Για ποιούς φυσικούς ισχύει η ανίσωση;

#1

Για ποιους φυσικούς αριθμούς

ισχύει ότι:
$\frac{1}{3}>sin\left ( \frac{\pi}{n} \right )>\frac{1}{4}$ ;

abgd · #2

chris_gatos έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 12, 2019 12:33 am
Για ποιους φυσικούς αριθμούς ισχύει ότι:
$\frac{1}{3}>sin\left ( \frac{\pi}{n} \right )>\frac{1}{4}$ ;

Μια, μάλλον δύσκολη λύση...

Χρησιμοποιούμε την ανισότητα $sinx<x, \ \ x \in \left(0,\frac{\pi}{2} \right)$ ,

τις ταυτότητες $cos2x=1-2sin^2x, \ \ \ sin3x=3sinx-4sin^3x$

και τη μονοτονία του sinx

.

Επαληθεύουμε εύκολα ότι $\frac{1}{3}>sin\left ( \frac{\pi}{12} \right )>\frac{1}{4}$

ενώ $sin\left ( \frac{\pi}{13} \right )<\frac{\pi}{13}<\frac{1}{4}$

Ακόμη $sin\left ( \frac{\pi}{10} \right )<\frac{\pi}{10}<\frac{1}{3}$

και το $sin\left ( \frac{\pi}{9} \right )$ είναι η ρίζα της συνάρτησης $f(x)=4x^3-3x+\frac{\sqrt{3}}{2}$ , η οποία βρίσκεται στο $\left(0,\frac{1}{2}\right)$ ,

όπου η

είναι γνησίως φθίνουσα με $f\left(\frac{1}{3}\rght) > 0 = f \left(sin\left ( \frac{\pi}{9} \right )\right)$ και έτσι

$sin\left ( \frac{\pi}{9}\right )>\frac{1}{3}$

Τελικά έχουμε $sin\left ( \frac{\pi}{13} \right )<\frac{1}{4}<sin\left ( \frac{\pi}{12} \right )<sin\left ( \frac{\pi}{11} \right )<sin\left ( \frac{\pi}{10} \right )<\frac{1}{3}<sin\left ( \frac{\pi}{9} \right )$ το οποίο δίνει τις ζητούμενες τιμές

του ακεραίου

.

#3

Μια ακόμα αντιμετώπιση:

Από την ανισότητα Jordan γνωρίζουμε ότι

$\displaystyle{\frac{2x}{\pi}<\sin x<x}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)}$ .

Επομένως ισχύει

$\displaystyle{\frac{2}{n}<\sin \frac{\pi}{n}<\frac{\pi}{n}.}$

Λόγω των συνθηκών, λαμβάνουμε $\displaystyle{\frac{2}{n}<\frac{1}{3}\wedge \frac{\pi}{n}>\frac{1}{4},}$

δηλαδή $\displaystyle{6<n<4\pi.}$ Επομένως είναι $\displaystyle{n=7,8,9,10,11,12.}$

Λόγω της μονοτονίας του ημιτόνου είναι

$\displaystyle{\sin \frac{\pi}{7}>\sin \frac{\pi}{8}>\sin \frac{\pi}{9}>\sin \frac{\pi}{10}>\sin \frac{\pi}{11}>\sin \frac{\pi}{12}}$ .

Η απόδειξη θα ολοκληρωθεί με το να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{\sin \frac{\pi}{12}>\frac{1}{4}}$ ( $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ )

$\displaystyle{\sin \frac{\pi}{10}<\frac{1}{3}}$ ( $\displaystyle{\color{red}\bigstar \bigstar}$ )

$\displaystyle{\sin \frac{\pi}{9}>\frac{1}{3}}$ ( $\displaystyle{\color{red}\bigstar \bigstar \bigstar}$ )

και ως εκ τούτου οι ζητούμενες τιμές του $\displaystyle{n}$ θα είναι οι $\displaystyle{\boxed{10,11,12}}$

Οι ( $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ ), ( $\displaystyle{\color{red}\bigstar \bigstar}$ ) αποδεικνύονται εύκολα μέσω των γνωστών σχέσεων

$\displaystyle{\sin \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}}$ και $\displaystyle{\sin \frac{\pi}{10}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}}$ .

Το ενδιαφέρον είναι η απόδειξη της ( $\displaystyle{\color{red}\bigstar \bigstar \bigstar}$ ).

Μια απόδειξη με χρήση του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών έδωσε παραπάνω ο abgd.

Μια στοιχειώδης απόδειξη είναι η εξής:

Από τον τύπο του τριπλάσιου τόξου έχουμε

$\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi}{3}=3\sin \frac{\pi}{9}-4\sin ^3 \frac{\pi}{9} }$ .

Επομένως θέλουμε να αποδείξουμε ότι:

Αν $\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}=3x-4x^3, ~x>0}$ , τότε $\displaystyle{x>\frac{1}{3}.}$

Από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ είναι

$\displaystyle{3x=4x^3+\frac{\sqrt{3}}{2}=4x^3+5\cdot \frac{\sqrt{3}}{10}\geq 6\sqrt[6]{4x^3\cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{10}\right)^5}}$ ,

οπότε προκύπτει

$\displaystyle{x>\sqrt[3]{2\left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right)^5}}$ .

Τώρα είναι απλό να δούμε ότι

$\displaystyle{\sqrt[3]{2\left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right)^5}>\frac{1}{3}.}$

Για ποιούς φυσικούς ισχύει η ανίσωση;

Για ποιούς φυσικούς ισχύει η ανίσωση;

Re: Για ποιούς φυσικούς ισχύει η ανίσωση;

Re: Για ποιούς φυσικούς ισχύει η ανίσωση;

Μέλη σε σύνδεση