Μη συνευθειακά

#1

: Μη συνευθειακά.png (25.5 KiB) Προβλήθηκε 1681 φορές

Έστω η κοινή χορδή δύο μη ίσων τεμνομένων κύκλων $\left( K \right),\left( L \right)$ και ας είναι τα αντιδιαμετρικά του ως προς τους $\left( K \right),\left( L \right)$ .

Αν τα σημεία τομής των με τους $\left( L \right),\left( K \right)$ αντίστοιχα , με (το μέσο της ) μεταξύ των και να δειχθεί ότι ΔΕΝ είναι συνευθειακά.

Στάθης

#2

Επαναφορά!

Xriiiiistos · #3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 15, 2017 7:22 pm
Μη συνευθειακά.pngΈστω η κοινή χορδή δύο μη ίσων τεμνομένων κύκλων $\left( K \right),\left( L \right)$ και ας είναι τα αντιδιαμετρικά του ως προς τους $\left( K \right),\left( L \right)$ .

Αν τα σημεία τομής των με τους $\left( L \right),\left( K \right)$ αντίστοιχα , με (το μέσο της ) μεταξύ των και να δειχθεί ότι ΔΕΝ είναι συνευθειακά.

Στάθης

Στα περισσότερα σχήματα με το μάτι φαίνονται συνευθειακά τα σημεία

.
Δουλεύω με μικρότερο τον κύκλο (L). Έστω ότι τα σημεία E,A,Z

είναι συνευθειακά.

$X\equiv ZE\cap CD$ (δεν φαίνεται στο σχήμα), N,R

μέσα των

αντίστοιχα

όπου $C',D'\in CD\mu \varepsilon ZC',ED'\perp CD$ τότε λόγο διαμέσου τραπεζίου $\dfrac{ZC'+ED'}{2}=NR$ (1). Έστω AB=2s

: MHSIN.png (491.37 KiB) Προβλήθηκε 1044 φορές

συνευθειακά ως κάθετες στην

Θ.ΘΑΛΉ $\dfrac{DM}{DZ}=\dfrac{MB}{ZC'}\Leftrightarrow \dfrac{DM}{MZ}=\dfrac{s}{ZC'-s}$ και όμοια $\dfrac{CM}{ME}=\dfrac{s}{ED'-s}$

$ZC,ED\perp EZ$ άρα DE//ZC

oπότε $\dfrac{DM}{MZ}=\dfrac{EM}{CM}$

Aπό τις 3 τελευταίες σχέσεις έχουμε $\dfrac{s}{ZC'-s}=\dfrac{ED'-s}{s}\Leftrightarrow 2s\dfrac{ED'+ZC'}{2}=ED'\cdot ZC'\overset{(1)}{\Leftrightarrow }$

$AB\cdot NR=ED'\cdot ZC'\Leftrightarrow \dfrac{NR}{ED'}=\dfrac{ZC'}{AB}$ και από θαλή και στα 2 μέλη

παίρνουμε $\dfrac{XN}{XE}=\dfrac{XZ}{XA}\Leftrightarrow XN\cdot XA=XZ\cdot XE$ αφού N μέσο ZE

από Mac Laurin (X,A/E,Z)

αρμονική τετράδα για συντομία $\widehat{ZBA}=x,\widehat{ABE}=z,\widehat{EBD}=y$ η αρμονική τετράδα δίνει

$sin(z)sin(x+y+z)=sinxsiny\overset{z+y=\pi /2}{\Leftrightarrow }sinzcosx=sinxcosz\Leftrightarrow$

tanx=tanz

όμως $x,z\in (0,\pi /2)$ άρα x=z

Και από θεώρημα διχοτόμου $\dfrac{ZA}{AE}=\dfrac{BZ}{BE}$ .

ZC'B,BED'

Όμοια και από θεώρημα θαλή η προηγόμενη σχέση γίνεται

$\dfrac{ZA}{AE}=\dfrac{ZC'}{ED'}=\dfrac{ZC'\cdot BM}{ED'\cdot BM}=\dfrac{CM}{CE}\cdot \dfrac{DZ}{DM}=\dfrac{ZM}{MD}$ από θεώρημα θαλή

AB//ED

.

Λόγο των παραλλήλων τώρα CZED

ορθογώνιο παραλληλόγραμμο άρα ZC=ED

και αφού x=z $\widehat{DBE}=\widehat{ZBC}=y$ οπότε στους 2 κύκλους Έχουμε ίσες γωνίες να βαίνουν σε ίσα τόξα άρα οι κύκλοι είναι ίσοι.

Αυτό σημαίνει πως αν οι κύκλοι είναι άνισοι τότε τα Z,A,E

δεν είναι συνευθειακά.

Και είχα σκοπό να κοιμηθώ πριν της μία σήμερα.

#4

Νομίζω ότι ο έλεγχος του ότι δεν ισχύει, με την χρήση σχεδιαστικού προγράμματος υπολογιστή, θα πρέπει να θεωρείται έγκυρος.

Είναι πιο διδακτικό το να διαπιστώνω με το λογισμικό ότι ένα αποτέλεσμα αληθεύει και να προσπαθώ να πετύχω την απόδειξή του, με οποιοδήποτε έστω τρόπο ( μία συνθετική απόδειξη βέβαια, έχει άλλη γοητεία ), παρά να "παιδευτώ" να αποδείξω γεωμετρικά ότι κάτι δεν ισχύει. (*)

Θα μου πει κάποιος, απόψεις είναι αυτές. Σύμφωνoύμε και για να συνεισφέρω και εγώ στο να μειωθεί ακόμα ένα από τα αναπάντητα θέματα του φόρουμ, δίνω μία άλλη προσέγγιση με στοιχειώδη μέσα.

$\bullet$ Έστω ότι τα σημεία $E,\ A,\ Z$ είναι συνευθειακά.

Προκύπτει εύκολα τότε, ότι $CZ\parallel DE\ \ \ ,(1)$

Επειδή τώρα, στο τραπέζιο DEZC

ισχύει

έχουμε ότι $DE\parallel AB\parallel CZ\ \ \ ,(2)$

Από (2)

και συνευθειακά τα $C,\ B,\ D$ με $AB\perp CD$ ( προφανές ) προκύπτει $CZ\perp CD\ \ \ , (3)$ και $DE\perp CD\ \ \ (4)$

Από $(3),\ (4)$ έχουμε ότι τα σημεία $E,\ Z$ , ταυτίζονται με τα αντιδιαμετρικά σημεία του

στους κύκλους $(L),\ (K)$ , αντιστοίχως.

Έτσι όμως, από $KM\parallel BD$ και $ZK = KB\Rightarrow$ $2KM = BD\ \ \ ,(5)$ και ομοίως $2ML = CB\ \ \ ,(6)$

Από $(5),\ (6)$ και KM < ML

λόγω

$)\Rightarrow$ $BD < CB\ \ \ ,(7)$

Η (7)

όμως δεν αληθεύει και αυτός ο ισχυρισμός είναι προφανής αφού οι δοσμένοι κύκλοι είναι άνισοι με $AL > AK\Rightarrow$ BD > CB

.

Καταλήξαμε σε άτοπο και άρα, η αρχική μας θεώρηση για την συνευθειακότητα των σημείων $E,\ A,\ Z$ δεν αληθεύει και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

(*)

Είναι προτιμότερο να ξεσκονίσω την Προβολική του ΛΑΔΟΠΟΥΛΟΥ μήπως και επανέλθω έστω μερικώς, ώστε να απολαμβάνω τις προχωρημένες λύσεις του Μίνου (min##), αν καταφέρω να τις επαληθεύσω.

Μη συνευθειακά

Μη συνευθειακά

Re: Μη συνευθειακά

Re: Μη συνευθειακά

Re: Μη συνευθειακά

Μέλη σε σύνδεση