Παραλληλία και τριχοτόμηση

KARKAR · #1

: Παραλληλία και τριχοτόμηση.png (11.35 KiB) Προβλήθηκε 359 φορές

Στην προέκταση της διαμέτρου

, κύκλου

, κινείται σημείο

, από το οποίο

φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα SP,ST

και ονομάζουμε

το μέσο του

.

Για ποια θέση του

, προκύπτει : $PM \parallel AT$ ; Αν η

τέμνει τον κύκλο

στο σημείο

, δείξτε ότι : $PQ=\dfrac{1}{3}PM$ .

#2

Επειδή $BT \bot TA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PM//TA$ θα είναι και $TB \bot MP$ . Έστω

το σημείο τομής των $TB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PM$ . Αφού η

είναι διχοτόμος της $\widehat {STP}$ θα έχω:

$\boxed{TM = TP = \dfrac{1}{2}SP = \dfrac{1}{2}ST}$ . Άρα $\cos 2\theta = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \dfrac{{1 - {{\tan }^2}\theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \boxed{{{\tan }^2}\theta = \dfrac{3}{5}}$ .

Δηλαδή $\dfrac{{T{B^2}}}{{T{A^2}}} = \dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \dfrac{3}{8}2R = \dfrac{3}{4}R \hfill \\ y = \dfrac{5}{4}R \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

: Παραλληλία και τριχοτόμηση.png (20.69 KiB) Προβλήθηκε 336 φορές

Δηλαδή προσδιορίζω, με βάσει τα πιο πάνω, το σημείο τομής

των $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PT$

και μετά φέρνω κάθετη σ αυτό στην

και προσδιορίζω τα $P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,T$ άρα και το

.

Επειδή $k = 2EM = 2u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PE = AT = k \Rightarrow u + QE = 2u \Rightarrow QE = u$ . Άρα $\boxed{\dfrac{{PQ}}{{PM}} = \dfrac{u}{{3u}} = \dfrac{1}{3}}$

Παρατήρηση : Το επί της ουσίας είναι το αρμονικό συζυγές του ως προς τα και το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 03, 2020 9:59 am
Παραλληλία και τριχοτόμηση.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου , κύκλου , κινείται σημείο , από το οποίο

φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα και ονομάζουμε το μέσο του .

Για ποια θέση του , προκύπτει : $PM \parallel AT$ ; Αν η τέμνει τον κύκλο

στο σημείο , δείξτε ότι : $PQ=\dfrac{1}{3}PM$ .

Έστω

και

το σημείο τομής των AS, PM.

Λόγω της παραλληλίας,

είναι το μέσο του

και

Επειδή

το

είναι ρόμβος.

: Παραλληλία και τριχοτόμηση.Κ.png (28.34 KiB) Προβλήθηκε 334 φορές

Άρα $\displaystyle \frac{{PN}}{{NM}} = \frac{2}{1},$ δηλαδή το

είναι βαρύκεντρο του τριγώνου PTS

και $NS=\dfrac{2SK}{3}.$

$\displaystyle S{P^2} = SK \cdot SO \Leftrightarrow x(x + 2R) = SK(x + R) \Leftrightarrow SK = \frac{{x(x + 2R)}}{{x + R}}$

$\displaystyle SN = \frac{{2SK}}{3} \Leftrightarrow \frac{x}{2} + R = \frac{2}{3}\left( {\frac{{{x^2} + 2Rx}}{{x + R}}} \right) \Leftrightarrow {x^2} - Rx - 6{R^2}\mathop = \limits^{x > 0} 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=3R}$

Τα τρίγωνα APQ,TNM

είναι ίσα γιατί $\displaystyle AP = TN,P\widehat AQ = N\widehat PS = N\widehat TM$ και

$\displaystyle A\widehat PN = A\widehat TN = T\widehat NM,$ άρα $\boxed{PQ = MN = \frac{1}{3}PM}$

KARKAR · #4

Κάπως αλλιώς τα λέγατε(με) εδώ

.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 03, 2020 1:11 pm
Κάπως αλλιώς τα λέγατε(με) εδώ .

Πλουραλισμός

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 03, 2020 9:59 am
Παραλληλία και τριχοτόμηση.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου , κύκλου , κινείται σημείο , από το οποίο

φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα και ονομάζουμε το μέσο του .

Για ποια θέση του , προκύπτει : $PM \parallel AT$ ; Αν η τέμνει τον κύκλο

στο σημείο , δείξτε ότι : $PQ=\dfrac{1}{3}PM$ .

Επειδή $PI//AT \Rightarrow PQTA$ ισοσκελές τραπέζιο $\Rightarrow PA=QT.$

Επιπλέον, $AE=EI \Rightarrow PITA$ ρόμβος και

μέσον της

.Άρα

Είναι προφανής η ισότητα των μπλε γωνιών κι επειδή $NT \bot AT \Rightarrow TN \bot PM \Rightarrow PM$ διχοτόμος της $\angle QTI$ άρα και της $\angle PTM$

Ετσι, QN=NI

και $PN=NM \Rightarrow PQ=IM= \dfrac{1}{3} PM \Rightarrow QI=\dfrac{1}{3} PM$

Έστω τώρα OE=x

.Είναι, $AS=4AE=4(R+x) \Rightarrow ES=3(R+x)$ $\Rightarrow OS=3R+4x$

Ισχύει, $R^2=x(3R+4x) \Rightarrow x= \frac{R}{4} \Rightarrow AS=5R$

: Παραλληλία και τριχοτόμηση.png (30.55 KiB) Προβλήθηκε 266 φορές

Παραλληλία και τριχοτόμηση

Παραλληλία και τριχοτόμηση

Re: Παραλληλία και τριχοτόμηση

Re: Παραλληλία και τριχοτόμηση

Re: Παραλληλία και τριχοτόμηση

Re: Παραλληλία και τριχοτόμηση

Re: Παραλληλία και τριχοτόμηση

Μέλη σε σύνδεση