Νιοστή παράγωγος

KARKAR · #1

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{e^x-1}{x} , x\neq 0$ . Υπολογίστε την : $f^{(n)}(x)$ ,

θετικός ακέραιος .

Είναι άραγε η $f^{(n)}(x)$ , παραγωγίσιμη στο $x_{0}=0$ , αν δώσουμε κατάλληλη τιμή στο $f^{(n-1)}(0)$ ;

Λάμπρος Κατσάπας · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 23, 2019 9:26 am
Δίνεται η συνάρτηση : $h(x)=\dfrac{e^x-1}{x} , x\neq 0$ . Υπολογίστε την : $h^{(n)}(x)$ , θετικός ακέραιος .

Είναι άραγε η $h^{(n)}(x)$ , παραγωγίσιμη στο $x_{0}=0$ , αν δώσουμε κατάλληλη τιμή στο $h^{(n-1)}(0)$ ;

Άλλαξα το γράμμα από f σε h γιατί το f το χρησιμοποιώ για άλλη συνάρτηση παρακάτω.

Έτσι όπως είναι διαμορφωμένη η σχολική ύλη νομίζω δεν κάνει γι'αυτό τον φάκελο.

Χρειάζεται κάποιος να εξετάσει τις περιπτώσεις n=2,3,4,..

και έπειτα να γενικεύσει.

Η απόδειξη θα ολοκληρωθεί με επαγωγή (εκτός ύλης).

Βάζω μια λύση εκτός ύλης.

Από τον τύπο του Leibniz: $\displaystyle\left ( fg \right )^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)$

και για $x\neq 0$ , αν πάρουμε $f(x)=\dfrac{1}{x}$ και g(x)=e^x-1

έχουμε

$\displaystyle \left ( fg \right )^{(n)}(x)= f^{(n)}(x)g^{(0)}(x)+\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)=$

$\displaystyle(-1)^n\dfrac{n!}{x^{n+1}}(e^x-1)+ e^x\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}(-1)^k\dfrac{k!}{x^{k+1}}=$

$\displaystyle(-1)^{n+1}\dfrac{n!}{x^{n+1}}+ e^x\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k\dfrac{k!}{x^{k+1}}=$

$\displaystyle(-1)^{n+1}\dfrac{n!}{x^{n+1}}+ \frac{e^x}{x^{n+1}}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^kk!x^{n-k}.$

Για τη ζητούμενη παραγωγισιμότητα της

οστής παραγώγου στο

το μόνο

που χρειάζεται να ορίσουμε είναι (fg)(0)=1

και επαγωγικά $(fg)^{(n)}(0)=\dfrac{1}{n+1}$ .

Τότε $(fg)^{(n)}$ συνεχής στο

Προχωραμε με επαγωγή.

Για n=0

εξ'ορισμού ισχύει (γνωστό όριο).

Για το επαγωγικό βήμα

$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(fg)^{(n)}(x)-(fg)^{(n)}(0)}{x}= \lim_{x\rightarrow 0}(fg)^{(n+1)}(x)=$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(-1)^{n+2}(n+1)!+e^x\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}(-1)^kk!x^{n+1-k}}{x^{n+2}}=$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^xx^{n+1}}{(n+2)x^{n+1}}= \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^x}{n+2}=\dfrac{1}{n+2}.$

Στην τρίτη ισότητα από το τέλος χρησιμοποίησα το γεγονός (εύκολα μπορεί να ελεγχθεί μετά από πράξεις) ότι

$\displaystyle{\left (e^x\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}(-1)^kk!x^{n+1-k} \right )}'=e^xx^{n+1}.$

(το $\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}(-1)^kk!x^{n+1-k}$ είναι πολυώνυμο βαθμού n+1

).

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 23, 2019 9:26 am
Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{e^x-1}{x} , x\neq 0$ . Υπολογίστε την : $f^{(n)}(x)$ , θετικός ακέραιος .

Είναι άραγε η $f^{(n)}(x)$ , παραγωγίσιμη στο $x_{0}=0$ , αν δώσουμε κατάλληλη τιμή στο $f^{(n-1)}(0)$ ;

Αν πολύ σωστά επιτραπεί η εκτός Σχολικής ύλης αντιμετώπιση, μπορούμε και αλλιώς:

Από το ανάπτυγμα της e^x

είναι $\displaystyle{f(x)=\dfrac{e^x-1}{x} = \sum _{k=1}^{\infty} \dfrac {x^{k-1}}{k!}}$ . Παραγωγίζοντας

φορές μέσα από το ολοκλήρωμα, που επιτρέπεται λόγω ομοιόμορφης σύγκλισης, έχουμε

$\displaystyle{ f^{(n)}(x) = \sum _{k=n+1}^{\infty} \dfrac {(k-1)(k-2)...(k-n)x^{k-1-n}}{k!}}$ (οι όροι μέχρι και τον $x^{n-1}$ μηδενίστηκαν).

Από συνέχεια διαβάζουμε και την $\displaystyle{ f^{(n)}(0)}$ , που είναι ο σταθερός όρος της δυναμοσειράς, εδώ $\displaystyle{ \dfrac{1}{n+1}}$

#4

ακόμη ένας τρόπος για τον υπολογισμό της νιοστής παραγώγου

$\displaystyle{xf(x)=e^x-1}$
εύκολα επαγωγικά $\displaystyle{(xf(x))^{(n)}=n(f(x))}^{(n-1)}+(f(x))^{(n)}x=e^x,n=1,2.3,...}$
Θετουμε
$\displaystyle{a_n=(f(x))^{(n)}}$
Tότε αν
$\displaystyle{ x^na_n(-1)^n/n!=b_n }$ θα έχουμε $\displaystyle{b_n-b_{n-1}=e^xx^{n-1}(-1)^n/n!$ $
δίνουμε τιμές και προσθέτουμε κατά μέλη
...

#5

R BORIS έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 24, 2019 8:27 am
ακόμη ένας τρόπος για τον υπολογισμό της νιοστής παραγώγου

$\displaystyle{xf(x)=e^x-1}$
εύκολα επαγωγικά $\displaystyle{(xf(x))^{(n)}=n(f(x))}^{(n-1)}+(f(x))^{(n)}x=e^x,n=1,2.3,...}$

Ροδόλφε, την θερμή μου Καλημέρα.

Είναι λίγο ευκολότερο επαγωγικά να πούμε $\displaystyle{xf^{(n)}(x)+nf^{(n-1)}(x)=e^x,\, n=1,2.3,...}$ , και λοιπά.

Νιοστή παράγωγος

Νιοστή παράγωγος

Re: Νιοστή παράγωγος

Re: Νιοστή παράγωγος

Re: Νιοστή παράγωγος

Re: Νιοστή παράγωγος

Μέλη σε σύνδεση