Συνευθειακά για μέγιστο

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1258
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Συνευθειακά για μέγιστο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Ιαν 02, 2020 1:13 am

Χαιρετώ. Αφετηρία για το παρόν είναι το θέμα τούτο
Συνευθειακά για μέγιστο.PNG
Συνευθειακά για μέγιστο.PNG (7.88 KiB) Προβλήθηκε 292 φορές
Δίνεται τρίγωνο ABC και οι διάμεσοί του BE,CZ που τέμνονται στο G. Το σημείο R διατρέχει την πλευρά BC.

Φέρουμε τις RI \parallel BE και RH \parallel CZ με I \in AC ...H \in AB.

Να εξεταστεί αν το \left ( HRI \right ) γίνεται μέγιστο όταν το R βρεθεί στην ίδια ευθεία με τα A,G.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Συνευθειακά για μέγιστο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Ιαν 02, 2020 1:10 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Πέμ Ιαν 02, 2020 1:13 am
Χαιρετώ. Αφετηρία για το παρόν είναι το θέμα τούτοΣυνευθειακά για μέγιστο.PNG
Δίνεται τρίγωνο ABC και οι διάμεσοί του BE,CZ που τέμνονται στο G. Το σημείο R διατρέχει την πλευρά BC.

Φέρουμε τις RI \parallel BE και RH \parallel CZ με I \in AC ...H \in AB.

Να εξεταστεί αν το \left ( HRI \right ) γίνεται μέγιστο όταν το R βρεθεί στην ίδια ευθεία με τα A,G.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Καλημέρα!
Έστω BX=x,CZ=m_c,BE=m_b
Είναι \dfrac{HR}{m_c}=\dfrac{BX}{BC}\Leftrightarrow HR=\dfrac{xm_c}{a} όμοια RI=\dfrac{\left ( a-x \right )m_b}{a}
\left ( IRH \right )=\dfrac{1}{2}\sin \angle IRH\cdot IR\cdot HR=\dfrac{1}{2}\sin \angle EGZ\cdot m_b\cdot m_c\dfrac{x\left ( a-x\right )}{a^2}
Επειδή όμως \frac{\dfrac{1}{2}\sin \angle EGZ\cdot m_b\cdot m_c}{a^2} σταθερό το (IRH) μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιείται το x(a-x) δηλαδή όταν x=\dfrac{-a}{2\left ( -1 \right )}=\dfrac{a}{2}(το οποίο συμβαίνει όταν A,G,R συνευθειακά)


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7201
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Συνευθειακά για μέγιστο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιαν 02, 2020 2:41 pm

Το {R_0} \equiv M όπου M το σταθερό μέσο του BC. (Το αφήνω M για ευκολία πληκτρολόγησης )

Οι παράλληλες από το M προς τις διαμέσους CZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BE τέμνουν τις AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC στα K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L.

Έστω ότι το R διατρέχει το BM( αν διατρέχει το CM θα εργαστώ ομοίως)

Θέτω : BR = d \leqslant \dfrac{a}{2} \Leftrightarrow a - 2d \geqslant 0\,\,\,(1) προφανές ότι : \widehat {KMK} = \widehat {IRH}
Συνευθειακά και μέγιστο.png
Συνευθειακά και μέγιστο.png (28.34 KiB) Προβλήθηκε 224 φορές
Επειδή: \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{HR}}{{KM}} = \frac{{BR}}{{BM}} = \frac{{2d}}{a} \hfill \\ 
  \frac{{IR}}{{LM}} = \frac{{CR}}{{CM}} = \frac{{2\left( {a - d} \right)}}{a} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \dfrac{{HR \cdot IR}}{{KM \cdot LM}} = \dfrac{{4d\left( {a - d} \right)}}{{{a^2}}} , θα είναι :


\dfrac{{\left( {HIR} \right)}}{{\left( {KLM} \right)}} = \dfrac{{4ad - 4{d^2}}}{{{a^2}}}\,\,\,(2) .

Αλλά \dfrac{{4ad - 4{d^2}}}{{{a^2}}} \leqslant 1 \Leftrightarrow {a^2} - 4ad + 4{d^2} \geqslant 0 \Leftrightarrow {\left( {a - 2d} \right)^2} \geqslant 0 (αληθές)

Δηλαδή : \left( {HIR} \right) \leqslant \left( {KLM} \right) με το ίσον να ισχύει όταν R \equiv M\left( { \equiv {R_0}} \right).


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1258
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Συνευθειακά για μέγιστο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Ιαν 03, 2020 6:24 pm

Καλησπέρα. Ευχαριστώ τον Πρόδρομο και τον Νίκο για την κάλυψη του θέματος!
Μία ακόμη προσέγγιση με χρήση του σχήματος
Συνευθειακά και  μέγιστο PNG.PNG
Συνευθειακά και μέγιστο PNG.PNG (8.01 KiB) Προβλήθηκε 167 φορές
Θέτω BR=x\cdot BC=x a..CZ=m_{c}..BE=m_{b}. Τότε HR=xm_{c} και RC=\left ( 1-x \right )a\Rightarrow IC=\dfrac{\left ( 1-x \right )b}{2}.

Φέρω HTD \perp HR . Τότε ID=3IT...IT=IC\cdot \eta \mu \omega . Έχουμε \left ( HRI \right )=\dfrac{HR\cdot ID}{2}.

Με αντικατάσταση παίρνουμε \left ( HRI \right )=\dfrac{3b\cdot m_{c}\cdot \eta \mu \omega }{4}\left ( x-x^{2} \right ) δηλ παραβολή

που , ως γνωστόν , παρουσιάζει μέγιστο για x=\dfrac{1}{2} .Τότε η AR είναι διάμεσος και τα A,G,R συνευθειακά.

Ίσως βρείτε ενδιαφέρον ένα ακόμη ζητούμενο.
Σταθερό εμβαδόν.PNG
Σταθερό εμβαδόν.PNG (7.83 KiB) Προβλήθηκε 167 φορές
Έστω O η τομή των GR, HI. Τότε:

Να δειχθεί ότι το (BOC) είναι ανεξάρτητο από τη θέση του δρομέα R πάνω στην BC. Ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Συνευθειακά για μέγιστο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Ιαν 03, 2020 8:56 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Ιαν 03, 2020 6:24 pm

Σταθερό εμβαδόν.PNG
Έστω O η τομή των GR, HI. Τότε:

Να δειχθεί ότι το (BOC) είναι ανεξάρτητο από τη θέση του δρομέα R πάνω στην BC. Ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.

Καλησπέρα !

Αρκεί το O να κινήται επί σταθερής ευθείας παράλληλης στην BC(τότε το τρίγωνο θα έχει πάντοτε το ίδιο ύψος και ίδια βάση ,την BC).
Για να ισχύει αυτό ,αν T η τομή HI με την CG αρκεί ο λόγος \dfrac{OR}{OG}=\dfrac{OH}{IT} να είναι σταθερός.
Έστω BR=x ,τότε θα είναι \dfrac{BH}{\dfrac{c}{2}}=\dfrac{x}{a}\Leftrightarrow BH=\dfrac{xc}{2a},\dfrac{HZ}{HA}=\dfrac{\dfrac{c}{2}-\dfrac{xc}{2a}}{c-\dfrac{xc}{2a}}=\dfrac{a-x}{2a-x}
και \dfrac{IC}{\dfrac{b}{2}}=\dfrac{a-x}{a}\Leftrightarrow IC=\dfrac{b\left ( a-x \right )}{2a} και \dfrac{IA}{IC}=\dfrac{b-IC}{IC}=..=\dfrac{a+x}{a-x}

Από το θεώρημα Μενελάου στο ZAC διατέμνουσας \overline{ITH} είναι \dfrac{TC}{TZ}\cdot \dfrac{HZ}{HA}\cdot \dfrac{IA}{IC}=1\Leftrightarrow \dfrac{TC}{m_c-TC}\cdot \dfrac{a-x}{2a-x}\cdot \dfrac{a+x}{a-x}\Leftrightarrow TC=\dfrac{m_c\left ( 2a-x \right )}{3a}
Επίσης \dfrac{HR}{m_c}=\dfrac{x}{a}\Leftrightarrow HR=\dfrac{m_cx}{a}
Έτσι προκύπτει \dfrac{HR}{GT}=\dfrac{\dfrac{xm_c}{a}}{\dfrac{2}{3}m_c-\dfrac{m_c\left ( 2a-x \right )}{3a}}=3
και η απόδειξη ολοκληρώθηκε :)


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1258
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Συνευθειακά για μέγιστο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Ιαν 10, 2020 1:51 am

Καλημέρα! Σ' ευχαριστώ Πρόδρομε για την ωραία αντιμετώπιση. Ας δούμε και την ακόλουθη
Ανεξάρτητο εμβαδόν.PNG
Ανεξάρτητο εμβαδόν.PNG (11.45 KiB) Προβλήθηκε 95 φορές
Η RG τέμνει την ZE στο Q. Το G είναι βαρύκεντρο οπότε παίρνουμε RC=2ZQ...BR=2QE (από τα όμοια τρίγωνα).

Με διαίρεση έχουμε \dfrac{RC}{BR}=\dfrac{ZQ}{QE}. Έτσι \dfrac{ZH}{HB}=\dfrac{RC}{BR}=\dfrac{ZQ}{QE}\Rightarrow HQ\parallel BE\parallel RI

και \dfrac{IC}{IE}=\dfrac{RC}{BR}=\dfrac{ZQ}{QE}\Rightarrow IQ\parallel CZ\parallel RH

δηλ το RHQI είναι παραλληλόγραμμο με το O κέντρο του άρα OR=OQ

συνεπώς το O κινείται στην μεσοπαράλληλη των ZE,BC και είναι (BOC)=(BAC)/4 ανεξάρτητο της θέσης του R.
Φιλικά, Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης