Πότε θα λιώσει η καραμέλα;

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2825
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Πότε θα λιώσει η καραμέλα;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Κυρ Δεκ 08, 2019 5:43 pm

Μου την έστειλαν και νομίζω ότι είναι ενδιαφέρουσα!!!

Μια καραμέλα έχει σφαιρικό σχήμα. Όταν κάποιος την τοποθετήσει στο στόμα του λιώνει μεταβάλλοντας τον όγκο της, ώστε ο ρυθμός μεταβολής του όγκου να είναι αριθμητικά ανάλογος με την επιφάνειά της. Αν τα πρώτα 4 λεπτά μειώνει τον όγκο της κατά 87,5\%, σε πόσα λεπτά λιώνει η καραμέλα;
Η έκφραση "ώστε ο ρυθμός μεταβολής του όγκου να είναι αριθμητικά ανάλογος με την επιφάνειά της" δεν μου αρέσει. Θα μπορούσε να αντικατασταθεί με τη φράση: "ο ρυθμός μεταβολής της ακτίνας είναι σταθερός."


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4571
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Πότε θα λιώσει η καραμέλα;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Δεκ 08, 2019 8:41 pm

Καλησπέρα σε όλους. Μια απόπειρα στο θέμα του Λευτέρη, με την υπόδειξη στην απόκρυψη.

Έστω r_0 η αρχική ακτίνα της καραμέλας. Τότε ο όγκος της είναι  \displaystyle {V_0} = \frac{4}{3}\pi r_0^3 .

Δεχόμαστε ότι λιώνει ομοιόμορφα, διατηρώντας το σφαιρικό σχήμα, οπότε η ακτίνα της μειώνεται με σταθερό ρυθμό  \displaystyle r'\left( t \right) =  - c,\;\;c > 0 , σταθερό, οπότε  \displaystyle r\left( t \right) = {r_0} - ct,\;t \ge 0 .

Σε χρονική στιγμή t ο όγκος της δίνεται από τον τύπο  \displaystyle V\left( t \right) = \frac{4}{3}\pi {r^3}\left( t \right),\;t \ge 0.

Εδώ πρέπει να σημειώνουμε oι συναρτήσεις r(t), V(t) ορίζονται σε ένα κλειστό διάστημα [0, t_1], δηλαδή ότι ο χρόνος t έχει μια μέγιστη τιμή, τη στιγμή που λιώνει η καραμέλα, τον οποίον αναζητούμε.

Είναι  \displaystyle V\left( 4 \right) = \frac{1}{8}{V_0} \Leftrightarrow \frac{4}{3}\pi {\left( {r\left( 4 \right)} \right)^3} = \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3}\pi r_0^3 \Leftrightarrow {\left( {{r_0} - 4c} \right)^3} = \frac{1}{8} \cdot r_0^3

 \displaystyle  \Leftrightarrow {r_0} - 4c = \frac{1}{2} \cdot {r_0} \Leftrightarrow c = \frac{{{r_0}}}{8} .

Λιώνει σε χρόνο t_1 για τον οποίο είναι  \displaystyle r\left( t_1 \right) = 0 \Leftrightarrow {r_0} = ct_1 \Leftrightarrow {r_0} = \frac{{{r_0}}}{8}t_1 \Leftrightarrow t_1=8\;\min

edit: Mια συμπλήρωση σχετικά με την υπόδειξη του Λευτέρη:

Είναι  \displaystyle V'\left( t \right) = 4\pi {r^2}\left( t \right) \cdot r'\left( t \right) , οπότε αν ο ρυθμός μεταβολής του όγκου είναι αριθμητικά ανάλογος με την επιφάνειά της, δηλαδή υπάρχει θετική σταθερά c ώστε  \displaystyle V'\left( t \right) =  - c \cdot E\left( t \right), θα έχουμε  \displaystyle 4\pi {r^2}\left( t \right) \cdot r'\left( t \right) =  - 4c\pi {r^2}\left( t \right) \Leftrightarrow r'\left( t \right) =  - c, άρα αναγόμαστε στη διευκρίνιση του Λευτέρη, ότι η ακτίνα της μειώνεται με σταθερό ρυθμό.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες