ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Η προσθήκη των εκφωνήσεων στην αρχική ανάρτηση του Αλέξανδρου έγινε από εμένα, ύστερα από σχετική παράκληση συναδέλφου, στις 1:15 μ.μ. (άρα προφανώς μετά τη λήξη του διαγωνισμού). Το επισήμανα με την ανάρτησή μου #11 παραπάνω, που "ανέβηκε" στις 1:18 μ.μ. Έκρινα ότι τα θέματα πρέπει να βρίσκονται στην αρχική ανάρτηση, ώστε να είναι ευκολότερη η εύρεσή τους στο μέλλον (αλλά και στο παρόν...) Δυστυχώς, δεν φαίνεται η ώρα της προσθήκης των θεμάτων στην αρχική ανάρτηση, γι' αυτό και έκανα την επισήμανση άμεσα (ανάρτηση #11).
Ομολογώ ότι δεν καταλαβαίνω το λόγο για τον οποίο δημιουργήθηκε ζήτημα. Καλώς ανέβηκαν οι λύσεις των θεμάτων, που είναι, σε πολλές περιπτώσεις, διαφορετικές και απλούστερες από τις επίσημες. Το είναι κατεξοχήν χώρος έκφρασης Μαθηματικών και σε μια μέρα σαν τη σημερινή οφείλει να παρέχει σε όσους το επισκέπτονται, ιδίως στους μαθητές, γρήγορη και αξιόπιστη ενημέρωση. Η κακοπιστία, η καχυποψία και η διάθεση (αυτο)προβολής δεν έχουν θέση στο χώρο αυτό.
Ευχαριστώ τους συναδέλφους που ανέβασαν λύσεις των σημερινών θεμάτων και τους παρακαλώ να συνεχίσουν να το κάνουν.
Ομολογώ ότι δεν καταλαβαίνω το λόγο για τον οποίο δημιουργήθηκε ζήτημα. Καλώς ανέβηκαν οι λύσεις των θεμάτων, που είναι, σε πολλές περιπτώσεις, διαφορετικές και απλούστερες από τις επίσημες. Το είναι κατεξοχήν χώρος έκφρασης Μαθηματικών και σε μια μέρα σαν τη σημερινή οφείλει να παρέχει σε όσους το επισκέπτονται, ιδίως στους μαθητές, γρήγορη και αξιόπιστη ενημέρωση. Η κακοπιστία, η καχυποψία και η διάθεση (αυτο)προβολής δεν έχουν θέση στο χώρο αυτό.
Ευχαριστώ τους συναδέλφους που ανέβασαν λύσεις των σημερινών θεμάτων και τους παρακαλώ να συνεχίσουν να το κάνουν.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
ΘΕΜΑ 2-Β Λυκείου
(a) Είναι
Αφού παίρνουμε
.
(b) Εάν , , τότε , και είναι
με την ισότητα να αληθεύει αν και μόνο αν .
(Σχόλια: 1) Η απαίτηση να έχουμε όρους με βαθμό το πολύ 2 χρειάζεται πααγοντοποίηση επί του . Όσοι έψαχναν παραγοντοποίηση επί του θα ματαιοπονούσαν.
2) Η παράσταση θυμίζει την ταυτότητα S.Germain:
με και .)
Επεξεργασία (19/1/20): Διόρθωση τυπογραφικού.
(a) Είναι
Αφού παίρνουμε
.
(b) Εάν , , τότε , και είναι
με την ισότητα να αληθεύει αν και μόνο αν .
(Σχόλια: 1) Η απαίτηση να έχουμε όρους με βαθμό το πολύ 2 χρειάζεται πααγοντοποίηση επί του . Όσοι έψαχναν παραγοντοποίηση επί του θα ματαιοπονούσαν.
2) Η παράσταση θυμίζει την ταυτότητα S.Germain:
με και .)
Επεξεργασία (19/1/20): Διόρθωση τυπογραφικού.
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Κυρ Ιαν 19, 2020 9:44 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
ΘΕΜΑ 1-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
Παρατηρούμε ότι
για κάθε .
Επίσης και ,
για κάθε , οπότε έχουμε
.
Συνεπώς,
,
δηλ. η είναι αριθμητική πρόοδος.
Επεξεργασία: Διόρθωση δεικτών.
Παρατηρούμε ότι
για κάθε .
Επίσης και ,
για κάθε , οπότε έχουμε
.
Συνεπώς,
,
δηλ. η είναι αριθμητική πρόοδος.
Επεξεργασία: Διόρθωση δεικτών.
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Κυρ Ιαν 19, 2020 12:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Καλημέρα σε όλους.emouroukos έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 18, 2020 10:26 pmΚαλώς ανέβηκαν οι λύσεις των θεμάτων, που είναι, σε πολλές περιπτώσεις, διαφορετικές και απλούστερες από τις επίσημες.
Ευχαριστώ τους συναδέλφους που ανέβασαν λύσεις των σημερινών θεμάτων και τους παρακαλώ να συνεχίσουν να το κάνουν.
Β΄ Λυκείου Πρόβλημα 3
Έστω οι σελίδες που διάβασε τις μέρες
Έστω οι σελίδες που διάβασε τις μέρες
Έστω οι σελίδες που διάβασε τις μέρες
Έστω οι σελίδες που διάβασε τις μέρες
Έστω οι σελίδες που διάβασε τις μέρες
Τότε (1)
(2)
και (3)
Προσθέτοντας τις (1), (2), (3) έχουμε .
Όλες οι σελίδες είναι
Άρα δηλαδή .
Αν , έχουμε , ενώ αν το πάρει τη μέγιστη τιμή του , που σημαίνει , τότε
(β) Αν , τότε , άρα όλες οι σελίδες είναι .
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Μια άλλη ιδέα για να δείξουμε ότι , σε συνέχεια της στροφής κατά , είναι η εξής:
Είναι, λοιπόν, , ίση με τη γωνία της στροφής. Αφού , η είναι διχοτόμος της , κι άρα η είναι μεσοκάθετος της βάσης του ισοσκελούς . Συνεπώς, .
Ακόμα μια λύση μπορεί να προκύψει ως εξής:
Έστω η εικόνα του με άξονα συμμετρίας . Τότε και . Επιπλέον, . Έτσι, τα τρίγωνα και είναι ίσα από ΠΓΠ, οπότε .
Είναι, λοιπόν, και , δηλ. το είναι το σημείο τομής του κύκλου με την ευθεία . Άρα είναι , κι έτσι .
Φιλικά,
Αχιλλέας
Επεξεργασία: Προσθήκη εναλλακτικής λύσης και βελτίωση τρόπου γραφής της.
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Κυρ Ιαν 19, 2020 10:46 am, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Όπως παραπάνω, το παρόμοιο πρόβλημα
Γ΄ Λυκείου, Πρόβλημα 2
Έστω οι σελίδες που διάβασε τις μέρες
Έστω οι σελίδες που διάβασε τις μέρες
Έστω οι σελίδες που διάβασε τις μέρες
Έστω οι σελίδες που διάβασε τις μέρες
Έστω οι σελίδες που διάβασε τις μέρες
Τότε (1)
(2)
και (3)
Προσθέτοντας τις (1), (2), (3) έχουμε .
Όλες οι σελίδες είναι
Άρα δηλαδή .
Αν , έχουμε , ενώ αν το πάρει τη μέγιστη τιμή του , που σημαίνει , τότε
(β) Αν , τότε , άρα όλες οι σελίδες είναι .
ΕΡΩΤΗΣΗ: Στις επίσημες λύσεις βλέπω ότι δίνεται από μία πιθανή περίπτωση κατά την οποία επιτυγχάνεται το μέγιστο και το ελάχιστο. Αυτό είναι συνήθης τακτική σε περιπτώσεις που πρέπει να διακρίνουμε αν τα φράγματα μιας ανισότητας είναι και ακρότατα.
Εδώ, όμως, πιστεύετε ότι είναι απαραίτητο; Θα είναι αιτία μείωσης βαθμολογίας αν δεν συμπεριληφθεί στην απάντηση;
Γ΄ Λυκείου, Πρόβλημα 2
Έστω οι σελίδες που διάβασε τις μέρες
Έστω οι σελίδες που διάβασε τις μέρες
Έστω οι σελίδες που διάβασε τις μέρες
Έστω οι σελίδες που διάβασε τις μέρες
Έστω οι σελίδες που διάβασε τις μέρες
Τότε (1)
(2)
και (3)
Προσθέτοντας τις (1), (2), (3) έχουμε .
Όλες οι σελίδες είναι
Άρα δηλαδή .
Αν , έχουμε , ενώ αν το πάρει τη μέγιστη τιμή του , που σημαίνει , τότε
(β) Αν , τότε , άρα όλες οι σελίδες είναι .
ΕΡΩΤΗΣΗ: Στις επίσημες λύσεις βλέπω ότι δίνεται από μία πιθανή περίπτωση κατά την οποία επιτυγχάνεται το μέγιστο και το ελάχιστο. Αυτό είναι συνήθης τακτική σε περιπτώσεις που πρέπει να διακρίνουμε αν τα φράγματα μιας ανισότητας είναι και ακρότατα.
Εδώ, όμως, πιστεύετε ότι είναι απαραίτητο; Θα είναι αιτία μείωσης βαθμολογίας αν δεν συμπεριληφθεί στην απάντηση;
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Σχόλια επί των θεμάτων της Α Λυκείου
Το 1ο θέμα απαιτεί άνεση και προσοχή στις αλγεβρικές πράξεις, γνώση των βασικών ταυτοτήτων.
Το 2ο θέμα: Η γνώση της a+1/a>=2 (εφαρμογή του σχολικού) βοηθάει. Ο προετοιμασμένος μαθητής "πρέπει" να το έλυσε.
Το 3ο θέμα είναι πιθανότατα το δυσκολότερο.
Το 4ο θέμα είναι ένα από τα πιο εύκολα θέματα γεωμετρίας των τελευταίων ετών, κατά τη γνώμη μου ευκολότερο από το 3ο (και ίσως και από το 2ο.) Εκτιμώ ότι πολλοί μαθητές θα σκέφτηκαν τη σύγκριση τριγώνων. Οψόμεθα...
Ως θέματα τα βρήκα ελκυστικά. Πιθανότατα θα άλλαζα τη σειρά 3ου-4ου.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Το 1ο θέμα απαιτεί άνεση και προσοχή στις αλγεβρικές πράξεις, γνώση των βασικών ταυτοτήτων.
Το 2ο θέμα: Η γνώση της a+1/a>=2 (εφαρμογή του σχολικού) βοηθάει. Ο προετοιμασμένος μαθητής "πρέπει" να το έλυσε.
Το 3ο θέμα είναι πιθανότατα το δυσκολότερο.
Το 4ο θέμα είναι ένα από τα πιο εύκολα θέματα γεωμετρίας των τελευταίων ετών, κατά τη γνώμη μου ευκολότερο από το 3ο (και ίσως και από το 2ο.) Εκτιμώ ότι πολλοί μαθητές θα σκέφτηκαν τη σύγκριση τριγώνων. Οψόμεθα...
Ως θέματα τα βρήκα ελκυστικά. Πιθανότατα θα άλλαζα τη σειρά 3ου-4ου.
Φιλικά,
Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Κυρ Ιαν 19, 2020 11:21 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Ναι, νομίζω είναι απαραίτητο. Το ότι οι αριθμοί που υπεισέρχονται δίνουν εύκολα κάποιο "σημείο" ακροτάτου δε σημαίνει ότι δεν πρέπει να αναφερθεί. Και ναι, θα πρέπει να έχει κάποια μείωση στη βαθμολογία. Θα μπορούσε για παράδειγμα να είχαμε σχέση της μορφής . Το γεγονός ότι το μπορεί να πάρει την τιμή μηδέν ως ελάχιστη, δε σημαίνει ότι υπάρχουν και τα κατάλληλα για αυτό. Σε άλλα προβλήματα το παράδειγμα μεγίστου, ελαχίστου σημείου μπορεί να είναι η κύρια δυσκολία. Το λογικό βήμα όμως πρέπει να το γνωρίζει ο μαθητής και να το εφαρμόζει.Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 19, 2020 10:32 am
ΕΡΩΤΗΣΗ: Στις επίσημες λύσεις βλέπω ότι δίνεται από μία πιθανή περίπτωση κατά την οποία επιτυγχάνεται το μέγιστο και το ελάχιστο. Αυτό είναι συνήθης τακτική σε περιπτώσεις που πρέπει να διακρίνουμε αν τα φράγματα μιας ανισότητας είναι και ακρότατα.
Εδώ, όμως, πιστεύετε ότι είναι απαραίτητο; Θα είναι αιτία μείωσης βαθμολογίας αν δεν συμπεριληφθεί στην απάντηση;
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Πρόβλημα 4 Α' Λυκείου
και από την προφανή ισότητα των προκύπτει ότι Άρα το είναι
ορθογώνιο και ισοσκελές κι επειδή η διχοτομεί την ορθή γωνία θα είναι μεσοκάθετος της οπότε
και από το εγγράψιμο θα είναι Άρα η
διχοτομεί και την που σημαίνει ότι
και από την προφανή ισότητα των προκύπτει ότι Άρα το είναι
ορθογώνιο και ισοσκελές κι επειδή η διχοτομεί την ορθή γωνία θα είναι μεσοκάθετος της οπότε
και από το εγγράψιμο θα είναι Άρα η
διχοτομεί και την που σημαίνει ότι
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Αλέξανδρε, σε ευχαριστώ για την άμεση ανταπόκριση. Στην γενική περίπτωση, που αναφέρεις, συμφωνώ. Το γράφω, εξάλλου κι εγώ παραπάνω.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 19, 2020 11:21 amΝαι, νομίζω είναι απαραίτητο. Το ότι οι αριθμοί που υπεισέρχονται δίνουν εύκολα κάποιο "σημείο" ακροτάτου δε σημαίνει ότι δεν πρέπει να αναφερθεί. Και ναι, θα πρέπει να έχει κάποια μείωση στη βαθμολογία. Θα μπορούσε για παράδειγμα να είχαμε σχέση της μορφής . Το γεγονός ότι το μπορεί να πάρει την τιμή μηδέν ως ελάχιστη, δε σημαίνει ότι υπάρχουν και τα κατάλληλα για αυτό. Σε άλλα προβλήματα το παράδειγμα μεγίστου, ελαχίστου σημείου μπορεί να είναι η κύρια δυσκολία. Το λογικό βήμα όμως πρέπει να το γνωρίζει ο μαθητής και να το εφαρμόζει.
Συμφωνούμε ότι εδώ έχουμε γραμμική συνάρτηση: , (δηλαδή ισότητα κι όχι ανισότητα) και για το ισχύει .
Άρα δεν χρειάζεται έλεγχος για το αν το μπορεί να πάρει τις ακραίες τιμές, αφού το ορίζεται σε κλειστό διάστημα.
Τότε, το ερώτημα είναι αν υπάρχουν θετικά που να επαληθεύουν το σύστημα (1), (2), (3) για τις τιμές .
Θα συμφωνήσω ότι θα έπρεπε να ελεγχθούν, αν και εδώ είναι μάλλον προφανές.
Τότε, όμως στο ερώτημα (β) δεν θα έπρεπε να ελεγχθεί αν υπάρχουν θετικά ώστε . Στις επίσημες λύσεις δεν υπάρχει τέτοια διερεύνηση. Δεν είναι αντιφατικό;
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Κυρ Ιαν 19, 2020 2:08 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 1
- Εγγραφή: Κυρ Ιαν 19, 2020 12:18 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Καλησπέρα σε όλη την κοινότητα.achilleas έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 19, 2020 11:10 amΣχόλια επί των θεμάτων της Α Λυκείου
Το 1ο θέμα απαιτεί άνεση και προσοχή στις αλγεβρικές πράξεις, γνώση των βασικών ταυτοτήτων.
Το 2ο θέμα: Η γνώση της a+1/a>=2 (εφαρμογή του σχολικού) βοηθάει. Ο προετοιμασμένος μαθητής "πρέπει" να το έλυσε.
Το 3ο θέμα είναι πιθανότατα το δυσκολότερο.
Το 4ο θέμα είναι ένα από τα πιο εύκολα θέματα γεωμετρίας των τελευταίων ετών, κατά τη γνώμη μου ευκολότερο από το 3ο (και ίσως και από το 2ο.) Εκτιμώ ότι πολλοί μαθητές θα σκέφτηκαν τη σύγκριση τριγώνων. Οψόμεθα...
Ως θέματα τα βρήκα ελκυστικά. Πιθανότατα θα άλλαζα τη σειρά 3ου-4ου.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Η επιλογή των θεμάτων κατά τη γνώμη μου δεν ήταν η αρμόζουσα.
Τα θέματα 1,2 είναι απλά τετριμμένα.Δεν έχουν καμμία δυσκολία ως προς τις πράξεις και δεν απαιτούν ουδεμία πρωτοτυπία.
Όσον αφορά το θέμα 4, είναι εύκολο θέμα για Θαλή. Δεν απαιτεί καμμία μαθηματική πρωτοβουλία, κάποιες απλές συγκρίσεις τριγώνων, ένα θέμα που θα μπορούσε να λύσει ο καθένας που είχε προπονηθεί λίγο με παρόμοια θέματα.
Και τώρα πάμε στο θέμα 3. Όπως ειπώθηκε πριν είναι το δυσκολότερο θέμα.Από την άλλη αυτό το θέμα λόγω της αυξημένης του δυσκολίας θα έχει λυθεί από ελάχιστα, πολύ λίγα άτομα, απευθυνόταν σε όσους κάνει εξαιρετική προετοιμασία. Συνομίλησα με πολλούς μαθητές, κανένας δεν το κατάφερε, τόσο ταλαντούχοι με σταθερή πορεία και διακρίσεις σε διαγωνισμούς, όσο και άλλοι μαθητές χαμηλότερου επιπέδου.
Το κερασάκι στην τούρτα ήταν το ότι το θέμα 3 έπρεπε να είναι στην θέση του 4! Η σειρά των θεμάτων δεν μπαίνει βάσει δυσκολίας; Για ποιο λόγο να μπερδέψουν τους μαθητές και να αυτοί να χάσουν χρόνο νομίζοντας ότι το 3 είναι ευκολότερο;
Ξέρετε ποιο το αποτέλεσμα των παραπάνω;
Στην ουσία η πρόκριση στον Αρχιμήδη θα κριθεί σε... μικροδιαφορές ανάμεσα στα θέματα 1,2,4.
Θα έπρεπε το 3 να είναι πιο δύσκολο από τα άλλα, αλλά όχι τόσο πολύ ώστε να λυθεί από πολύ λίγους.
Κάπου ειπώθηκε ότι σε κάποιο εξεταστικό κέντρο πάρθηκαν τα κινητά από τους μαθητές για αποφυγή αντιγραφής...Αυτό στο δικό μου δεν συνέβη.
Όλα αυτά θα επαληθευτούν μετά την διόρθωση των γραπτών, φυσικά.
Εγώ συμμετείχα στις εξετάσεις και μπορώ να πω πως τα πήγα αρκετά καλά.
Καλά Αποτελέσματα εύχομαι!
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Καλησπέρα, Αλέξανδρε,Αλέξανδρος.Λ έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 19, 2020 1:04 pm...
Και τώρα πάμε στο θέμα 3. Όπως ειπώθηκε πριν είναι το δυσκολότερο θέμα.Από την άλλη αυτό το θέμα λόγω της αυξημένης του δυσκολίας θα έχει λυθεί από ελάχιστα, πολύ λίγα άτομα, απευθυνόταν σε όσους κάνει εξαιρετική προετοιμασία. Συνομίλησα με πολλούς μαθητές, κανένας δεν το κατάφερε, τόσο ταλαντούχοι με σταθερή πορεία και διακρίσεις σε διαγωνισμούς, όσο και άλλοι μαθητές χαμηλότερου επιπέδου.
Το κερασάκι στην τούρτα ήταν το ότι το θέμα 3 έπρεπε να είναι στην θέση του 4! Η σειρά των θεμάτων δεν μπαίνει βάσει δυσκολίας; Για ποιο λόγο να μπερδέψουν τους μαθητές και να αυτοί να χάσουν χρόνο νομίζοντας ότι το 3 είναι ευκολότερο;
Ξέρετε ποιο το αποτέλεσμα των παραπάνω;
Στην ουσία η πρόκριση στον Αρχιμήδη θα κριθεί σε... μικροδιαφορές ανάμεσα στα θέματα 1,2,4.
...
Καλά Αποτελέσματα εύχομαι!
Φυσικά η σειρά δεν έγινε για να μπερδέψει τους μαθητές. Ίσως έγινε λανθασμένη εκτίμηση, ίσως πάλι όχι, αφού η δυσκολία ενός θέματος είναι υποκειμενική.
Επίσης, τελικά, ένας προετοιμασμένος μαθητής ξέρει ότι όταν δεν καταφέρνει ένα πρόβλημα, καλό θα είναι να προσπαθήσει το επόμενο και να μην χάσει χρόνο. Δεν σημαίνει ότι τα προβλήματα πρέπει να λύνονται με τη σειρά. Είμαι σίγουρος ότι τα γνωρίζεις όλα αυτά. Απλά το επισημαίνω.
Όπως έγραψα παραπάνω, κι εγώ πιστεύω ότι το 3ο πρόβλημα είναι το δυσκολότερο και πιθανότατα θα παίξει καθοριστικό ρόλο στον ορισμό της βάσης (cut-off) για τον ΑΡΧΙΜΗΔΗ.
Καλά αποτελέσματα!
Συνεχίζουμε...
Φιλικά,
Αχιλλέας
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Επειδή συμμετείχα στην κουβέντα, θέλω να πω ότι δεν έψεξα κανέναν για την ανάρτηση των λύσεων.
Αυτό που πολύ απλά είπα, είναι ότι καλό θα ήταν να υπάρχουν και οι εκφωνήσεις μαζί, ώστε όποιος δεν έχει
τα θέματα να μπορεί να παρακολουθήσει μια λύση.
Φιλικά,
Περικλής
Αυτό που πολύ απλά είπα, είναι ότι καλό θα ήταν να υπάρχουν και οι εκφωνήσεις μαζί, ώστε όποιος δεν έχει
τα θέματα να μπορεί να παρακολουθήσει μια λύση.
Φιλικά,
Περικλής
Παντούλας Περικλής
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Μια παρατήρηση σχετική με το ΘΕΜΑ 3-Α ΛΥΚΕΙΟΥ:
Θα μπορούσαμε να σκεφτούμε ότι έχουμε ένα σύστημα
Οι λύσεις είναι
με , .
Αρκεί, με άλλα λόγια, να λύσει κάποιος ως προς οποιοδήποτε από τα .
Φιλικά,
Αχιλλέας
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Καλησπέρα σας
Αναφορικά με τα θέματα της β λυκειου:
Ήταν δυσκολότερα σε σχέση με άλλες χρονιές;
Που πιστεύετε ότι θα κυμανθούν περίπου οι βάσεις;
Μαθητής β λυκειου
Ευχαριστω
Αναφορικά με τα θέματα της β λυκειου:
Ήταν δυσκολότερα σε σχέση με άλλες χρονιές;
Που πιστεύετε ότι θα κυμανθούν περίπου οι βάσεις;
Μαθητής β λυκειου
Ευχαριστω
-
- Δημοσιεύσεις: 17
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2020 2:02 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
.
τελευταία επεξεργασία από StamatisGoudis σε Κυρ Ιούλ 26, 2020 9:20 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Δεν είχα κοιτάξει τις "επίσημες" λύσεις στην προηγούμενη απάντηση. Κοιτώντας τες τώρα, νομίζω με την μορφή που λύνεται το πρόβλημα εκεί δεν χρειάζεται διερεύνηση.Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 19, 2020 12:24 pmΑλέξανδρε, σε ευχαριστώ για την άμεση ανταπόκριση. Στην γενική περίπτωση, που αναφέρεις, συμφωνώ. Το γράφω, εξάλλου κι εγώ παραπάνω.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 19, 2020 11:21 amΝαι, νομίζω είναι απαραίτητο. Το ότι οι αριθμοί που υπεισέρχονται δίνουν εύκολα κάποιο "σημείο" ακροτάτου δε σημαίνει ότι δεν πρέπει να αναφερθεί. Και ναι, θα πρέπει να έχει κάποια μείωση στη βαθμολογία. Θα μπορούσε για παράδειγμα να είχαμε σχέση της μορφής . Το γεγονός ότι το μπορεί να πάρει την τιμή μηδέν ως ελάχιστη, δε σημαίνει ότι υπάρχουν και τα κατάλληλα για αυτό. Σε άλλα προβλήματα το παράδειγμα μεγίστου, ελαχίστου σημείου μπορεί να είναι η κύρια δυσκολία. Το λογικό βήμα όμως πρέπει να το γνωρίζει ο μαθητής και να το εφαρμόζει.
Συμφωνούμε ότι εδώ έχουμε γραμμική συνάρτηση: , (δηλαδή ισότητα κι όχι ανισότητα) και για το ισχύει .
Άρα δεν χρειάζεται έλεγχος για το αν το μπορεί να πάρει τις ακραίες τιμές, αφού το ορίζεται σε κλειστό διάστημα.
Τότε, το ερώτημα είναι αν υπάρχουν θετικά που να επαληθεύουν το σύστημα (1), (2), (3) για τις τιμές .
Θα συμφωνήσω ότι θα έπρεπε να ελεγχθούν, αν και εδώ είναι μάλλον προφανές.
Τότε, όμως στο ερώτημα (β) δεν θα έπρεπε να ελεγχθεί αν υπάρχουν θετικά ώστε . Στις επίσημες λύσεις δεν υπάρχει τέτοια διερεύνηση. Δεν είναι αντιφατικό;
Ο αριθμός των σελίδων είναι συναρτήσει των δεδομένων της εκφώνησης, δηλαδή των αριθμών και . Το να υποθέσουμε, ότι δεν υπάρχουν τέτοια , , , σημαίνει δεν θα είχε νόημα η εκφώνηση. Αρχικό βήμα στο συλλογισμό μας είναι ότι αυτές οι προτάσεις είναι αληθείς. Ο μέσος όρος των τάδε ημερών είναι ο τάδε κτλ.
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
ΘΕΜΑ 4 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
Έστω ο περιγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου , κέντρου .
Η είναι επίκεντρη γωνία που βαίνει στο τόξο του . Από το ισοσκελές τρίγωνο και τη σχέση επίκεντρης και εγγεγραμμένης γωνίας στο ίδιο τόξο κύκλου, έχουμε
οπότε τα σημεία ανήκουν σε κύκλο, έστω κέντρου .
Θέλουμε να δείξουμε ότι ο εφάπτεται στον . Αρκεί να δείξουμε ότι η είναι κάθετη στην και την στο .
Πράγματι, από τα ισοσκελή τρίγωνα και έχουμε
.
Έτσι, η είναι η εφαπτομένη στον στο άκρο της χορδής του . Συνεπώς, (1).
Από το ισοσκελές τρίγωνο , το εγγεγραμμένο τετράπλευρο στον , και τη σχέση της επίκεντρης γωνίας με την εγγεγραμμένη που βαίνουν στο τόξο στον κύκλο , έχουμε
Έτσι, η είναι η εφαπτομένη στον στο άκρο της χορδής του . Συνεπώς, (2).
To συμπέρασμα έπεται από τις (1) και (2), όπως παρατηρήσαμε παραπάνω.
Έστω ο περιγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου , κέντρου .
Η είναι επίκεντρη γωνία που βαίνει στο τόξο του . Από το ισοσκελές τρίγωνο και τη σχέση επίκεντρης και εγγεγραμμένης γωνίας στο ίδιο τόξο κύκλου, έχουμε
οπότε τα σημεία ανήκουν σε κύκλο, έστω κέντρου .
Θέλουμε να δείξουμε ότι ο εφάπτεται στον . Αρκεί να δείξουμε ότι η είναι κάθετη στην και την στο .
Πράγματι, από τα ισοσκελή τρίγωνα και έχουμε
.
Έτσι, η είναι η εφαπτομένη στον στο άκρο της χορδής του . Συνεπώς, (1).
Από το ισοσκελές τρίγωνο , το εγγεγραμμένο τετράπλευρο στον , και τη σχέση της επίκεντρης γωνίας με την εγγεγραμμένη που βαίνουν στο τόξο στον κύκλο , έχουμε
Έτσι, η είναι η εφαπτομένη στον στο άκρο της χορδής του . Συνεπώς, (2).
To συμπέρασμα έπεται από τις (1) και (2), όπως παρατηρήσαμε παραπάνω.
- Συνημμένα
-
- sxima_G_euclid_2020.png (84.62 KiB) Προβλήθηκε 1677 φορές
- ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Αν και κάπως αργοπορημένα, εύχομαι καλά αποτελέσματα σε όλους όσους έδωσαν!
Η λύση μου (κάπως πιο βελτιωμένη βέβαια) στο 4o προόβλημα της Β Λυκείου.
Έστω το αντιδιαμμετρικό του στον . Αρκεί να δείξω ότι , δηλαδή ότι . Στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο είναι
και το ζητούμενο δείχθηκε.
Για την παραλληλία, το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, άρα .
Η λύση μου (κάπως πιο βελτιωμένη βέβαια) στο 4o προόβλημα της Β Λυκείου.
Έστω το αντιδιαμμετρικό του στον . Αρκεί να δείξω ότι , δηλαδή ότι . Στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο είναι
και το ζητούμενο δείχθηκε.
Για την παραλληλία, το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, άρα .
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
ΘΕΜΑ 3 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
Όπως και στην επίσημη λύση, το πρόβλημα ανάγεται στην επίλυση της (1) όπου .
Αν το είναι σταθερό, τότε τελειώσαμε: ή .
Εάν , όπου ( και ),
τότε η σχέση (1) γράφεται
. (2)
Παρατηρούμε, δηλ, ότι δεν υπάρχουν όροι της μορφής με περιττό αριθμό στο δεξί μέλος.
Βήμα 1
Εάν ξεκινήσουμε να κάνουμε το ανάπτυγμα τετραγώνου στα αριστερά εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα
και εξισώσουμε τους συντελεστές του και του , παίρνουμε και . Αφού παίρνουμε και .
Βήμα 2
Πριν συνεχίσουμε, αντικαθιστούμε τις τιμές αυτές στην (2) και παίρνουμε
. (3)
Ξεκινώντας το ανάπτυγμα στα αριστερά και εξισώνοντας τους συντελεστές του παίρνουμε , δηλ. .
Βήμα 3
Έτσι, αντικαθιστούμε την τιμή αυτή του στην (3) και παιρνουμε
. (4)
Εξισώνοντας τους συντελεστές του παίρνουμε , δηλ. .
Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο, σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων, συγκρίνοντας τους συντελεστές του στο -οστό βήμα παίρνουμε . Έτσι, .
Συνεπώς, .
Συμπέρασματικά, ή ή .
Σχόλιο: Την παραπάνω λύση την εμπνεύστηκα από ένα πρόβλημα του "Topics in Algebra and Analysis", των R.B.Manfrino, J.A.G.Ortega, R.V.Delgado, et.al.
Μόλις βρήκα και την εξής παραπομπή: "Equations and Inequalities", των J.Herman, R.Kucera, J.Simsa, σελ. 27.
Επεξεργασία: προσθήκη σχολίου.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Όπως και στην επίσημη λύση, το πρόβλημα ανάγεται στην επίλυση της (1) όπου .
Αν το είναι σταθερό, τότε τελειώσαμε: ή .
Εάν , όπου ( και ),
τότε η σχέση (1) γράφεται
. (2)
Παρατηρούμε, δηλ, ότι δεν υπάρχουν όροι της μορφής με περιττό αριθμό στο δεξί μέλος.
Βήμα 1
Εάν ξεκινήσουμε να κάνουμε το ανάπτυγμα τετραγώνου στα αριστερά εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα
και εξισώσουμε τους συντελεστές του και του , παίρνουμε και . Αφού παίρνουμε και .
Βήμα 2
Πριν συνεχίσουμε, αντικαθιστούμε τις τιμές αυτές στην (2) και παίρνουμε
. (3)
Ξεκινώντας το ανάπτυγμα στα αριστερά και εξισώνοντας τους συντελεστές του παίρνουμε , δηλ. .
Βήμα 3
Έτσι, αντικαθιστούμε την τιμή αυτή του στην (3) και παιρνουμε
. (4)
Εξισώνοντας τους συντελεστές του παίρνουμε , δηλ. .
Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο, σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων, συγκρίνοντας τους συντελεστές του στο -οστό βήμα παίρνουμε . Έτσι, .
Συνεπώς, .
Συμπέρασματικά, ή ή .
Σχόλιο: Την παραπάνω λύση την εμπνεύστηκα από ένα πρόβλημα του "Topics in Algebra and Analysis", των R.B.Manfrino, J.A.G.Ortega, R.V.Delgado, et.al.
Μόλις βρήκα και την εξής παραπομπή: "Equations and Inequalities", των J.Herman, R.Kucera, J.Simsa, σελ. 27.
Επεξεργασία: προσθήκη σχολίου.
Φιλικά,
Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Τρί Ιαν 21, 2020 10:30 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 12 επισκέπτες