Μέγιστο μήκος και μέγιστη επιφάνεια ορθογωνίου

Stelios V8 · #1

Θεωρούμε τη συμβολή δύο κάθετων διαδρόμων πλάτους α όπως στο σχήμα .
Θεωρούμε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ που τοποθετείτε έτσι ώστε οι δύο κορυφές του να ακουμπούν στους τοίχους των διαδρόμων και η πλευρά ΒΓ να ακουμπά στην κορυφή Ο της γωνίας θ (όπως στο σχήμα) .
Οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι ΑΔ=δ και ΑΒ=γ με $\gamma \leq \alpha$ .
(1) Να δειχθεί ότι $\delta = \alpha \left ( \frac{1}{\sin\left ( \theta \right ) }+\frac{1}{\cos \left ( \theta \right )} \right )-\gamma \left ( \tan \left ( \theta \right )+\cot \left ( \theta \right ) \right )$ για $0< \theta <\frac{\pi }{2}$ .
(2) Να υπολογιστεί το μέγιστο μήκος ενός ορθογωνίου που μπορεί να περάσει από τους διαδρόμους .
(3) Να υπολογιστούν οι διαστάσεις του ορθογωνίου αν θέλουμε να έχει τη μέγιστη δυνατή επιφάνεια .
Εικόνα

#2

Καλησπέρα σε όλους.

Επιχειρώ μια διαφορετική αντιμετώπιση του προβλήματος.

: 02-04-2020 Μέγιστο ορθογώνιο.jpg (27.14 KiB) Προβλήθηκε 1141 φορές

Επιλέγουμε ως σημείο περιστροφής του ορθογωνίου την κορυφή

. Για να μπορεί να στρίψει, πρέπει οι αποστάσεις του

από τις απέναντι κορυφές του ορθογωνίου να έχουν μήκος μικρότερο από

, δηλαδή να βρίσκονται μέσα στον κυκλικό τομέα με κέντρο το

και ακτίνα

, που εφάπτεται στις πλευρές του διαδρόμου στα A, B

.

Πρέπει, λοιπόν, το ορθογώνιο να είναι ολόκληρο στο εσωτερικό ημικυκλικού δίσκου ακτίνας

.

Αναζητούμε, λοιπόν, το ορθογώνιο μέγιστου εμβαδού που είναι εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο ακτίνας

.

Έστω

οι διαστάσεις του ορθογωνίου, με 0<y<a, 0<x<2a

. Λόγω συμμετρίας, το

είναι μέσο του

. Οπότε, στο ορθογώνιο ADO

, από το Πυθαγόρειο Θεώρημα, είναι

$\displaystyle {y^2} + \frac{{{x^2}}}{4} = {a^2} \Leftrightarrow y = \sqrt {{a^2} - \frac{{{x^2}}}{4}}$ .

Το εμβαδό του ορθογωνίου είναι $\displaystyle E = xy = x\sqrt {{a^2} - \frac{{{x^2}}}{4}} = \sqrt {{a^2}{x^2} - \frac{{{x^4}}}{4}} ,\;\;x \in \left( {0,\;2a} \right)$ .

Η παράσταση παίρνει μέγιστη τιμή, όταν μεγιστοποιείται το υπόρριζο.

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = {a^2}{x^2} - \frac{{{x^4}}}{4},\;\;x \in \left( {0,\;2a} \right)$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( x \right) = 2{a^2}x - {x^3}$ .

Είναι $\displaystyle f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\;\; \vee \;x = a\sqrt 2 \; \vee \;\;x = - a\sqrt 2$

Με πίνακα μονοτονίας, διαπιστώνουμε ότι παρουσιάζει μέγιστο για $\displaystyle x = a\sqrt 2$ , οπότε $\displaystyle y = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ . Το μέγιστο εμβαδό είναι E=a^2

.

Κάποια επιπλέον σχόλια μετά από τον διάλογο που περιμένω να ακολουθήσει.

#3

Ξεκινώ και τη διαπραγμάτευση του θέματος, σύμφωνα με την εκφώνηση.

: 02-04-2020 Μέγιστο ορθογώνιο 2.jpg (31.29 KiB) Προβλήθηκε 1126 φορές

Στο

είναι $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \theta = \frac{{{\rm K}{\rm B}}}{{{\rm A}{\rm B}}}$ και στο BLO

είναι $\displaystyle \eta \mu \theta = \frac{{BL}}{{BO}}$ , οπότε

$\displaystyle {\rm K}{\rm B} + BL = a = c \cdot \sigma \upsilon \nu \theta + {\rm B}{\rm O} \cdot \eta \mu \theta$ (1)

Στο MOC

είναι $\displaystyle \eta \mu \theta = \frac{{CN}}{{DC}}$ και στο MOC

είναι $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \theta = \frac{{MC}}{{OC}}$

οπότε $\displaystyle CN + CM = a = c \cdot \eta \mu \theta + {\rm O}C \cdot \sigma \upsilon \nu \theta$ (2)

Από (1) είναι $\displaystyle {\rm B}{\rm O} = \frac{a}{{\eta \mu \theta }} - c \cdot \sigma \varphi \theta$
και από (2) είναι $\displaystyle {\rm O}C = \frac{a}{{\sigma \upsilon \nu \theta }} - c \cdot \varepsilon \varphi \theta$

Προσθέτοντας, είναι $\displaystyle d = a \cdot \left( {\frac{1}{{\eta \mu \theta }} + \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu \theta }}} \right) - c \cdot \left( {\varepsilon \varphi \theta + \sigma \varphi \theta } \right)$

(Λόγω ώρας, αν δεν συνεχίσει κάποιος άλλος, θα συνεχίσω το ταχύτερο δυνατόν).

#4

Συνεχίζω με τα άλλα ερωτήματα:

Αν $\displaystyle \theta = 0\;\; \vee \;\;\theta = \frac{\pi }{2}$ , τότε το μέγιστο μήκος

είναι ίσο με

και χωράει να περάσει τετράγωνο πλευράς

, δίχως να το στρέψουμε, (εφόσον μπορούμε να το σύρουμε).

Για $\displaystyle \theta \in \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right)$ , θεωρώντας το

σταθερό, είναι

$\displaystyle d\left( \theta \right) = a \cdot \left( {\frac{1}{{\eta \mu \theta }} + \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu \theta }}} \right) - c \cdot \left( {\varepsilon \varphi \theta + \sigma \varphi \theta } \right)$ .

$\displaystyle d'\left( \theta \right) = a\left( { - \frac{{\sigma \upsilon \nu \theta }}{{\eta {\mu ^2}\theta }} + \frac{{\eta \mu \theta }}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta }}} \right) - c\left( {\frac{1}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta }} - \frac{1}{{\eta {\mu ^2}\theta }}} \right)$

$\displaystyle = \frac{{a\eta {\mu ^3}\theta - a\sigma \upsilon {\nu ^3}\theta + c\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta - c\eta {\mu ^2}\theta }}{{\eta {\mu ^2}\theta \cdot \sigma \upsilon {\nu ^2}\theta }}$

$\displaystyle d'\left( \theta \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {\eta \mu \theta - \sigma \upsilon \nu \theta } \right)\left( {a\eta {\mu ^3}\theta - a\sigma \upsilon {\nu ^3}\theta + c\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta - c\eta {\mu ^2}\theta } \right) = 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left( {\eta \mu \theta = \sigma \upsilon \nu \theta \Leftrightarrow \theta = \frac{\pi }{4}} \right)\; \vee \;\;\left( {a\eta {\mu ^3}\theta - a\sigma \upsilon {\nu ^3}\theta + c\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta - c\eta {\mu ^2}\theta = 0} \right)$

Είναι $\displaystyle 1 + \eta \mu \theta \cdot \sigma \upsilon \nu \theta - \eta \mu \theta - \sigma \upsilon \nu \theta = \left( {\eta \mu \theta - 1} \right)\left( {\sigma \upsilon \nu \theta - 1} \right) > 0$ για κάθε $\displaystyle \theta \in \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right)$ ,

οπότε $\displaystyle 1 + \eta \mu \theta \cdot \sigma \upsilon \nu \theta > \eta \mu \theta + \sigma \upsilon \nu \theta \Rightarrow a\left( {1 + \eta \mu \theta \cdot \sigma \upsilon \nu \theta } \right) > a\left( {\eta \mu \theta + \sigma \upsilon \nu \theta } \right) \ge c\left( {\eta \mu \theta + \sigma \upsilon \nu \theta } \right)$ , αφού $\displaystyle a \ge c$ ,

οπότε η μόνη ρίζα της $\displaystyle d'\left( \theta \right) = 0$ είναι $\displaystyle \theta = \frac{\pi }{4}$ .

Τότε η συνάρτηση d(x)

παρουσιάζει ελάχιστο με τιμή $\displaystyle d\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 2\sqrt 2 a - 2c$ .

Για να μπορεί να περάσει το ορθογώνιο πρέπει το μήκος του να είναι μικρότερο απ’ αυτήν την τιμή, οπότε η μέγιστη δυνατή του μήκους είναι $\displaystyle 2\sqrt 2 a - 2c$ .

Για το (3). Θεωρώ μεταβλητό το

και μελετώ τη συνάρτηση του εμβαδού για τυχαία (προς στιγμήν σταθερή) τιμή της γωνίας $\theta$ .
Κρατώ μια επιφύλαξη για την ορθότητα της μεθόδου, που δεν έχω δει κάπου την τεκμηρίωσή της. Θα χαιρόμουν αν κάποιος που γνωρίζει κάτι σχετικά παρέμβει διορθώνοντας ή και συμπληρώνοντας.

Αν c=a

, τότε για να χωρά το ορθογώνιο, πρέπει να είναι d = a

, δηλαδή να είναι τετράγωνο.

Για $\displaystyle c \in \left( {0,\;a} \right)$ είναι $\displaystyle E\left( c \right) = cd = ca \cdot \left( {\frac{1}{{\eta \mu \theta }} + \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu \theta }}} \right) - {c^2} \cdot \left( {\varepsilon \varphi \theta + \sigma \varphi \theta } \right)$ , για κάθε τιμή της γωνίας $\displaystyle \theta \in \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right)$ .

$\displaystyle E'\left( c \right) = a \cdot \left( {\frac{1}{{\eta \mu \theta }} + \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu \theta }}} \right) - 2c \cdot \left( {\varepsilon \varphi \theta + \sigma \varphi \theta } \right)$ .

Είναι $\displaystyle E'\left( c \right) = 0 \Leftrightarrow c = \frac{{a \cdot \left( {\eta \mu \theta + \sigma \upsilon \nu \theta } \right)}}{2} = \frac{{a \cdot \sqrt 2 \eta \mu \left( {\frac{\pi }{4} + \theta } \right)}}{2} \le \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ με το ίσον όταν $\displaystyle \theta = \frac{\pi }{4}$ .

Με πίνακα μονοτονίας, βρίσκουμε ότι αυτή είναι η θέση μεγίστου, με $\displaystyle {E_{\max }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \cdot \sqrt 2 a = {a^2}$

Stelios V8 · #5

Αρχικά, ευχαριστώ πολύ για την ενασχόλησή σας με το θέμα.
Λίγο διαφορετικά για το (3) έχουμε πως για να περάσει το ορθογώνιο στην περίπτωση $0< \theta < \frac{\pi }{2}$
θα πρέπει $\delta \leq 2\sqrt{2}\alpha -2\gamma$ και έτσι για το εμβαδόν έχουμε διαδοχικά πως:
$\varepsilon = \delta\gamma \leq 2\left ( \sqrt{2}\alpha -\gamma \right ) \gamma \leq \frac{\left (\sqrt{2}\alpha -\gamma +\gamma \right )^{2}}{2}=\alpha ^{2}$

με ισότητα να επιτυγχάνεται όταν $\delta = 2\left ( \sqrt{2}\alpha -\gamma \right )$ και $\sqrt{2}\alpha -\gamma \right= \gamma$ .
Επίσης όπως πολύ σωστά τονίσατε είναι δύο τα ορθογώνια, αυτά διαστάσεων $\left ( \gamma ,\delta \right )=\left ( \alpha ,\alpha \right )$ και $\left ( \gamma ,\delta \right )=\left (\frac{\alpha }{\sqrt{2}},\alpha\sqrt{2} \right )$ , που μπορούν να περάσουν .

Μέγιστο μήκος και μέγιστη επιφάνεια ορθογωνίου

Μέγιστο μήκος και μέγιστη επιφάνεια ορθογωνίου

Re: Μέγιστο μήκος και μέγιστη επιφάνεια ορθογωνίου

Re: Μέγιστο μήκος και μέγιστη επιφάνεια ορθογωνίου

Re: Μέγιστο μήκος και μέγιστη επιφάνεια ορθογωνίου

Re: Μέγιστο μήκος και μέγιστη επιφάνεια ορθογωνίου

Μέλη σε σύνδεση