηση
είναι αρχαιότερη από την IMO 1985. Είναι από το βιβλίο του Αριστείδη Φ. Πάλλα, Μεγάλη Γεωμετρία Τόμος Α (έκδοση
1971). Πρόκειται για την άσκηση 815 από τις Γενικές του Β' τεύχους.

...Και είναι πολύ συμαντικό αυτό δείχνει ότι το επίπεδο της σχολικής ευκλείδιας γεωματρίας είναι πολύ υψηλό στην Ελλάδα από τα καλύτερα στον κόσμο. Να πω τον πόνο μου, όταν πήγα να αγοράσω τα βιβλία του Πάλλα σε βιβλιοπωλείο μου ζήτησαν ευρώ το ένα αν θυμάμαι καλά και εν τέλει δεν το αγόρασα.


Όσο αναφορά το πρόβλημα:

trikuklos_gewmetrikos_topos.png (36.66 KiB) Προβλήθηκε 1181 φορές

Έχουμε και , οπότε τα τρίγωνα και είναι όμοια. Άρα όμοια θα είναι και τα τρίγωνα που σχηματιζουν ομόλογες διάμεσοί τους και . Δηλαδή ισχύει . Επομένως τα σημεία είναι ομοκυκλικά. Όμως ομοκυκλικά είναι και τα σημεία μάλιστα με διάμετρο το τμήμα . Άρα όλα τα παραπάνω σημέια ανήκουν στον ίδιο κύκλο διαμέτρο . Οπότε , που δίνει και το ζητούμενο γεωμετρικό τόπο.