Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

KARKAR · #1

Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης .

Παρακάτω θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις f,g

, ορισμένες και δις παραγωγίσιμες στο $\mathbb{R}$ ,

με την

γνησίως αύξουσα και την

γνησίως φθίνουσα , δηλαδή

κυρτή και

κοίλη .

: ΣΧ.1.png (16.82 KiB) Προβλήθηκε 2520 φορές

Ερώτημα 1 : Για ποια τιμή του πραγματικού

, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

f(x)=x^2+x+3a

και :

, έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο ;

Απάντηση : Αρκεί η εξίσωση : f(x)=g(x)

να έχει μοναδική λύση , ισοδύναμα αρκεί η εξίσωση :

2x^2-4x+2a

, να έχει μηδενική διακρίνουσα , δηλαδή τελικά να είναι a=1

.

Πράγματι τότε : f(x)=x^2+x+3 , g(x)=-x^2+5x+1

και

.

Παρατηρώ ότι : f'(x)=2x+1

, δηλαδή : f'(1)=3

και

, δηλαδή : g'(1)=3

.

Τουτέστιν οι δύο συναρτήσεις έχουν την ίδια εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο .

: ΣΧ.2.png (10.31 KiB) Προβλήθηκε 2520 φορές

Ερώτημα 2 : Για ποια τιμή του θετικού

, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

$f(x)=\dfrac{x^4}{a}+1$ και : g(x)=-x^2+6x-6

, έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο ;

Συνεχίζεται ...

KARKAR · #2

Θέλουμε η εξίσωση : f(x)=g(x)

, ισοδύναμα η : x^4+ax^2-6ax+7a=0

, να έχει μοναδική λύση .

Αυτό μπορεί να συμβεί ή αν : x^4+ax^2-6ax+7a=(x-r)^4

, κάτι που βλέπουμε ότι δεν μπορεί να συμβεί

ή αν : x^4+ax^2-6ax+7a=(x-r)^2(x^2+kx+m)

- με το τριώνυμα να έχει αρνητική διακρίνουσα - δηλαδή :

x^4+ax^2-6ax+7a=x^4+(k-2r)x^3+(r^2-2rk+m)x^2-(2mr-kr^2)x+mr^2

.

Οδηγούμαστε λοιπόν στο σύστημα : k-2r=0 , r^2-2rk+m=a , 2mr-kr^2=6a , mr^2=7a

,

το οποίο με επίπονες πράξεις οδηγεί στην λύση : a=16 , r=2

και

.

Τελικά είναι : x^4+16x^2-96x+112=(x-2)^2(x^2+4x+48)

, συνεπώς η τετμημένη

του ζητούμενου σημείου είναι

, δηλαδή

. Πάλι παρατηρούμε ότι :

$f'(x)=\dfrac{x^3}{4}$ , δηλαδή : f'(2)=2

και :

, δηλαδή : g'(2)=2

Τουτέστιν οι δύο συναρτήσεις έχουν την ίδια εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο .

Αρχίζει να διαμορφώνεται η εικασία , μην τυχόν το μοναδικό κοινό σημείο κυρτής και κοίλης είναι και

σημείο επαφής . Το αντιπαράδειγμα των f(x)=e^x

και

καταρρίπτει την εικασία .

Μήπως λοιπόν μπορούμε να εντοπίσουμε εκείνη την ( μεγάλη ) κλάση συναρτήσεων , για τις οποίες

η εικασία ισχύει ;

Σημείωση : Αν η εικασία ισχύει για τις συναρτήσεις του ερωτήματος 2 , έχουμε να λύσουμε το πολύ

ευκολότερο σύστημα : x^4=-ax^2+6ax-7a , 4x^3=-2ax+6a

.

Λύστε αυτό το σύστημα , είναι όμορφο !

: ΣΧ.3.png (10.63 KiB) Προβλήθηκε 2427 φορές

Ερώτημα 3 : Για ποια τιμή του θετικού

, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

$f(x)=e^{x^2}$ και : g(x)=-a^2x^2+2(a^2+a)x-(a^2+a)

, έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο ;

Συνεχίζεται ... ( ο συντελεστής του x^2

είναι :

)

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 06, 2019 10:30 am

Αρχίζει να διαμορφώνεται η εικασία , μην τυχόν το μοναδικό κοινό σημείο κυρτής και κοίλης είναι και

σημείο επαφής . Το αντιπαράδειγμα των και καταρρίπτει την εικασία .

Μήπως λοιπόν μπορούμε να εντοπίσουμε εκείνη την ( μεγάλη ) κλάση συναρτήσεων , για τις οποίες

η εικασία ισχύει ;

Αρκεί η συνάρτηση-διαφορά h=f-g

της κυρτής

μείον την κοίλη

να μην έχει οριζόντιες ασύμπτωτες. Πράγματι, σ' αυτήν την περίπτωση έχουμε μία κυρτή συνάρτηση

με κλίσεις αυξανόμενες από κάποιον αρνητικό αριθμό (πιθανώς το $-\infty$ ) σε κάποιον θετικό αριθμό (πιθανώς το $+\infty$ ), άρα και μοναδικό σημείο x_0

μηδενικής κλίσης, h'(x_0)=0

. Αν

τότε έχουμε δύο σημεία μηδενισμού της

(εκατέρωθεν του x_0

), αν

τότε δεν έχουμε κανένα σημείο μηδενισμού της

: και στις δύο περιπτώσεις έχουμε άτοπο, αφού σύμφωνα με την υπόθεση η h=f-g

μηδενίζεται σε ένα ακριβώς σημείο. Άρα h(x_0)=h'(x_0)=0

, και το μοναδικό κοινό σημείο των

,

είναι και σημείο ισότητας των παραγώγων τους.

KARKAR · #4

Η απάντηση του Γιώργου - τον οποίο ευχαριστώ - ( και στην οποία επεδίωκα να καταλήξουμε ) , διευκολύνει

την λύση και των τριών ερωτημάτων που τέθηκαν παραπάνω , δίνουν επίσης απάντηση στο :

Ερώτημα 4 : Βρείτε τον θετικό αριθμό

, για τον οποίο οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

$f(x)=x+\sqrt{x^2+1}$ και : $g(x)=\dfrac{ae^x-1}{e^x}$ , έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο .

Μπορείτε να κάνετε το ίδιο και για τις : $f(x)=\dfrac{|x|^3}{a}$ και : g(x)=-x^2+ax-15

,

( αυτή και χωρίς χρήση του λήμματος ! ) , ώστε να κλείσουμε μιαν εκκρεμότητα από εδώ .

abgd · #5

gbaloglou έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 06, 2019 9:16 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 06, 2019 10:30 am

Αρχίζει να διαμορφώνεται η εικασία , μην τυχόν το μοναδικό κοινό σημείο κυρτής και κοίλης είναι και

σημείο επαφής . Το αντιπαράδειγμα των και καταρρίπτει την εικασία .

Μήπως λοιπόν μπορούμε να εντοπίσουμε εκείνη την ( μεγάλη ) κλάση συναρτήσεων , για τις οποίες

η εικασία ισχύει ;

Αρκεί η συνάρτηση-διαφορά της κυρτής μείον την κοίλη να μην έχει οριζόντιες ασύμπτωτες. Πράγματι, σ' αυτήν την περίπτωση έχουμε μία κυρτή συνάρτηση με κλίσεις αυξανόμενες από κάποιον αρνητικό αριθμό (πιθανώς το $-\infty$ ) σε κάποιον θετικό αριθμό (πιθανώς το $+\infty$ ), άρα και μοναδικό σημείο μηδενικής κλίσης, . Αν τότε έχουμε δύο σημεία μηδενισμού της (εκατέρωθεν του ), αν τότε δεν έχουμε κανένα σημείο μηδενισμού της : και στις δύο περιπτώσεις έχουμε άτοπο, αφού σύμφωνα με την υπόθεση η μηδενίζεται σε ένα ακριβώς σημείο. Άρα , και το μοναδικό κοινό σημείο των , είναι και σημείο ισότητας των παραγώγων τους.

Αυτό δεν είναι απαραίτητο - μπορεί η κλίση να είναι συνεχώς θετικός αριθμός.
Παράδειγμα

οι συναρτήσεις:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} -ln(2-x), \ \ x\leq1 & \\ e^{x-1}-1, \ \ \ x>1 & \end{matrix}\right.$ ,

g(x)=-f(x)

#6

abgd έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 07, 2019 1:24 pm

gbaloglou έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 06, 2019 9:16 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 06, 2019 10:30 am

Αρχίζει να διαμορφώνεται η εικασία , μην τυχόν το μοναδικό κοινό σημείο κυρτής και κοίλης είναι και

σημείο επαφής . Το αντιπαράδειγμα των και καταρρίπτει την εικασία .

Μήπως λοιπόν μπορούμε να εντοπίσουμε εκείνη την ( μεγάλη ) κλάση συναρτήσεων , για τις οποίες

η εικασία ισχύει ;

Αρκεί η συνάρτηση-διαφορά της κυρτής μείον την κοίλη να μην έχει οριζόντιες ασύμπτωτες. Πράγματι, σ' αυτήν την περίπτωση έχουμε μία κυρτή συνάρτηση με κλίσεις αυξανόμενες από κάποιον αρνητικό αριθμό (πιθανώς το $-\infty$ ) σε κάποιον θετικό αριθμό (πιθανώς το $+\infty$ ), άρα και μοναδικό σημείο μηδενικής κλίσης, . Αν τότε έχουμε δύο σημεία μηδενισμού της (εκατέρωθεν του ), αν τότε δεν έχουμε κανένα σημείο μηδενισμού της : και στις δύο περιπτώσεις έχουμε άτοπο, αφού σύμφωνα με την υπόθεση η μηδενίζεται σε ένα ακριβώς σημείο. Άρα , και το μοναδικό κοινό σημείο των , είναι και σημείο ισότητας των παραγώγων τους.
Αυτό δεν είναι απαραίτητο - μπορεί η κλίση να είναι συνεχώς θετικός αριθμός.
Παράδειγμα

οι συναρτήσεις:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} -ln(2-x), \ \ x\leq1 & \\ e^{x-1}-1, \ \ \ x>1 & \end{matrix}\right.$ ,

Σωστά, άρα ασφαλέστερο και σωστότερο είναι να απαιτήσουμε την ύπαρξη σημείου x_0

τέτοιου ώστε f'(x_0)=g'(x_0)

: αυτό σκεφτόμουν να το γράψω ούτως ή άλλως, χωρίς πάντως να έχω δει το λάθος μου που επισημαίνεται παραπάνω.

KARKAR · #7

Λήμμα : Αν οι συναρτήσεις είναι δις παραγωγίσιμες στο $\mathbb{R}$ , με την κυρτή την κοίλη και :

$\lim\limits_{x\to -\infty}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to +\infty}(f(x)-g(x))=+\infty$ , τότε αν οι γραφικές τους έχουν

μοναδικό κοινό σημείο , αυτό θα είναι σημείο επαφής , δηλαδή οι δύο καμπύλες θα έχουν

στο κοινό τους σημείο κοινή εφαπτομένη . Τουτέστιν : $f(x_{0})=g(x_{0})$ και $f'(x_{0})=g'(x_{0})$ .

Σημείωση : Το λήμμα με κατάλληλες προσαρμογές μπορεί να ισχύει και για συναρτήσεις με στενότερα πεδία ορισμού .

Το λήμμα αυτό διευκολύνει την επίλυση των ερωτημάτων που τέθηκαν παραπάνω . Δοκιμάστε το !

abgd · #8

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 08, 2019 7:47 am
Λήμμα : Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο $\mathbb{R}$ , με την κυρτή την κοίλη και :

$\lim\limits_{x\to -\infty}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to +\infty}(f(x)-g(x))=+\infty$ , τότε αν οι γραφικές τους έχουν

μοναδικό κοινό σημείο , αυτό θα είναι σημείο επαφής , δηλαδή οι δύο καμπύλες θα έχουν

στο κοινό τους σημείο κοινή εφαπτομένη . Τουτέστιν : $f(x_{0})=g(x_{0})$ και $f'(x_{0})=g'(x_{0})$ .

Σημείωση : Το λήμμα με κατάλληλες προσαρμογές μπορεί να ισχύει και για συναρτήσεις με στενότερα πεδία ορισμού .

Το λήμμα αυτό διευκολύνει την επίλυση των ερωτημάτων που τέθηκαν παραπάνω . Δοκιμάστε το !

Θανάση μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γενικότερο:

Λήμμα : Αν οι συναρτήσεις είναι δις παραγωγίσιμες στο διάστημα $(a,b)\subseteq \mathbb{R}$ , με την κυρτή την κοίλη και :

$\lim\limits_{x\to a^+}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to b^-}(f(x)-g(x))$ , τότε

αν οι γραφικές παραστάσεις τους έχουν μοναδικό κοινό σημείο,

αυτό θα είναι σημείο επαφής , δηλαδή οι δύο καμπύλες θα έχουν

στο κοινό τους σημείο κοινή εφαπτομένη . Τουτέστιν : $f(x_{0})=g(x_{0})$ και $f'(x_{0})=g'(x_{0})$ .

Απόδειξη

Έστω η συνάρτηση και η τετμημένη του μοναδικού κοινού σημείου των γραφικών παραστάσεων των .

Ισχύουν: μοναδική ρίζα της , η $h^{\prime}$ είναι γνησίως αύξουσα και $\lim\limits_{x\to a^+}(h(x))=\lim\limits_{x\to b^-}(h(x))=l$

Υπάρχουν δύο περιπτώσεις:

1. Υπάρχει $x_1 \in (a,b): \ \ h^{\prime}(x_1)=0$ και 2. $h^{\prime}(x)\ne 0, \ \ \forall x \in (a,b)$

Αν έχουμε την (1) τότε η θα είναι γνησίως φθίνουσα στο και γνησίως αύξουσα στο και έτσι θα είναι:

$h\left([x_1,b)\right)=h\left((a,x_1]\right)=[h(x_1),l)$ και, εφόσον το είναι τιμή της στο ,

δεν μπορεί το να είναι διαφορετικό από το , αφού τότε θα υπήρχε και δεύτερο σημείο μηδενισμού της .

Αν έχουμε τη (2) τότε η $h^{\prime}$ θα διατηρεί σταθερό πρόσημο οπότε η θα είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο το οποίο

είναι αδύνατο αφού $\lim\limits_{x\to a^+}(h(x))=\lim\limits_{x\to b^-}(h(x))=l$

Τελικά πρέπει $h^{\prime}(x_0)=0$

Σημείωση 1: Προφανώς δεν είναι απαραίτητο τα να είναι πεπερασμένα.

Σημείωση 2: Από τα παραπάνω προκύπτει άμεσα ότι η έχει ελάχιστο στο δηλαδή: $f(x)\geq g(x), \ \ \forall x\in (a,b)$ με το ίσον να

ισχύει μόνο στο και αυτό είναι ισοδύναμο με την προϋπόθεση του λήμματος: $\lim\limits_{x\to a^+}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to b^-}(f(x)-g(x))$

και οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν μοναδικό κοινό σημείο, - το ισοδύναμο με την έννοια ότι μπορεί η πρώτη να αντικαταστήσει τη δεύτερη.

#9

abgd έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 08, 2019 11:49 am

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 08, 2019 7:47 am
Λήμμα : Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο $\mathbb{R}$ , με την κυρτή την κοίλη και :

$\lim\limits_{x\to -\infty}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to +\infty}(f(x)-g(x))=+\infty$ , τότε αν οι γραφικές τους έχουν

μοναδικό κοινό σημείο , αυτό θα είναι σημείο επαφής , δηλαδή οι δύο καμπύλες θα έχουν

στο κοινό τους σημείο κοινή εφαπτομένη . Τουτέστιν : $f(x_{0})=g(x_{0})$ και $f'(x_{0})=g'(x_{0})$ .

Σημείωση : Το λήμμα με κατάλληλες προσαρμογές μπορεί να ισχύει και για συναρτήσεις με στενότερα πεδία ορισμού .

Το λήμμα αυτό διευκολύνει την επίλυση των ερωτημάτων που τέθηκαν παραπάνω . Δοκιμάστε το !

Θανάση μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γενικότερο:

Λήμμα : Αν οι συναρτήσεις είναι δις παραγωγίσιμες στο διάστημα $(a,b)\subseteq \mathbb{R}$ , με την κυρτή την κοίλη και :

$\lim\limits_{x\to a^+}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to b^-}(f(x)-g(x))$ , τότε

αν οι γραφικές παραστάσεις τους έχουν μοναδικό κοινό σημείο,

αυτό θα είναι σημείο επαφής , δηλαδή οι δύο καμπύλες θα έχουν

στο κοινό τους σημείο κοινή εφαπτομένη . Τουτέστιν : $f(x_{0})=g(x_{0})$ και $f'(x_{0})=g'(x_{0})$ .

Απόδειξη

Έστω η συνάρτηση και η τετμημένη του μοναδικού κοινού σημείου των γραφικών παραστάσεων των .

Ισχύουν: μοναδική ρίζα της , η $h^{\prime}$ είναι γνησίως αύξουσα και $\lim\limits_{x\to a^+}(h(x))=\lim\limits_{x\to b^-}(h(x))=l$

Υπάρχουν δύο περιπτώσεις:

1. Υπάρχει $x_1 \in (a,b): \ \ h^{\prime}(x_1)=0$ και 2. $h^{\prime}(x)\ne 0, \ \ \forall x \in (a,b)$

Αν έχουμε την (1) τότε η θα είναι γνησίως φθίνουσα στο και γνησίως αύξουσα στο και έτσι θα είναι:

$h\left([x_1,b)\right)=h\left((a,x_1]\right)=[h(x_1),l)$ και, εφόσον το είναι τιμή της στο ,

δεν μπορεί το να είναι διαφορετικό από το , αφού τότε θα υπήρχε και δεύτερο σημείο μηδενισμού της .

Αν έχουμε τη (2) τότε η $h^{\prime}$ θα διατηρεί σταθερό πρόσημο οπότε η θα είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο το οποίο

είναι αδύνατο αφού $\lim\limits_{x\to a^+}(h(x))=\lim\limits_{x\to b^-}(h(x))=l$

Τελικά πρέπει $h^{\prime}(x_0)=0$

Στην παραπάνω υπόθεση αρκεί τα δύο όρια να είναι αμφότερα θετικά ... καθώς είναι τότε δυνατόν με περιορισμό του αρχικού διαστήματος (ώστε να εξακολουθεί πάντως να περιέχει το ) να υποθέσουμε την επιθυμητή ισότητα των δύο ορίων στα άκρα του διαστήματος.

KARKAR · #10

: ΣΧ.3.png (10.63 KiB) Προβλήθηκε 2184 φορές

Ερώτημα 3 : Για ποια τιμή του θετικού

, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

$f(x)=e^{x^2}$ και : g(x)=-a^2x^2+2(a^2+a)x-(a^2+a)

, έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο ;

Απάντηση : Η

είναι κυρτή ( $f''(x)=(4x^2+2)e^{x^2}>0$ ) και η

κοίλη (

) .

Συνεπώς έχουν όλες τις προϋποθέσεις εφαρμογής του παραπάνω λήμματος . Βρισκόμαστε λοιπόν μπροστά

στο σύστημα : $e^{x^2}=-a^2x^2+2(a^2+a)x-(a^2+a)$ και : $2xe^{x^2}=-2a^2x+2(a^2+a)$ .

Πολλαπλασιάζω την πρώτη επί

και απλοποιώ το

από την δεύτερη και παίρνω :

$xe^{x^2}=-a^2x^3+2(a^2+a)x^2-(a^2+a)x$ και : $xe^{x^2}=-a^2x+(a^2+a)$ .

Εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη , καταλήγω στην : a^2x^3-2(a^2+a)x^2+ax+a^2+a=0

η οποία γράφεται (Horner) : a(x-1)(ax^2-(a+2)x-(a+1)=0

.

Αυτή έχει ασφαλώς ρίζα το x=1

, η οποία με αντικατάσταση δίνει : a=e

Τελικά η κοίλη συνάρτηση είναι η : g(x)=-e^2x^2+2(e^2+e)x-(e^2+e)

και το σημείο

επαφής των δύο γραφικών παραστάσεων το S(1,e)

.

Αλλά μήπως υπάρχουν και άλλες τιμές του θετικού

;

abgd · #11

gbaloglou έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 09, 2019 12:41 pm
Στην παραπάνω υπόθεση αρκεί τα δύο όρια να είναι αμφότερα θετικά ...

Ναι... πολύ σωστή η παρατήρηση του Γιώργου, και η οποία οδηγεί σ' ένα πιο ολοκληρωμένο λήμμα

για τις ανάγκες του προβλήματος που θέτει ο Θανάσης.

Δεν χρειάζεται να είναι ίσα τα όρια:

$\lim\limits_{x\to -\infty}(f(x)-g(x)), \ \ \ \lim\limits_{x\to +\infty}(f(x)-g(x))$ .

Αρκεί το πρώτο να είναι l_1

και το δεύτερο l_2

με

θετικούς αριθμούς ή $+\infty$ .

Αυτό που θα αλλάξει στην απόδειξη είναι τα σύνολα τιμών στις περιπτώσεις (1), (2), κάτι που δεν επηρεάζει τα συμπεράσματα.

abgd · #12

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 09, 2019 1:42 pm
Αλλά μήπως υπάρχουν και άλλες τιμές του θετικού ;

Θανάση, οι πράξεις σου είναι σωστές - η λύση εφαρμόζει το λήμμα, άρα αυτό δεν γίνεται!

KARKAR · #13

: ΣΧ.4.png (6.85 KiB) Προβλήθηκε 2145 φορές

Ερώτημα 4 : Βρείτε τον θετικό αριθμό

, για τον οποίο οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

$f(x)=x+\sqrt{x^2+1}$ και : $g(x)=\dfrac{ae^x-1}{e^x}$ , έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο .

Απάντηση : Είναι : $f'(x)=\dfrac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}$ και $f''(x)=\dfrac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}>0$ .

Επίσης : $g(x)=a-e^{-x}$ , συνεπώς : $g'(x)=e^{-x}$ και : $g''(x)=-e^{-x}<0$ .

Τώρα ( με εφαρμογή του λήμματος ) τα πράγματα είναι απλά : Από την ισότητα f'(x)=g'(x)

προκύπτει η εξίσωση : $\dfrac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{1}{e^x}$ , η οποία έχει προφανή λύση την x=0

,

που είναι και μοναδική αφού

γν. αύξουσα και

γν. φθίνουσα ( μη κοιτάτε τους

τύπους των f' , g'

, μην ξεχνάτε ότι η

είναι κοίλη ενώ η

κυρτή ! )

Αλλά αφού f(0)=1

είναι και

, δηλαδή

και το σημείο είναι το (0,1)

.

Σημείωση : επιβεβαιώστε ότι : $\lim\limits_{x\to -\infty}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to +\infty}(f(x)-g(x))=+\infty$ .

#14

abgd έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 09, 2019 4:51 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 09, 2019 1:42 pm
Αλλά μήπως υπάρχουν και άλλες τιμές του θετικού ;
Θανάση, οι πράξεις σου είναι σωστές - η λύση εφαρμόζει το λήμμα, άρα αυτό δεν γίνεται!

OXI, δεν προκύπτει (άμεσα) από το λήμμα αυτό, θέλει δουλειά!

Χρησιμοποιώντας τις $e^{x^2}=-a^2x^2+2(a^2+a)x-(a^2+a)$ KAI ax^2=(a+2)x+(a+1)

, μαζί με γνωστή ανισότητα, λαμβάνουμε

1+x^2<a^2x-2a^2-2a.

Επιλύοντας τώρα την ax^2=(a+2)x+(a+1)

ως προς

, και κρατώντας την μόνη αποδεκτή (θετική) ρίζα, οδηγούμαστε στην

$1+\dfrac{a+2}{a}\cdot\dfrac{a+2+\sqrt{(a+2)^2+4a(a+1)}}{2a}+\dfrac{a+1}{a}<$

$a^2\cdot\dfrac{a+2+\sqrt{(a+2)^2+4a(a+1)}}{2a}-2a^2-2a,$

και από αυτήν στην

$(3a^4+2a^3+5a^2+6a+4)<(a^3-a-2)\sqrt{(a+2)^2+4a(a+1)}.$

Η ανισότητα αυτή μπορεί βεβαίως να ισχύει μόνον στην περίπτωση $a^3-a-2\geq 0$ , οπότε τετραγωνίζοντας και παραγοντοποιώντας λαμβάνουμε

0<-4a^2(a^6+a^5+10a^4+23a^3+27a^2+16a+5),

ΑΤΟΠΟ (καθώς όλες οι ρίζες πλην της a=0

είναι μιγαδικές).

Συμπεραίνουμε ότι, ΟΝΤΩΣ, από την a(x-1)(ax^2-(a+2)x-(a+1))=0

, που μας δίνει το λήμμα (λίγες δημοσιεύσεις πιο πάνω), ΜΟΝΟΝ η x=1

είναι αξιοποιήσιμη.

#15

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 09, 2019 1:42 pm
ΣΧ.3.pngΕρώτημα 3 : Για ποια τιμή του θετικού , οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

$f(x)=e^{x^2}$ και : , έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο ;

Απάντηση : Η είναι κυρτή ( $f''(x)=(4x^2+2)e^{x^2}>0$ ) και η κοίλη ( ) .

Συνεπώς έχουν όλες τις προϋποθέσεις εφαρμογής του παραπάνω λήμματος . Βρισκόμαστε λοιπόν μπροστά

στο σύστημα : $e^{x^2}=-a^2x^2+2(a^2+a)x-(a^2+a)$ και : $2xe^{x^2}=-2a^2x+2(a^2+a)$ .

Πολλαπλασιάζω την πρώτη επί και απλοποιώ το από την δεύτερη και παίρνω :

$xe^{x^2}=-a^2x^3+2(a^2+a)x^2-(a^2+a)x$ και : $xe^{x^2}=-a^2x+(a^2+a)$ .

Εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη , καταλήγω στην :

η οποία γράφεται (Horner) : .

Αυτή έχει ασφαλώς ρίζα το , η οποία με αντικατάσταση δίνει :

Τελικά η κοίλη συνάρτηση είναι η : και το σημείο

επαφής των δύο γραφικών παραστάσεων το .

Αλλά μήπως υπάρχουν και άλλες τιμές του θετικού ;

Για θετικό

ξεκαθαρίσαμε το ζήτημα στην αμέσως προηγούμενη δημοσίευση, ας δούμε τώρα και την πολύ πιο εύκολη περίπτωση αρνητικού

: σ' αυτήν την περίπτωση δεν υπάρχει καν δυνατότητα τομής των δύο καμπύλων, καθώς ... αφ' ενός μεν $e^{x^2}\geq 1$ , αφ' ετέρου δε $-a^2x^2+2(a^2+a)x-(a^2+a)\leq 1\leftrightarrow a^2x^2-2(a^2+a)x+(a^2+a+1)\geq 0$ (λόγω αρνητικής διακρίνουσας 8a^3

).

Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

Μέλη σε σύνδεση