Διχοτόμος γεωμετρικός μέσος
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Διχοτόμος γεωμετρικός μέσος
Έστω το ύψος και η διχοτόμος τριγώνου με Αν τα
είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, A) να κατασκευάσετε χωρίς υπολογισμούς το τρίγωνο
B) Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων καθώς επίσης και τα μήκη των πλευρών
είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, A) να κατασκευάσετε χωρίς υπολογισμούς το τρίγωνο
B) Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων καθώς επίσης και τα μήκη των πλευρών
Λέξεις Κλειδιά:
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Διχοτόμος γεωμετρικός μέσος
Καλό απόγευμα σε όλους!
Ας δούμε Γιώργο μια κατασκευή τριγώνου -με κανόνα και διαβήτη- γενικότερη
με γνωστό το μήκος της και του ύψους ,
όπου η διχοτόμος να είναι γεωμετρικός μέσος των τμημάτων και
Δίνω τώρα την κατασκευή και ας μου επιτραπεί να επανέλθω αργότερα για την απόδειξη.. Έστω το μέσον της . Κατασκευάζουμε πρώτα το τμήμα (στο σχήμα δεξιά) ώστε να ισχύει
και επί της παίρνουμε τμήμα . Φέρουμε με και την διχοτόμο του τριγώνου .
Μένει να δείξουμε ότι ισχύει ..( έπεται η συνέχεια , όταν δοθεί η ευκαιρία).
Επανέρχομαι για την αιτιολόγηση της ως άνω κατασκευής. Ας αρχίσουμε λοιπόν με την ανάλυση:
Έστω ότι κατασκευάστηκε το τρίγωνο με , ύψος και για την διχοτόμο ισχύει .
Ισχύει επίσης για την διχοτόμο ο τύπος συνεπώς προκύπτει .
Ακόμη από το θ. εσωτερικής διχοτόμου παίρνουμε .Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη δίνουν οπότε και . Με πρόσθεση αυτών έχουμε
που είναι ο γεωμετρικός ορισμός της έλλειψης με εστίες τα .Επικαλούμαστε γι' αυτό την συνδρομή του Rene Descartes.
Θεωρούμε αρχή των αξόνων το μέσον του και ως άξονα των την ευθεία . Τότε οι συντεταγμένες του είναι
και επαληθεύουν την εξίσωση της έλλειψης άρα ισχύει
όπου και .
Η εξίσωση γίνεται και έτσι έχουμε την παραπάνω κατασκευή.
Το σημείο με συντεταγμένες είναι μοναδικό άρα πρόκειται για το αρχικό για το οποίο ισχύουν οι ιδιότητες και οι σχέσεις που απαιτεί η εν λόγω κατασκευή.
Να τονίσουμε ότι το δεν προέκυψε ως τομή κωνικής τομής με άλλη γραμμή, απλά έγινε αξιοποίηση της εξίσωσης της έλλειψης για να φτάσουμε σε αμιγώς Γεωμετρική κατασκευή. Δεν πρέπει βεβαίως να .. .. ξεχάσουμε και την διερεύνηση:
Η κατασκευή είναι εφικτή όταν ισχύει .Στην ακραία σχέση είναι και το ορθογώνιο και ισοσκελές.
Τέλος με σταθερή τη θέση των έχουμε άλλες τρεις θέσεις για το τις συμμετρικές του ως προς την , την μεσοκάθετο αυτής αλλά και το κέντρο .Λόγω συμμετρίας τα μεγέθη παραμένουν ως έχουν και δεν θεωρούνται διαφορετικές λύσεις.
Αν δεν καλυφθεί το Β ζητούμενο του θέματος , θα το κάνω σε επόμενη δημοσίευση.Φιλικά, Γιώργος.
Ας δούμε Γιώργο μια κατασκευή τριγώνου -με κανόνα και διαβήτη- γενικότερη
με γνωστό το μήκος της και του ύψους ,
όπου η διχοτόμος να είναι γεωμετρικός μέσος των τμημάτων και
Δίνω τώρα την κατασκευή και ας μου επιτραπεί να επανέλθω αργότερα για την απόδειξη.. Έστω το μέσον της . Κατασκευάζουμε πρώτα το τμήμα (στο σχήμα δεξιά) ώστε να ισχύει
και επί της παίρνουμε τμήμα . Φέρουμε με και την διχοτόμο του τριγώνου .
Μένει να δείξουμε ότι ισχύει ..( έπεται η συνέχεια , όταν δοθεί η ευκαιρία).
Επανέρχομαι για την αιτιολόγηση της ως άνω κατασκευής. Ας αρχίσουμε λοιπόν με την ανάλυση:
Έστω ότι κατασκευάστηκε το τρίγωνο με , ύψος και για την διχοτόμο ισχύει .
Ισχύει επίσης για την διχοτόμο ο τύπος συνεπώς προκύπτει .
Ακόμη από το θ. εσωτερικής διχοτόμου παίρνουμε .Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη δίνουν οπότε και . Με πρόσθεση αυτών έχουμε
που είναι ο γεωμετρικός ορισμός της έλλειψης με εστίες τα .Επικαλούμαστε γι' αυτό την συνδρομή του Rene Descartes.
Θεωρούμε αρχή των αξόνων το μέσον του και ως άξονα των την ευθεία . Τότε οι συντεταγμένες του είναι
και επαληθεύουν την εξίσωση της έλλειψης άρα ισχύει
όπου και .
Η εξίσωση γίνεται και έτσι έχουμε την παραπάνω κατασκευή.
Το σημείο με συντεταγμένες είναι μοναδικό άρα πρόκειται για το αρχικό για το οποίο ισχύουν οι ιδιότητες και οι σχέσεις που απαιτεί η εν λόγω κατασκευή.
Να τονίσουμε ότι το δεν προέκυψε ως τομή κωνικής τομής με άλλη γραμμή, απλά έγινε αξιοποίηση της εξίσωσης της έλλειψης για να φτάσουμε σε αμιγώς Γεωμετρική κατασκευή. Δεν πρέπει βεβαίως να .. .. ξεχάσουμε και την διερεύνηση:
Η κατασκευή είναι εφικτή όταν ισχύει .Στην ακραία σχέση είναι και το ορθογώνιο και ισοσκελές.
Τέλος με σταθερή τη θέση των έχουμε άλλες τρεις θέσεις για το τις συμμετρικές του ως προς την , την μεσοκάθετο αυτής αλλά και το κέντρο .Λόγω συμμετρίας τα μεγέθη παραμένουν ως έχουν και δεν θεωρούνται διαφορετικές λύσεις.
Αν δεν καλυφθεί το Β ζητούμενο του θέματος , θα το κάνω σε επόμενη δημοσίευση.Φιλικά, Γιώργος.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Μήτσιος σε Δευ Δεκ 09, 2019 11:49 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Διχοτόμος γεωμετρικός μέσος
Έστω λυμένο το πρόβλημα. Γράφω τον περίκυκλο, του τριγώνου και η διχοτόμος τον τέμνει στο νότιο πόλο .
Κατασκευή:
Κατασκευάζω ισοσκελές τρίγωνο με ύψος .
Γράφω τον κύκλο του τριγώνου αυτού κέντρου .
Αν το συμμετρικό του ως προς , η από το παράλληλη στην τέμνει τον κύκλο στο .
Προφανώς πρέπει .
Υπολογισμοί
Αν , Π. Θ. στο τρίγωνο έχω: κι επειδή έχω
( με τα δεδομένα )
Θέτω συνεπώς θα ισχύουν:
Αλλά από το , και αφού
το σύστημα γίνεται :
από τη λύση της εξίσωσης : έχω τα
Η εξίσωση γράφεται :
(Με τα δεδομένα γίνεται :
Ενώ επειδή
Κατασκευή:
Κατασκευάζω ισοσκελές τρίγωνο με ύψος .
Γράφω τον κύκλο του τριγώνου αυτού κέντρου .
Αν το συμμετρικό του ως προς , η από το παράλληλη στην τέμνει τον κύκλο στο .
Προφανώς πρέπει .
Υπολογισμοί
Αν , Π. Θ. στο τρίγωνο έχω: κι επειδή έχω
( με τα δεδομένα )
Θέτω συνεπώς θα ισχύουν:
Αλλά από το , και αφού
το σύστημα γίνεται :
από τη λύση της εξίσωσης : έχω τα
Η εξίσωση γράφεται :
(Με τα δεδομένα γίνεται :
Ενώ επειδή
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Διχοτόμος γεωμετρικός μέσος
Ευχαριστώ τον Γιώργο και τον Νίκο για τις λύσεις τους. Η κατασκευή μου είναι ίδια ακριβώς με του Νίκου. Να αναφέρω
για την ιστορία ότι το κύριο ερώτημα της άσκησης, δηλαδή η κατασκευή, είναι από το βιβλίο του Σπύρου Κανέλλου,
Ευκλείδειος Γεωμετρία Επίπεδος (1973). Συγκεκριμένα είναι η άσκηση 1026 στη σελίδα 568 που περιλαμβάνεται στις
Γενικές άλυτες ασκήσεις.
για την ιστορία ότι το κύριο ερώτημα της άσκησης, δηλαδή η κατασκευή, είναι από το βιβλίο του Σπύρου Κανέλλου,
Ευκλείδειος Γεωμετρία Επίπεδος (1973). Συγκεκριμένα είναι η άσκηση 1026 στη σελίδα 568 που περιλαμβάνεται στις
Γενικές άλυτες ασκήσεις.
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Διχοτόμος γεωμετρικός μέσος
Καλό βράδυ. Φαίνεται η δική μου κατασκευή ήταν μια..περιπλάνηση στα 4 σημεία του ορίζοντα ,
όπως δείχνει η σύντομη κατασκευή των Νίκου και Γιώργου μέσω μόνο του Νότιου πόλου!
Έχει όμως και ένα καλό, ότι είναι εύκολοι πλέον οι υπολογισμοί: Με και ο τύπος δίνει οπότε .
Το Π.Θ στο μας δίνει ενώ είναι άρα
κι' έπονται .... Φιλικά, Γιώργος.
όπως δείχνει η σύντομη κατασκευή των Νίκου και Γιώργου μέσω μόνο του Νότιου πόλου!
Έχει όμως και ένα καλό, ότι είναι εύκολοι πλέον οι υπολογισμοί: Με και ο τύπος δίνει οπότε .
Το Π.Θ στο μας δίνει ενώ είναι άρα
κι' έπονται .... Φιλικά, Γιώργος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες