Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

#1

ΘΕΜΑ 1
Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί 1,2,3,...,n.

Ο Γιώργος έσβησε κατά λάθος έναν από αυτούς, οπότε τώρα ο μέσος όρος των αριθμών που είναι γραμμένοι στον πίνακα είναι ίσος με 22.

Να βρείτε τον

και τον αριθμό που έσβησε ο Γιώργος.

ΘΕΜΑ 2
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης |36^k - 5^m|,

όπου

και

θετικοί ακέραιοι.

ΘΕΜΑ 3
α) Σε τετράγωνο ABCD,

οι διαγώνιοι

και

τέμνονται στο

Το σημείο

βρίσκεται στο τμήμα

έτσι ώστε $\angle CAF = \angle FAD.$
Αν η

τέμνει την

στο

και $EG=24 \ cm$ να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος CF.

β) Στις πλευρές

και

τετραγώνου ABCD

θεωρούμε σημεία

και

τέτοια ώστε BE = BF

.
Έστω

ύψος του τριγώνου BCE

. Να αποδείξετε ότι $\angle DNF = 90^{\circ}$ .
https://artofproblemsolving.com/communi ... ompetition

ΘΕΜΑ 4
Στον πίνακα είναι γραμμένοι στη σειρά

αριθμοί, καθένας ίσος με

ή

Είναι γνωστό ότι το άθροισμα οποιωνδήποτε

διαδοχικών αριθμών του πίνακα είναι ίσο με

ενώ το άθροισμα οποιωνδήποτε

διαδοχικών αριθμών είναι διαφορετικό από το

Να προσδιορίσετε τη μέγιστη δυνατή τιμή του

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

socrates έγραψε: Παρ Μαρ 13, 2020 2:12 am ΘΕΜΑ 1
Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί Ο Γιώργος έσβησε κατά λάθος έναν από αυτούς, οπότε τώρα ο μέσος όρος των αριθμών που είναι γραμμένοι στον πίνακα είναι ίσος με Να βρείτε τον και τον αριθμό που έσβησε ο Γιώργος.

Έστω

ο αριθμός τον οποίο έσβησε.Το αρχικό άθροισμα ήταν $\dfrac{n\left ( n+1 \right )}{2}$ και έτσι από τα δεδομένα έχουμε πως $\dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}-a}{n-1}=22\Leftrightarrow a=\dfrac{n^2-43n+44}{2}$
Επειδή $a\in [1,n]$ έχουμε $\dfrac{n^2-43n+44}{2}\leq n\Leftrightarrow n^2-45n+44\leq 0\Leftrightarrow (n-1)(n-44)\leq 0$
Επειδή $n\neq 1$ θα πρέπει $n\leq 44$ .
Επιπλέον πρέπει $n^2-43n+44\geq 0$
Μελετώντας το τριώνυμο έχουμε πως $n\leq \dfrac{43-\sqrt{1673}}{2}\,\,\acute{\eta} \,\,\,n\geq \dfrac{43+\sqrt{1673}}{2}$
Η πρώτη απορρίπτεται εύκολα ενώ από την δεύτερη πρέπει (

φυσικός) $n\geq 42$
Για n=44

βρίσκουμε

,για

είναι

και για

παίρνουμε

.Και οι τρις λύσεις είναι δεκτές και ικανοποιούν τις συνθήκες.

Άρα (a,n)=(1,42),(22,43),(44 ,44)

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

socrates έγραψε: Παρ Μαρ 13, 2020 2:12 am ΘΕΜΑ 2
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης όπου και θετικοί ακέραιοι.

Αν

τότε $36^k-5^m\equiv 1\pmod2$ και $36^k-5^m\equiv 1\pmod5$ .
Με k=1,m=2

έχουμε

και δεν υπάρχει μικρότερη δυνατή καθώς από τις σχέσεις με τα $\pmod$ αυτή θα είναι αναγκαστικά

.Αρκεί να δείξουμε πως η 36^k-5^m=1

είναι αδύνατη.
Πρέπει (6^k-1)(6^k+1)=5^m

όμως $6^k+1\not\equiv 0\pmod5$ άρα 6^k-1=5^m

και

άτοπο.
Αν 5^m-36^k>0

τότε $36^k-5^m\equiv 1\pmod2$ και $5^m-36^k\equiv 4\pmod5$
Άρα μόνη περίπτωση μικρότερη του

είναι το

το οποίο όμως δίνει άτοπο $\pmod3$ .

Έτσι ελάχιστη τιμή της |36^k - 5^m|,

είναι το

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

socrates έγραψε: Παρ Μαρ 13, 2020 2:12 am ΘΕΜΑ 3
α) Σε τετράγωνο οι διαγώνιοι και τέμνονται στο Το σημείο βρίσκεται στο τμήμα έτσι ώστε $\angle CAF = \angle FAD.$
Αν η τέμνει την στο και $EG=24 \ cm$ να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος

β) Στις πλευρές και τετραγώνου θεωρούμε σημεία και τέτοια ώστε .
Έστω ύψος του τριγώνου . Να αποδείξετε ότι $\angle DNF = 90^{\circ}$ .
https://artofproblemsolving.com/communi ... ompetition

α)

: 268.PNG (14.89 KiB) Προβλήθηκε 2033 φορές

Έστω

η πλευρά του τετραγώνου.Είναι $\Delta ADF\sim\Delta AGE\Leftrightarrow \dfrac{GE}{DF}=\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{a}\Leftrightarrow DF=GE\sqrt{2}$
Από θ.διχοτόμου είναι $\dfrac{FC}{DF}=\dfrac{AC}{AD}=\sqrt{2}\Leftrightarrow FC=DF\sqrt{2}=GE\sqrt{2}\sqrt{2}=2GE=48cm$

β)

: 267.PNG (22.17 KiB) Προβλήθηκε 2033 φορές

Έστω $T\equiv BN\cap AD$ .Είναι $\angle NCD=90^{\circ}-\angle BCE=90^{\circ}-\angle EBT=\angle BTA$
άρα DTNC

εγγράψιμο.Επιπλέον $\Delta ABT=\Delta EBC\Leftrightarrow AT=BF\Leftrightarrow DT=CF$ και έτσι εύκολα TDCF

εγγράψιμο ως ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.Δηλαδή DNFC

εγγράψιμο και το ζητούμενο έπεται.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: Παρ Μαρ 13, 2020 9:44 am
ΘΕΜΑ 2
...
Αρκεί να δείξουμε πως η είναι αδύνατη.
...

mod 7
και είναι άμεσο ότι είναι αδύνατη.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #6

socrates έγραψε: Παρ Μαρ 13, 2020 2:12 am ΘΕΜΑ 4
Στον πίνακα είναι γραμμένοι στη σειρά αριθμοί, καθένας ίσος με ή Είναι γνωστό ότι το άθροισμα οποιωνδήποτε διαδοχικών αριθμών του πίνακα είναι ίσο με ενώ το άθροισμα οποιωνδήποτε διαδοχικών αριθμών είναι διαφορετικό από το
Να προσδιορίσετε τη μέγιστη δυνατή τιμή του

Έστω

οι αριθμοί.Σίγουρα γίνεται $n\geq 12$ .
Επειδή $\displaystyle {\sum_{k}^{k+9}a_k=0}$ συμπεραίνουμε ότι $i\equiv j\pmod{10}\Rightarrow a_i=a_j$
Για κάποιο k>11

τώρα είναι $\displaystyle{\sum_{k-11}^{k}}a_k\neq 0$ και $\displaystyle {\sum_{k-11}^{k-2}}a_k=0$ άρα $a_k=a_{k-1}$ .
Συνεπώς αν $n\geq 16$ θα πρέπει $n_{16}=n_{15}=..=n_{11}\Leftrightarrow n_6=n_5=..=n_1$ τότε όμως έχουμε άτοπο αφού δεν μπορεί $\displaystyle{\sum_{i=1}^{10}}a_i=0$ .Άρα $n\leq 15$ .
Το n=15

είναι εφικτό π.χ 1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,1

#7

socrates έγραψε: Παρ Μαρ 13, 2020 2:12 am ΘΕΜΑ 2
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης όπου και θετικοί ακέραιοι.

Φυσικά ερωτήματα που γεννιούνται :

Να λυθεί η εξίσωση

Ποια είναι η δεύτερη μικρότερη τιμή της παράστασης όπου και θετικοί ακέραιοι;
(δεν έχω λύση)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #8

socrates έγραψε: Παρ Απρ 03, 2020 6:22 pm
socrates έγραψε: Παρ Μαρ 13, 2020 2:12 am ΘΕΜΑ 2
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης όπου και θετικοί ακέραιοι.
Φυσικά ερωτήματα που γεννιούνται :

Να λυθεί η εξίσωση

Ποια είναι η δεύτερη μικρότερη τιμή της παράστασης όπου και θετικοί ακέραιοι;
(δεν έχω λύση)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
To έβαλα και εδώ:
https://artofproblemsolving.com/communi ... e_equation_

Για το πρώτο
Εύκολα με mod3

έχουμε ότι

άρτιος.Τότε θέτουμε m=2a

,όπου

θετικός ακέραιος και έχουμε
$(6^{k}-5^{a})(6^{k}-5^{a})=11$ ,οπότε

$\left\{\begin{matrix} 6^{k}-5^{a}=1& \\ 6^{k}+5^{a}=11& \end{matrix}\right.$
Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε: $2\cdot 6^{k}=12\Leftrightarrow 6^{k}=6\Leftrightarrow k=1$ .Αρα a=1

.
Συνεπώς η εξίσωση έχει μοναδική λύση (k,m)=(1,2)

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #9

socrates έγραψε: Παρ Απρ 03, 2020 6:22 pm
socrates έγραψε: Παρ Μαρ 13, 2020 2:12 am ΘΕΜΑ 2
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης όπου και θετικοί ακέραιοι.
Φυσικά ερωτήματα που γεννιούνται :

Να λυθεί η εξίσωση

Ποια είναι η δεύτερη μικρότερη τιμή της παράστασης όπου και θετικοί ακέραιοι;
(δεν έχω λύση)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
To έβαλα και εδώ:
https://artofproblemsolving.com/communi ... e_equation_

Κάνω το δεύτερο
Θα δείξω πως είναι το

.
Αν $\rm 36^k-5^m>0$ τότε εύκολα $\rm 36^k-5^m\equiv 1\pmod2,36^k-5^m\equiv 1\pmod5\Rightarrow 36^k-5^m\equiv 1\pmod{10}$ .
Η $\rm 36^k-5^m=21$ δίνει άτοπο $\rm \pmod{3}$ .Για $\rm k=m=1$ είναι $\rm 36^k-5^m=31$ .
Μένει η περίπτωση $\rm 5^m-36^k>0$ .Εύκολα $\rm 5^m-36^k\equiv 1\pmod2,5^m-36^k\equiv 4\pmod5\Rightarrow 5^m-36^k\equiv 9\pmod{10}$
Άρα μένει να δείξω πως η $\rm 5^m-36^k=29 \,\,\,\, (*)$ είναι αδύνατη στους φυσικούς.
Αυτό γίνεται παίρνοντας $\pmod{29}$ .Πρέπει $\rm 5^m\equiv 36^k\pmod{29}\Leftrightarrow 5^m\equiv 7^k\pmod{29}$
Με $\pmod{3}$ στην (*)

πρέπει $\rm m$ περιττός.Είναι $\rm ord_{29}(5)=14\equiv 0\pmod{2}$ άρα τα δυνατά υπόλοιπα $\rm 5^m \pmod{29},m \equiv1 \pmod{2}$ είναι τα $\rm 5^1,5^3,..,5^{13}\pmod{29}$ δηλαδή τα 5,9,22,28,4,13,6

Επίσης $\rm ord_{29}(7)=7$ και έτσι τα δυνατά υπόλοιπα $\rm 7^k\pmod{29}$ είναι τα 1,7,20,24,23,16,25

.
Εφόσον δεν υπάρχουν κοινά στοιχεία η εξίσωση είναι αδύνατη και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Ξέχασα την περίπτωση $\rm 5^m-36^k=19$ ,θα δείξω πως και αυτή είναι αδύνατη.Με $\pmod3 ,\rm m$ άρτιος άρα αν $\rm m=2l$ τότε $\rm (5^l-6^k)(5^l+6^k)=19$ άρα αναγκαστικά $\rm 5^l+6^k=19$ εύκολα άτοπο.

Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση