Αστρική καθετότητα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11561
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Αστρική καθετότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Φεβ 13, 2020 8:39 pm

Αστρική  καθετότητα.png
Αστρική καθετότητα.png (10.85 KiB) Προβλήθηκε 250 φορές
Από το ίχνος D της διχοτόμου AD τριγώνου ABC , με AC<AB , φέρουμε παράλληλη

προς την BA , η οποία τέμνει τη διάμεσο AM στο σημείο E . Δείξτε ότι : BE \perp AD .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 736
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Αστρική καθετότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Φεβ 13, 2020 9:20 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 13, 2020 8:39 pm
Αστρική καθετότητα.pngΑπό το ίχνος D της διχοτόμου AD τριγώνου ABC , με AC<AB , φέρουμε παράλληλη

προς την BA , η οποία τέμνει τη διάμεσο AM στο σημείο E . Δείξτε ότι : BE \perp AD .
Καλησπέρα!

Είμαι σίγουρος ότι την έχω ξαναδεί σε κάποια γεωμετρία του κ.Μπάμπη αλλά δεν την βρίσκω τώρα.
227.PNG
227.PNG (12.81 KiB) Προβλήθηκε 238 φορές
Φέρω την εξωτερική διχοτόμο AL .Είναι AD\perp AL άρα αρκεί AL\parallel BE
Αυτό όμως ισχύει αφού από σχέση Newton για την αρμονική σημειοσειρά (L,D/B,C) είναι MB^2=MD\cdot ML\Leftrightarrow \dfrac{MB}{ML}=\dfrac{MD}{MB}=\dfrac{ME}{MA} και από θ.Θαλή έπεται το ζητούμενο.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1258
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Αστρική καθετότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Φεβ 14, 2020 8:28 am

Καλημέρα!
Αστρική καθετότητα.PNG
Αστρική καθετότητα.PNG (7.04 KiB) Προβλήθηκε 204 φορές
Αρκεί να δείξουμε AZ=AB. Τότε η διχοτόμος κορυφής στο ισοσκελές ABZ είναι και ύψος..Θα επανέλθω για την απόδειξη.

Άρση απόκρυψης, απόδειξη.
Η AD διχοτόμος, οπότε BD=\dfrac{ac}{b+c} ενώ DM=a/2-BD=\dfrac{a\left ( b-c \right )}{2\left ( b+c \right )}.

Είναι DE \parallel AB επομένως  \dfrac{AE}{EM}=\dfrac{BD}{DM}=\dfrac{2c}{b-c}.

Το θ. Μενελάου στο τρίγωνο MAC με διατέμνουσα την BEZ δίνει \dfrac{AZ}{ZC}\cdot \dfrac{CB}{BM}\cdot \dfrac{ME}{EA}=1\Rightarrow \dfrac{AE}{EM}=\dfrac{2AZ}{ZC}=\dfrac{2AZ}{b-AZ}.

Έτσι παίρνουμε \dfrac{2AZ}{b-AZ}=\dfrac{2c}{b-c}\Rightarrow...  AZ=c=AB. Φιλικά, Γιώργος.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Μήτσιος σε Παρ Φεβ 14, 2020 11:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9230
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αστρική καθετότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Φεβ 14, 2020 12:12 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 13, 2020 8:39 pm
Αστρική καθετότητα.pngΑπό το ίχνος D της διχοτόμου AD τριγώνου ABC , με AC<AB , φέρουμε παράλληλη

προς την BA , η οποία τέμνει τη διάμεσο AM στο σημείο E . Δείξτε ότι : BE \perp AD .
Η AD τέμνει την BE στο S, η MS την AB στο N και η BE την AC στο P.
Αστρική καθετότητα.png
Αστρική καθετότητα.png (14.53 KiB) Προβλήθηκε 169 φορές
Από Ceva στο ABM κι επειδή \displaystyle \frac{{BD}}{{DM}} = \frac{{AE}}{{EM}} προκύπτει ότι N είναι το μέσο της AB.

Αλλά, NS||AP οπότε το S είναι το μέσο του BP και λόγω της διχοτόμου AD, θα είναι \boxed{AD\bot BE}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7152
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αστρική καθετότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Φεβ 14, 2020 12:28 pm

Αστρικη καθετότητα_oritzin_ok.png
Αστρικη καθετότητα_oritzin_ok.png (23.63 KiB) Προβλήθηκε 160 φορές

Έστω K το σημείο τομής AD\,,\,\,BE και S το σημείο τομής των DE\,\,,\,\,AC

Αφού DS//AB\,\, και AD διχοτόμος , το \vartriangle SAD είναι ισοσκελές με κορυφή το S.

Στο τραπέζιο ABDE η MK θα διέρχεται από τα μέσα O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N των βάσεών του

BA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE και άρα DN = NE. Αλλά \overline {MNKO} είναι παράλληλη στην AC και άρα

Το \vartriangle NKD είναι κι αυτό ισοσκελές με κορυφή το N.

Τώρα στο τρίγωνο \vartriangle KDE η διάμεσός του KN ισούται με το μισό της DE άρα είναι ορθογώνιο στο K.


Με πρόλαβε μάλλον ο Γιώργος αλλά με άλλο σκεφτικό .

Πράγματι πρόκειται για πολύ ωραία άσκηση . Δεν θυμάμαι να την έχω ξαναδεί . Αν είναι κατασκευής του Θανάση τα εύσημα μου.

Έχει και υπολογιστική λύση . Μου άρεσε και η λύση του Πρόδρομου ( τόπο στα νιάτα!) :clap2:


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1813
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Αστρική καθετότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Φεβ 14, 2020 6:32 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 13, 2020 8:39 pm
Αστρική καθετότητα.pngΑπό το ίχνος D της διχοτόμου AD τριγώνου ABC , με AC<AB , φέρουμε παράλληλη

προς την BA , η οποία τέμνει τη διάμεσο AM στο σημείο E . Δείξτε ότι : BE \perp AD .

Η παράλληλη από το C προς την AB τέμνει την BE στο Z και την AM στο N και προς την BE τέμνει την AB στο H

Ισχύει \dfrac{c}{ZN}= \dfrac{BE}{EZ}= \dfrac{BD}{DC}= \dfrac{c}{b} \Rightarrow ZN=b  .Αλλά  CN=c άρα CZ=BH=b-c \Rightarrow AH=AC=b

Έτσι,στο ισοσκελές τρίγωνο AHC η διχοτόμος AD θε είναι κάθετη στην HC, συνεπώς και στην παράλληλή της BEZ
Αστρική καθετότητα.png
Αστρική καθετότητα.png (17.83 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11561
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Αστρική καθετότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Φεβ 14, 2020 7:27 pm

En el triangulo ABC, la bisectriz interior del angulo A y la mediana trazada

a partir de A cortan a BC en 2 puntos distintos D y M , respectivamente.

Sea E el punto de interseccion de AM y la perpendicular a AD trazada

a partir de B. Prueba que AB y DE son paralelas .
Doloros έγραψε:
Παρ Φεβ 14, 2020 12:28 pm

Πράγματι πρόκειται για πολύ ωραία άσκηση . Δεν θυμάμαι να την έχω ξαναδεί . Αν είναι κατασκευής του Θανάση τα εύσημα μου.

Έχει και υπολογιστική λύση .
Η άσκηση είναι από τα προτεινόμενα θέματα για την Μεξικάνικη Μαθηματική Ολυμπιάδα ( δείτε

την εκφώνηση και διαπιστώστε ότι όλα είναι σχεδόν κατανοητά , παρότι στα Ισπανικά ! )

Υπολογιστική λύση Νίκο εννοείς το : AB^2-BD^2=AE^2-ED^2 ; Επίσης , η πηγαία

διατύπωση "δεν θυμάμαι να την έχω ξαναδεί " , φανερώνει την τεράστια εμπειρία του ανδρός :notworthy:


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1884
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Αστρική καθετότητα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Φεβ 14, 2020 7:48 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 13, 2020 8:39 pm
Αστρική καθετότητα.pngΑπό το ίχνος D της διχοτόμου AD τριγώνου ABC , με AC<AB , φέρουμε παράλληλη

προς την BA , η οποία τέμνει τη διάμεσο AM στο σημείο E . Δείξτε ότι : BE \perp AD .
Απο το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο ABC,BD=\dfrac{ac}{b+c},DC=\dfrac{ab}{b+c},


DE//AB\Leftrightarrow \dfrac{DE}{c}=\dfrac{2DM}{a},(1),

 DM=\dfrac{a}{2}-BD=\dfrac{a}{2}-\dfrac{ac}{b+c}\Leftrightarrow \dfrac{2DM}{a}= \dfrac{b-c}{b+c},(2),

 (1),(2)\Rightarrow DE=\dfrac{c(b-c)}{b+c},DE^{2}+c^{2}=2c^{2}.\dfrac{b^{2}+c^{2}}{(b+c)^{2}},(*)


\dfrac{2DM}{a}=\dfrac{AM-AE}{AM}\Leftrightarrow \dfrac{AE}{AM}=1-\dfrac{2DM}{a},(3), 



(2),(3)\Rightarrow \dfrac{AE}{AM}=\dfrac{2c}{b+c}\Rightarrow AE^{2}=\dfrac{4c^{2}}{(b+c)^{2}}.AM^{2}



\Rightarrow BD^{2}+AE^{2}=\dfrac{2(b^{2}+c^{2})c^{2}}{(b+c)^{2}},(**), (*),(**)\Rightarrow 


BD^{2}+AE^{2}=DE^{2}+c^{2}\Leftrightarrow BE\perp AD
Συνημμένα
Αστρική καθετότητα.png
Αστρική καθετότητα.png (59.98 KiB) Προβλήθηκε 93 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες