e^x- ίσωση

#1

Να λυθεί στο $\displaystyle R$ (μόνο με διασκεδαστικό τρόπο ) , η εξίσωση

$\displaystyle {e^{x - 2}} + {e^{x + 8}} = {e^{4 - x}} + {e^{3x + 2}}$

KARKAR · #2

Η εξίσωση δημιουργήθηκε ως εξής . 0 εκθέτης x-2

, ισούται είτε με τον 4-x

, είτε με τον 3x+2

.

Στην πρώτη περίπτωση έχουμε x=3

που επαληθεύει και στην δεύτερη x=-2

που επίσης

επαληθεύει ... Διασκεδάστε , δεν υπάρχουν άλλες λύσεις

Φυσικά λύνεται και νομίμως , αλλά εδώ δεν επιτρέπεται η νομιμότητα ...

KARKAR · #3

Δέχθηκα αφόρητη πίεση να δημοσιεύσω και μία νόμιμη λύση . Ιδού : Πολλαπλασιάζοντας επί e^x

,

η εξίσωση γίνεται : $e^2e^{4x}-\dfrac{e^{10}+1}{e^2}e^{2x}+e^4=0$ . Θέτοντας : $y=e^{2x} , y>0$ ...

#4

Αν διαιρέσουμε με το $e^{3x+2}$ και τα δύο μέλη προκύπτει η εξίσωση
$e^{-2x-4}+e^{-2x+6}=e^{-4x+2}+1$
Παρατηρούμε ότι ο εκθέτης στο δεύτερο μέλος είναι το άθροισμα των εκθετών στο πρώτο μέλος.
Μετά είναι εύκολο.

#5

$\displaystyle {e^{x - 2}} + {e^{x + 8}} = {e^{4 - x}} + {e^{3x + 2}} \Leftrightarrow {e^{x - 2}} - {e^{4 - x}} = {e^{3x + 2}} - {e^{x + 8}}$

Παρατηρώ ότι κάθε μέλος μηδενίζεται για $\displaystyle x = 3$ . Έχουμε μια ρίζα.

$\displaystyle {e^{x - 2}} + {e^{x + 8}} = {e^{4 - x}} + {e^{3x + 2}} \Leftrightarrow {e^{x - 2}} - {e^{3x + 2}} = {e^{4 - x}} - {e^{x + 8}}$

Παρατηρώ ότι κάθε μέλος μηδενίζεται για $\displaystyle x = -2$ . Έχουμε άλλη μια ρίζα.

Παρατηρώ επίσης, ότι $\displaystyle {e^{x - 2}} \cdot {e^{x + 8}} = {e^{4 - x}} \cdot {e^{3x + 2}}$ .

Γράφω την αρχική ισότητα $\displaystyle a+b=c+d$ με $\displaystyle a \cdot b = c \cdot d$ , όλα θετικά.

Οπότε $\displaystyle a + b = c + d \Leftrightarrow a + \frac{{cd}}{a} = c + d \Leftrightarrow {a^2} - \left( {c + d} \right)a + cd = 0$ .
Η εξίσωση ως προς

, αν έχει λύσεις, θα είναι το πολύ δύο. Τόσες είχαμε βρει, άρα είμαστε εντάξει.

Αν δεν διασκεδάζετε με λύσεις όπως η παραπάνω, ας ακολουθήσετε την προτροπή του Θανάση ΕΔΩ.

(Εντάξει το ότι η y=e^x

είναι "1-1" (κάθε

αντιστοιχεί σε ένα

) δεν το λες διασκεδαστικό, το λες απαραίτητη γνώση).

#6

Ας δώσω κι εγώ μια διασκεδαστική εκδοχή . Ο αφηρημένος λύτης γράφει :

$\displaystyle {{e}^{x-2}}+{{e}^{x+8}}={{e}^{4-x}}+{{e}^{3x+2}}\,\,\,\,\,\,\,(1)$

Από τη γνωστή ταυτότητα $\displaystyle {{e}^{x}}+{{e}^{y}}={{e}^{x+y}}$ , έχουμε ότι η
$\displaystyle (1)\Leftrightarrow {{e}^{2x+6}}={{e}^{2x+6}}$ , οπότε ισχύει για κάθε $\displaystyle x\in R$ .
Όμως το $\displaystyle 0$ δεν επαληθεύει . Λάθος ταυτότητα .

Άλλη προσπάθεια

Από τη γνωστή ταυτότητα $\displaystyle {{e}^{x}}+{{e}^{y}}={{e}^{xy}}$ , έχουμε ότι η
$\displaystyle (1)\Leftrightarrow {{e}^{(x-2)(x+8)}}={{e}^{(4-x)(3x+2)}}$
Άρα : $\displaystyle (x-2)(x+8)=(4-x)(3x+2)\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-6=0\Leftrightarrow x=-2\vee x=3$ ,
οι οποίες επαληθεύουν την $\displaystyle (1)$ . Πέτυχε .

e^x- ίσωση

e^x- ίσωση

Re: e^x- ίσωση

Re: e^x- ίσωση

Re: e^x- ίσωση

Re: e^x- ίσωση

Re: e^x- ίσωση

Μέλη σε σύνδεση