Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11199
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 05, 2019 2:06 pm

Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης .

Παρακάτω θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις f,g , ορισμένες και δις παραγωγίσιμες στο \mathbb{R} ,

με την f' γνησίως αύξουσα και την g' γνησίως φθίνουσα , δηλαδή f κυρτή και g κοίλη .
ΣΧ.1.png
ΣΧ.1.png (16.82 KiB) Προβλήθηκε 542 φορές
Ερώτημα 1 : Για ποια τιμή του πραγματικού a , οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

f(x)=x^2+x+3a και : g(x)=-x^2+5x+a , έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο ;

Απάντηση : Αρκεί η εξίσωση : f(x)=g(x) να έχει μοναδική λύση , ισοδύναμα αρκεί η εξίσωση :

2x^2-4x+2a , να έχει μηδενική διακρίνουσα , δηλαδή τελικά να είναι a=1 .

Πράγματι τότε : f(x)=x^2+x+3 , g(x)=-x^2+5x+1 και f(1)=g(1)=5 .

Παρατηρώ ότι : f'(x)=2x+1 , δηλαδή : f'(1)=3 και g'(x)=-2x+5 , δηλαδή : g'(1)=3 .

Τουτέστιν οι δύο συναρτήσεις έχουν την ίδια εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο .
ΣΧ.2.png
ΣΧ.2.png (10.31 KiB) Προβλήθηκε 542 φορές
Ερώτημα 2 : Για ποια τιμή του θετικού a , οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

f(x)=\dfrac{x^4}{a}+1 και : g(x)=-x^2+6x-6 , έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο ;

Συνεχίζεται ...



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11199
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Δεκ 06, 2019 10:30 am

Θέλουμε η εξίσωση : f(x)=g(x) , ισοδύναμα η : x^4+ax^2-6ax+7a=0 , να έχει μοναδική λύση .

Αυτό μπορεί να συμβεί ή αν : x^4+ax^2-6ax+7a=(x-r)^4 , κάτι που βλέπουμε ότι δεν μπορεί να συμβεί

ή αν : x^4+ax^2-6ax+7a=(x-r)^2(x^2+kx+m) - με το τριώνυμα να έχει αρνητική διακρίνουσα - δηλαδή :

x^4+ax^2-6ax+7a=x^4+(k-2r)x^3+(r^2-2rk+m)x^2-(2mr-kr^2)x+mr^2 .

Οδηγούμαστε λοιπόν στο σύστημα : k-2r=0 , r^2-2rk+m=a , 2mr-kr^2=6a , mr^2=7a ,

το οποίο με επίπονες πράξεις οδηγεί στην λύση : a=16 , r=2 και k=4 , m=28 .

Τελικά είναι : x^4+16x^2-96x+112=(x-2)^2(x^2+4x+48) , συνεπώς η τετμημένη

του ζητούμενου σημείου είναι 2 , δηλαδή S(2,2) . Πάλι παρατηρούμε ότι :

f'(x)=\dfrac{x^3}{4} , δηλαδή : f'(2)=2 και : g'(x)=-2x+6 , δηλαδή : g'(2)=2

Τουτέστιν οι δύο συναρτήσεις έχουν την ίδια εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο .

Αρχίζει να διαμορφώνεται η εικασία , μην τυχόν το μοναδικό κοινό σημείο κυρτής και κοίλης είναι και

σημείο επαφής . Το αντιπαράδειγμα των f(x)=e^x και g(x)=2-e^x καταρρίπτει την εικασία .

Μήπως λοιπόν μπορούμε να εντοπίσουμε εκείνη την ( μεγάλη ) κλάση συναρτήσεων , για τις οποίες

η εικασία ισχύει ;

Σημείωση : Αν η εικασία ισχύει για τις συναρτήσεις του ερωτήματος 2 , έχουμε να λύσουμε το πολύ

ευκολότερο σύστημα : x^4=-ax^2+6ax-7a , 4x^3=-2ax+6a .

Λύστε αυτό το σύστημα , είναι όμορφο !
ΣΧ.3.png
ΣΧ.3.png (10.63 KiB) Προβλήθηκε 449 φορές
Ερώτημα 3 : Για ποια τιμή του θετικού a , οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

f(x)=e^{x^2} και :  g(x)=-a^2x^2+2(a^2+a)x-(a^2+a) , έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο ;

Συνεχίζεται ... ( ο συντελεστής του x^2 είναι : -a^2 )
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Σάβ Δεκ 07, 2019 8:13 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2729
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Δεκ 06, 2019 9:16 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Δεκ 06, 2019 10:30 am

Αρχίζει να διαμορφώνεται η εικασία , μην τυχόν το μοναδικό κοινό σημείο κυρτής και κοίλης είναι και

σημείο επαφής . Το αντιπαράδειγμα των f(x)=e^x και g(x)=2-e^x καταρρίπτει την εικασία .

Μήπως λοιπόν μπορούμε να εντοπίσουμε εκείνη την ( μεγάλη ) κλάση συναρτήσεων , για τις οποίες

η εικασία ισχύει ;
Αρκεί η συνάρτηση-διαφορά h=f-g της κυρτής f μείον την κοίλη g να μην έχει οριζόντιες ασύμπτωτες. Πράγματι, σ' αυτήν την περίπτωση έχουμε μία κυρτή συνάρτηση h με κλίσεις αυξανόμενες από κάποιον αρνητικό αριθμό (πιθανώς το -\infty) σε κάποιον θετικό αριθμό (πιθανώς το +\infty), άρα και μοναδικό σημείο x_0 μηδενικής κλίσης, h'(x_0)=0. Αν h(x_0)<0 τότε έχουμε δύο σημεία μηδενισμού της h (εκατέρωθεν του x_0), αν h(x_0)>0 τότε δεν έχουμε κανένα σημείο μηδενισμού της h: και στις δύο περιπτώσεις έχουμε άτοπο, αφού σύμφωνα με την υπόθεση η h=f-g μηδενίζεται σε ένα ακριβώς σημείο. Άρα h(x_0)=h'(x_0)=0, και το μοναδικό κοινό σημείο των f, g είναι και σημείο ισότητας των παραγώγων τους.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11199
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 07, 2019 11:32 am

Η απάντηση του Γιώργου - τον οποίο ευχαριστώ - ( και στην οποία επεδίωκα να καταλήξουμε ) , διευκολύνει

την λύση και των τριών ερωτημάτων που τέθηκαν παραπάνω , δίνουν επίσης απάντηση στο :

Ερώτημα 4 : Βρείτε τον θετικό αριθμό a , για τον οποίο οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

f(x)=x+\sqrt{x^2+1} και : g(x)=\dfrac{ae^x-1}{e^x} , έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο .

Μπορείτε να κάνετε το ίδιο και για τις : f(x)=\dfrac{|x|^3}{a} και : g(x)=-x^2+ax-15 ,

( αυτή και χωρίς χρήση του λήμματος ! ) , ώστε να κλείσουμε μιαν εκκρεμότητα από εδώ .


abgd
Δημοσιεύσεις: 178
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Σάβ Δεκ 07, 2019 1:24 pm

gbaloglou έγραψε:
Παρ Δεκ 06, 2019 9:16 pm
KARKAR έγραψε:
Παρ Δεκ 06, 2019 10:30 am

Αρχίζει να διαμορφώνεται η εικασία , μην τυχόν το μοναδικό κοινό σημείο κυρτής και κοίλης είναι και

σημείο επαφής . Το αντιπαράδειγμα των f(x)=e^x και g(x)=2-e^x καταρρίπτει την εικασία .

Μήπως λοιπόν μπορούμε να εντοπίσουμε εκείνη την ( μεγάλη ) κλάση συναρτήσεων , για τις οποίες

η εικασία ισχύει ;
Αρκεί η συνάρτηση-διαφορά h=f-g της κυρτής f μείον την κοίλη g να μην έχει οριζόντιες ασύμπτωτες. Πράγματι, σ' αυτήν την περίπτωση έχουμε μία κυρτή συνάρτηση h με κλίσεις αυξανόμενες από κάποιον αρνητικό αριθμό (πιθανώς το -\infty) σε κάποιον θετικό αριθμό (πιθανώς το +\infty), άρα και μοναδικό σημείο x_0 μηδενικής κλίσης, h'(x_0)=0. Αν h(x_0)<0 τότε έχουμε δύο σημεία μηδενισμού της h (εκατέρωθεν του x_0), αν h(x_0)>0 τότε δεν έχουμε κανένα σημείο μηδενισμού της h: και στις δύο περιπτώσεις έχουμε άτοπο, αφού σύμφωνα με την υπόθεση η h=f-g μηδενίζεται σε ένα ακριβώς σημείο. Άρα h(x_0)=h'(x_0)=0, και το μοναδικό κοινό σημείο των f, g είναι και σημείο ισότητας των παραγώγων τους.
Αυτό δεν είναι απαραίτητο - μπορεί η κλίση να είναι συνεχώς θετικός αριθμός.
Παράδειγμα

οι συναρτήσεις:

f(x)=\left\{\begin{matrix} -ln(2-x), \ \ x\leq1 & \\ e^{x-1}-1, \ \ \ x>1 & \end{matrix}\right. ,

g(x)=-f(x)


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2729
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Σάβ Δεκ 07, 2019 2:33 pm

abgd έγραψε:
Σάβ Δεκ 07, 2019 1:24 pm
gbaloglou έγραψε:
Παρ Δεκ 06, 2019 9:16 pm
KARKAR έγραψε:
Παρ Δεκ 06, 2019 10:30 am

Αρχίζει να διαμορφώνεται η εικασία , μην τυχόν το μοναδικό κοινό σημείο κυρτής και κοίλης είναι και

σημείο επαφής . Το αντιπαράδειγμα των f(x)=e^x και g(x)=2-e^x καταρρίπτει την εικασία .

Μήπως λοιπόν μπορούμε να εντοπίσουμε εκείνη την ( μεγάλη ) κλάση συναρτήσεων , για τις οποίες

η εικασία ισχύει ;
Αρκεί η συνάρτηση-διαφορά h=f-g της κυρτής f μείον την κοίλη g να μην έχει οριζόντιες ασύμπτωτες. Πράγματι, σ' αυτήν την περίπτωση έχουμε μία κυρτή συνάρτηση h με κλίσεις αυξανόμενες από κάποιον αρνητικό αριθμό (πιθανώς το -\infty) σε κάποιον θετικό αριθμό (πιθανώς το +\infty), άρα και μοναδικό σημείο x_0 μηδενικής κλίσης, h'(x_0)=0. Αν h(x_0)<0 τότε έχουμε δύο σημεία μηδενισμού της h (εκατέρωθεν του x_0), αν h(x_0)>0 τότε δεν έχουμε κανένα σημείο μηδενισμού της h: και στις δύο περιπτώσεις έχουμε άτοπο, αφού σύμφωνα με την υπόθεση η h=f-g μηδενίζεται σε ένα ακριβώς σημείο. Άρα h(x_0)=h'(x_0)=0, και το μοναδικό κοινό σημείο των f, g είναι και σημείο ισότητας των παραγώγων τους.
Αυτό δεν είναι απαραίτητο - μπορεί η κλίση να είναι συνεχώς θετικός αριθμός.
Παράδειγμα

οι συναρτήσεις:

f(x)=\left\{\begin{matrix} -ln(2-x), \ \ x\leq1 & \\ e^{x-1}-1, \ \ \ x>1 & \end{matrix}\right. ,

g(x)=-f(x)
Σωστά, άρα ασφαλέστερο και σωστότερο είναι να απαιτήσουμε την ύπαρξη σημείου x_0 τέτοιου ώστε f'(x_0)=g'(x_0): αυτό σκεφτόμουν να το γράψω ούτως ή άλλως, χωρίς πάντως να έχω δει το λάθος μου που επισημαίνεται παραπάνω.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11199
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 08, 2019 7:47 am

Λήμμα : Αν οι συναρτήσεις f,g είναι δις παραγωγίσιμες στο \mathbb{R} , με την f κυρτή την g κοίλη και :

\lim\limits_{x\to -\infty}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to +\infty}(f(x)-g(x))=+\infty , τότε αν οι γραφικές τους έχουν

μοναδικό κοινό σημείο , αυτό θα είναι σημείο επαφής , δηλαδή οι δύο καμπύλες θα έχουν

στο κοινό τους σημείο κοινή εφαπτομένη . Τουτέστιν : f(x_{0})=g(x_{0}) και f'(x_{0})=g'(x_{0})
.

Σημείωση : Το λήμμα με κατάλληλες προσαρμογές μπορεί να ισχύει και για συναρτήσεις με στενότερα πεδία ορισμού .

Το λήμμα αυτό διευκολύνει την επίλυση των ερωτημάτων που τέθηκαν παραπάνω . Δοκιμάστε το !


abgd
Δημοσιεύσεις: 178
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Κυρ Δεκ 08, 2019 11:49 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Δεκ 08, 2019 7:47 am
Λήμμα : Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο \mathbb{R} , με την f κυρτή την g κοίλη και :

\lim\limits_{x\to -\infty}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to +\infty}(f(x)-g(x))=+\infty , τότε αν οι γραφικές τους έχουν

μοναδικό κοινό σημείο , αυτό θα είναι σημείο επαφής , δηλαδή οι δύο καμπύλες θα έχουν

στο κοινό τους σημείο κοινή εφαπτομένη . Τουτέστιν : f(x_{0})=g(x_{0}) και f'(x_{0})=g'(x_{0}).

Σημείωση : Το λήμμα με κατάλληλες προσαρμογές μπορεί να ισχύει και για συναρτήσεις με στενότερα πεδία ορισμού .

Το λήμμα αυτό διευκολύνει την επίλυση των ερωτημάτων που τέθηκαν παραπάνω . Δοκιμάστε το !


Θανάση μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γενικότερο:

Λήμμα : Αν οι συναρτήσεις f,g είναι δις παραγωγίσιμες στο διάστημα (a,b)\subseteq \mathbb{R} , με την f κυρτή την g κοίλη και :

\lim\limits_{x\to a^+}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to b^-}(f(x)-g(x)), τότε

αν οι γραφικές παραστάσεις τους έχουν μοναδικό κοινό σημείο,

αυτό θα είναι σημείο επαφής , δηλαδή οι δύο καμπύλες θα έχουν

στο κοινό τους σημείο κοινή εφαπτομένη . Τουτέστιν : f(x_{0})=g(x_{0}) και f'(x_{0})=g'(x_{0}) .

Απόδειξη

Έστω η συνάρτηση h=f-g και x_0 η τετμημένη του μοναδικού κοινού σημείου των γραφικών παραστάσεων των f,g.

Ισχύουν: x_0 μοναδική ρίζα της h, η h^{\prime} είναι γνησίως αύξουσα και \lim\limits_{x\to a^+}(h(x))=\lim\limits_{x\to b^-}(h(x))=l

Υπάρχουν δύο περιπτώσεις:

1. Υπάρχει x_1 \in (a,b): \ \ h^{\prime}(x_1)=0 και 2. h^{\prime}(x)\ne 0, \ \ \forall x \in (a,b)

Αν έχουμε την (1) τότε η h θα είναι γνησίως φθίνουσα στο (a,x_1] και γνησίως αύξουσα στο [x_1,b) και έτσι θα είναι:

h\left([x_1,b)\right)=h\left((a,x_1]\right)=[h(x_1),l) και, εφόσον το 0 είναι τιμή της h στο x_0,

δεν μπορεί το x_0 να είναι διαφορετικό από το x_1, αφού τότε θα υπήρχε και δεύτερο σημείο μηδενισμού της h.

Αν έχουμε τη (2) τότε η h^{\prime} θα διατηρεί σταθερό πρόσημο οπότε η h θα είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο (a,b) το οποίο

είναι αδύνατο αφού \lim\limits_{x\to a^+}(h(x))=\lim\limits_{x\to b^-}(h(x))=l

Τελικά πρέπει h^{\prime}(x_0)=0

Σημείωση 1: Προφανώς δεν είναι απαραίτητο τα a,b,l να είναι πεπερασμένα.

Σημείωση 2: Από τα παραπάνω προκύπτει άμεσα ότι η h έχει ελάχιστο στο x_0 δηλαδή: f(x)\geq g(x), \ \ \forall x\in (a,b) με το ίσον να

ισχύει μόνο στο x_0 και αυτό είναι ισοδύναμο με την προϋπόθεση του λήμματος: \lim\limits_{x\to a^+}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to b^-}(f(x)-g(x))

και οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν μοναδικό κοινό σημείο, - το ισοδύναμο με την έννοια ότι μπορεί η πρώτη να αντικαταστήσει τη δεύτερη.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2729
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Δευ Δεκ 09, 2019 12:41 pm

abgd έγραψε:
Κυρ Δεκ 08, 2019 11:49 am
KARKAR έγραψε:
Κυρ Δεκ 08, 2019 7:47 am
Λήμμα : Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο \mathbb{R} , με την f κυρτή την g κοίλη και :

\lim\limits_{x\to -\infty}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to +\infty}(f(x)-g(x))=+\infty , τότε αν οι γραφικές τους έχουν

μοναδικό κοινό σημείο , αυτό θα είναι σημείο επαφής , δηλαδή οι δύο καμπύλες θα έχουν

στο κοινό τους σημείο κοινή εφαπτομένη . Τουτέστιν : f(x_{0})=g(x_{0}) και f'(x_{0})=g'(x_{0}).

Σημείωση : Το λήμμα με κατάλληλες προσαρμογές μπορεί να ισχύει και για συναρτήσεις με στενότερα πεδία ορισμού .

Το λήμμα αυτό διευκολύνει την επίλυση των ερωτημάτων που τέθηκαν παραπάνω . Δοκιμάστε το !


Θανάση μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γενικότερο:

Λήμμα : Αν οι συναρτήσεις f,g είναι δις παραγωγίσιμες στο διάστημα (a,b)\subseteq \mathbb{R} , με την f κυρτή την g κοίλη και :

\lim\limits_{x\to a^+}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to b^-}(f(x)-g(x)), τότε

αν οι γραφικές παραστάσεις τους έχουν μοναδικό κοινό σημείο,

αυτό θα είναι σημείο επαφής , δηλαδή οι δύο καμπύλες θα έχουν

στο κοινό τους σημείο κοινή εφαπτομένη . Τουτέστιν : f(x_{0})=g(x_{0}) και f'(x_{0})=g'(x_{0}) .

Απόδειξη

Έστω η συνάρτηση h=f-g και x_0 η τετμημένη του μοναδικού κοινού σημείου των γραφικών παραστάσεων των f,g.

Ισχύουν: x_0 μοναδική ρίζα της h, η h^{\prime} είναι γνησίως αύξουσα και \lim\limits_{x\to a^+}(h(x))=\lim\limits_{x\to b^-}(h(x))=l

Υπάρχουν δύο περιπτώσεις:

1. Υπάρχει x_1 \in (a,b): \ \ h^{\prime}(x_1)=0 και 2. h^{\prime}(x)\ne 0, \ \ \forall x \in (a,b)

Αν έχουμε την (1) τότε η h θα είναι γνησίως φθίνουσα στο (a,x_1] και γνησίως αύξουσα στο [x_1,b) και έτσι θα είναι:

h\left([x_1,b)\right)=h\left((a,x_1]\right)=[h(x_1),l) και, εφόσον το 0 είναι τιμή της h στο x_0,

δεν μπορεί το x_0 να είναι διαφορετικό από το x_1, αφού τότε θα υπήρχε και δεύτερο σημείο μηδενισμού της h.

Αν έχουμε τη (2) τότε η h^{\prime} θα διατηρεί σταθερό πρόσημο οπότε η h θα είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο (a,b) το οποίο

είναι αδύνατο αφού \lim\limits_{x\to a^+}(h(x))=\lim\limits_{x\to b^-}(h(x))=l

Τελικά πρέπει h^{\prime}(x_0)=0



Στην παραπάνω υπόθεση αρκεί τα δύο όρια να είναι αμφότερα θετικά ... καθώς είναι τότε δυνατόν με περιορισμό του αρχικού διαστήματος (ώστε να εξακολουθεί πάντως να περιέχει το x_0) να υποθέσουμε την επιθυμητή ισότητα των δύο ορίων στα άκρα του διαστήματος.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11199
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 09, 2019 1:42 pm

ΣΧ.3.png
ΣΧ.3.png (10.63 KiB) Προβλήθηκε 206 φορές
Ερώτημα 3 : Για ποια τιμή του θετικού a , οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

f(x)=e^{x^2} και :  g(x)=-a^2x^2+2(a^2+a)x-(a^2+a) , έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο ;

Απάντηση : Η f είναι κυρτή ( f''(x)=(4x^2+2)e^{x^2}>0 ) και η g κοίλη ( g''(x)=-2a^2<0 ) .

Συνεπώς έχουν όλες τις προϋποθέσεις εφαρμογής του παραπάνω λήμματος . Βρισκόμαστε λοιπόν μπροστά

στο σύστημα : e^{x^2}=-a^2x^2+2(a^2+a)x-(a^2+a) και : 2xe^{x^2}=-2a^2x+2(a^2+a) .

Πολλαπλασιάζω την πρώτη επί x και απλοποιώ το 2 από την δεύτερη και παίρνω :

xe^{x^2}=-a^2x^3+2(a^2+a)x^2-(a^2+a)x και : xe^{x^2}=-a^2x+(a^2+a) .

Εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη , καταλήγω στην : a^2x^3-2(a^2+a)x^2+ax+a^2+a=0

η οποία γράφεται (Horner) : a(x-1)(ax^2-(a+2)x-(a+1)=0 .

Αυτή έχει ασφαλώς ρίζα το x=1 , η οποία με αντικατάσταση δίνει : a=e

Τελικά η κοίλη συνάρτηση είναι η : g(x)=-e^2x^2+2(e^2+e)x-(e^2+e) και το σημείο

επαφής των δύο γραφικών παραστάσεων το S(1,e) .

Αλλά μήπως υπάρχουν και άλλες τιμές του θετικού a ;


abgd
Δημοσιεύσεις: 178
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Δευ Δεκ 09, 2019 4:47 pm

gbaloglou έγραψε:
Δευ Δεκ 09, 2019 12:41 pm
Στην παραπάνω υπόθεση αρκεί τα δύο όρια να είναι αμφότερα θετικά ...
Ναι... πολύ σωστή η παρατήρηση του Γιώργου, και η οποία οδηγεί σ' ένα πιο ολοκληρωμένο λήμμα

για τις ανάγκες του προβλήματος που θέτει ο Θανάσης.

Δεν χρειάζεται να είναι ίσα τα όρια:

\lim\limits_{x\to -\infty}(f(x)-g(x)), \ \ \ \lim\limits_{x\to +\infty}(f(x)-g(x)) .

Αρκεί το πρώτο να είναι l_1 και το δεύτερο l_2 με l_1, l_2 θετικούς αριθμούς ή +\infty.

Αυτό που θα αλλάξει στην απόδειξη είναι τα σύνολα τιμών στις περιπτώσεις (1), (2), κάτι που δεν επηρεάζει τα συμπεράσματα.


abgd
Δημοσιεύσεις: 178
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Δευ Δεκ 09, 2019 4:51 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 09, 2019 1:42 pm
Αλλά μήπως υπάρχουν και άλλες τιμές του θετικού a ;
Θανάση, οι πράξεις σου είναι σωστές - η λύση εφαρμόζει το λήμμα, άρα αυτό δεν γίνεται!


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11199
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 09, 2019 7:51 pm

ΣΧ.4.png
ΣΧ.4.png (6.85 KiB) Προβλήθηκε 167 φορές
Ερώτημα 4 : Βρείτε τον θετικό αριθμό a , για τον οποίο οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

f(x)=x+\sqrt{x^2+1} και : g(x)=\dfrac{ae^x-1}{e^x} , έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο .

Απάντηση : Είναι : f'(x)=\dfrac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} και f''(x)=\dfrac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}>0 .

Επίσης : g(x)=a-e^{-x} , συνεπώς : g'(x)=e^{-x} και : g''(x)=-e^{-x}<0 .

Τώρα ( με εφαρμογή του λήμματος ) τα πράγματα είναι απλά : Από την ισότητα f'(x)=g'(x)

προκύπτει η εξίσωση : \dfrac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{1}{e^x} , η οποία έχει προφανή λύση την x=0 ,

που είναι και μοναδική αφού f' γν. αύξουσα και g' γν. φθίνουσα ( μη κοιτάτε τους

τύπους των f' , g' , μην ξεχνάτε ότι η f είναι κοίλη ενώ η g κυρτή ! )

Αλλά αφού f(0)=1 είναι και g(0)=1 , δηλαδή a=2 και το σημείο είναι το (0,1) .

Σημείωση : επιβεβαιώστε ότι : \lim\limits_{x\to -\infty}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to +\infty}(f(x)-g(x))=+\infty .


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2729
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Δεκ 10, 2019 1:10 am

abgd έγραψε:
Δευ Δεκ 09, 2019 4:51 pm
KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 09, 2019 1:42 pm
Αλλά μήπως υπάρχουν και άλλες τιμές του θετικού a ;
Θανάση, οι πράξεις σου είναι σωστές - η λύση εφαρμόζει το λήμμα, άρα αυτό δεν γίνεται!
OXI, δεν προκύπτει (άμεσα) από το λήμμα αυτό, θέλει δουλειά!

Χρησιμοποιώντας τις e^{x^2}=-a^2x^2+2(a^2+a)x-(a^2+a) KAI ax^2=(a+2)x+(a+1), μαζί με γνωστή ανισότητα, λαμβάνουμε

1+x^2<a^2x-2a^2-2a.

Επιλύοντας τώρα την ax^2=(a+2)x+(a+1) ως προς x, και κρατώντας την μόνη αποδεκτή (θετική) ρίζα, οδηγούμαστε στην

1+\dfrac{a+2}{a}\cdot\dfrac{a+2+\sqrt{(a+2)^2+4a(a+1)}}{2a}+\dfrac{a+1}{a}<

a^2\cdot\dfrac{a+2+\sqrt{(a+2)^2+4a(a+1)}}{2a}-2a^2-2a,

και από αυτήν στην

(3a^4+2a^3+5a^2+6a+4)<(a^3-a-2)\sqrt{(a+2)^2+4a(a+1)}.

Η ανισότητα αυτή μπορεί βεβαίως να ισχύει μόνον στην περίπτωση a^3-a-2\geq 0, οπότε τετραγωνίζοντας και παραγοντοποιώντας λαμβάνουμε

0<-4a^2(a^6+a^5+10a^4+23a^3+27a^2+16a+5),

ΑΤΟΠΟ (καθώς όλες οι ρίζες πλην της a=0 είναι μιγαδικές).

Συμπεραίνουμε ότι, ΟΝΤΩΣ, από την a(x-1)(ax^2-(a+2)x-(a+1))=0, που μας δίνει το λήμμα (λίγες δημοσιεύσεις πιο πάνω), ΜΟΝΟΝ η x=1 είναι αξιοποιήσιμη.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2729
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Δεκ 10, 2019 11:59 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 09, 2019 1:42 pm
ΣΧ.3.pngΕρώτημα 3 : Για ποια τιμή του θετικού a , οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

f(x)=e^{x^2} και :  g(x)=-a^2x^2+2(a^2+a)x-(a^2+a) , έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο ;

Απάντηση : Η f είναι κυρτή ( f''(x)=(4x^2+2)e^{x^2}>0 ) και η g κοίλη ( g''(x)=-2a^2<0 ) .

Συνεπώς έχουν όλες τις προϋποθέσεις εφαρμογής του παραπάνω λήμματος . Βρισκόμαστε λοιπόν μπροστά

στο σύστημα : e^{x^2}=-a^2x^2+2(a^2+a)x-(a^2+a) και : 2xe^{x^2}=-2a^2x+2(a^2+a) .

Πολλαπλασιάζω την πρώτη επί x και απλοποιώ το 2 από την δεύτερη και παίρνω :

xe^{x^2}=-a^2x^3+2(a^2+a)x^2-(a^2+a)x και : xe^{x^2}=-a^2x+(a^2+a) .

Εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη , καταλήγω στην : a^2x^3-2(a^2+a)x^2+ax+a^2+a=0

η οποία γράφεται (Horner) : a(x-1)(ax^2-(a+2)x-(a+1)=0 .

Αυτή έχει ασφαλώς ρίζα το x=1 , η οποία με αντικατάσταση δίνει : a=e

Τελικά η κοίλη συνάρτηση είναι η : g(x)=-e^2x^2+2(e^2+e)x-(e^2+e) και το σημείο

επαφής των δύο γραφικών παραστάσεων το S(1,e) .

Αλλά μήπως υπάρχουν και άλλες τιμές του θετικού a ;
Για θετικό a ξεκαθαρίσαμε το ζήτημα στην αμέσως προηγούμενη δημοσίευση, ας δούμε τώρα και την πολύ πιο εύκολη περίπτωση αρνητικού a: σ' αυτήν την περίπτωση δεν υπάρχει καν δυνατότητα τομής των δύο καμπύλων, καθώς ... αφ' ενός μεν e^{x^2}\geq 1, αφ' ετέρου δε -a^2x^2+2(a^2+a)x-(a^2+a)\leq 1\leftrightarrow a^2x^2-2(a^2+a)x+(a^2+a+1)\geq 0 (λόγω αρνητικής διακρίνουσας 8a^3).


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες