Νιοστή παράγωγος
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
Νιοστή παράγωγος
Δίνεται η συνάρτηση : . Υπολογίστε την : , θετικός ακέραιος .
Είναι άραγε η , παραγωγίσιμη στο , αν δώσουμε κατάλληλη τιμή στο ;
Είναι άραγε η , παραγωγίσιμη στο , αν δώσουμε κατάλληλη τιμή στο ;
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Νιοστή παράγωγος
Άλλαξα το γράμμα από f σε h γιατί το f το χρησιμοποιώ για άλλη συνάρτηση παρακάτω.
Έτσι όπως είναι διαμορφωμένη η σχολική ύλη νομίζω δεν κάνει γι'αυτό τον φάκελο.
Χρειάζεται κάποιος να εξετάσει τις περιπτώσεις και έπειτα να γενικεύσει.
Η απόδειξη θα ολοκληρωθεί με επαγωγή (εκτός ύλης).
Βάζω μια λύση εκτός ύλης.
Από τον τύπο του Leibniz:
και για , αν πάρουμε και έχουμε
Για τη ζητούμενη παραγωγισιμότητα της οστής παραγώγου στο το μόνο
που χρειάζεται να ορίσουμε είναι και επαγωγικά .
Τότε συνεχής στο Προχωραμε με επαγωγή.
Για εξ'ορισμού ισχύει (γνωστό όριο).
Για το επαγωγικό βήμα
Στην τρίτη ισότητα από το τέλος χρησιμοποίησα το γεγονός (εύκολα μπορεί να ελεγχθεί μετά από πράξεις) ότι
(το είναι πολυώνυμο βαθμού ).
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Νιοστή παράγωγος
Αν πολύ σωστά επιτραπεί η εκτός Σχολικής ύλης αντιμετώπιση, μπορούμε και αλλιώς:
Από το ανάπτυγμα της είναι . Παραγωγίζοντας φορές μέσα από το ολοκλήρωμα, που επιτρέπεται λόγω ομοιόμορφης σύγκλισης, έχουμε
(οι όροι μέχρι και τον μηδενίστηκαν).
Από συνέχεια διαβάζουμε και την , που είναι ο σταθερός όρος της δυναμοσειράς, εδώ
Re: Νιοστή παράγωγος
ακόμη ένας τρόπος για τον υπολογισμό της νιοστής παραγώγου
εύκολα επαγωγικά
Θετουμε
Tότε αν
θα έχουμε $
δίνουμε τιμές και προσθέτουμε κατά μέλη
...
εύκολα επαγωγικά
Θετουμε
Tότε αν
θα έχουμε $
δίνουμε τιμές και προσθέτουμε κατά μέλη
...
τελευταία επεξεργασία από R BORIS σε Τρί Δεκ 24, 2019 1:31 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Νιοστή παράγωγος
Ροδόλφε, την θερμή μου Καλημέρα.
Είναι λίγο ευκολότερο επαγωγικά να πούμε , και λοιπά.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες