Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης
Συντονιστής: emouroukos
Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης
Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης .
Παρακάτω θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις , ορισμένες και δις παραγωγίσιμες στο ,
με την γνησίως αύξουσα και την γνησίως φθίνουσα , δηλαδή κυρτή και κοίλη .
Ερώτημα 1 : Για ποια τιμή του πραγματικού , οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :
και : , έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο ;
Απάντηση : Αρκεί η εξίσωση : να έχει μοναδική λύση , ισοδύναμα αρκεί η εξίσωση :
, να έχει μηδενική διακρίνουσα , δηλαδή τελικά να είναι .
Πράγματι τότε : και .
Παρατηρώ ότι : , δηλαδή : και , δηλαδή : .
Τουτέστιν οι δύο συναρτήσεις έχουν την ίδια εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο . Ερώτημα 2 : Για ποια τιμή του θετικού , οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :
και : , έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο ;
Συνεχίζεται ...
Παρακάτω θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις , ορισμένες και δις παραγωγίσιμες στο ,
με την γνησίως αύξουσα και την γνησίως φθίνουσα , δηλαδή κυρτή και κοίλη .
Ερώτημα 1 : Για ποια τιμή του πραγματικού , οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :
και : , έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο ;
Απάντηση : Αρκεί η εξίσωση : να έχει μοναδική λύση , ισοδύναμα αρκεί η εξίσωση :
, να έχει μηδενική διακρίνουσα , δηλαδή τελικά να είναι .
Πράγματι τότε : και .
Παρατηρώ ότι : , δηλαδή : και , δηλαδή : .
Τουτέστιν οι δύο συναρτήσεις έχουν την ίδια εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο . Ερώτημα 2 : Για ποια τιμή του θετικού , οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :
και : , έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο ;
Συνεχίζεται ...
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης
Θέλουμε η εξίσωση : , ισοδύναμα η : , να έχει μοναδική λύση .
Αυτό μπορεί να συμβεί ή αν : , κάτι που βλέπουμε ότι δεν μπορεί να συμβεί
ή αν : - με το τριώνυμα να έχει αρνητική διακρίνουσα - δηλαδή :
.
Οδηγούμαστε λοιπόν στο σύστημα : ,
το οποίο με επίπονες πράξεις οδηγεί στην λύση : και .
Τελικά είναι : , συνεπώς η τετμημένη
του ζητούμενου σημείου είναι , δηλαδή . Πάλι παρατηρούμε ότι :
, δηλαδή : και : , δηλαδή :
Τουτέστιν οι δύο συναρτήσεις έχουν την ίδια εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο .
Αρχίζει να διαμορφώνεται η εικασία , μην τυχόν το μοναδικό κοινό σημείο κυρτής και κοίλης είναι και
σημείο επαφής . Το αντιπαράδειγμα των και καταρρίπτει την εικασία .
Μήπως λοιπόν μπορούμε να εντοπίσουμε εκείνη την ( μεγάλη ) κλάση συναρτήσεων , για τις οποίες
η εικασία ισχύει ;
Σημείωση : Αν η εικασία ισχύει για τις συναρτήσεις του ερωτήματος 2 , έχουμε να λύσουμε το πολύ
ευκολότερο σύστημα : .
Λύστε αυτό το σύστημα , είναι όμορφο ! Ερώτημα 3 : Για ποια τιμή του θετικού , οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :
και : , έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο ;
Συνεχίζεται ... ( ο συντελεστής του είναι : )
Αυτό μπορεί να συμβεί ή αν : , κάτι που βλέπουμε ότι δεν μπορεί να συμβεί
ή αν : - με το τριώνυμα να έχει αρνητική διακρίνουσα - δηλαδή :
.
Οδηγούμαστε λοιπόν στο σύστημα : ,
το οποίο με επίπονες πράξεις οδηγεί στην λύση : και .
Τελικά είναι : , συνεπώς η τετμημένη
του ζητούμενου σημείου είναι , δηλαδή . Πάλι παρατηρούμε ότι :
, δηλαδή : και : , δηλαδή :
Τουτέστιν οι δύο συναρτήσεις έχουν την ίδια εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο .
Αρχίζει να διαμορφώνεται η εικασία , μην τυχόν το μοναδικό κοινό σημείο κυρτής και κοίλης είναι και
σημείο επαφής . Το αντιπαράδειγμα των και καταρρίπτει την εικασία .
Μήπως λοιπόν μπορούμε να εντοπίσουμε εκείνη την ( μεγάλη ) κλάση συναρτήσεων , για τις οποίες
η εικασία ισχύει ;
Σημείωση : Αν η εικασία ισχύει για τις συναρτήσεις του ερωτήματος 2 , έχουμε να λύσουμε το πολύ
ευκολότερο σύστημα : .
Λύστε αυτό το σύστημα , είναι όμορφο ! Ερώτημα 3 : Για ποια τιμή του θετικού , οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :
και : , έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο ;
Συνεχίζεται ... ( ο συντελεστής του είναι : )
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Σάβ Δεκ 07, 2019 8:13 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης
Αρκεί η συνάρτηση-διαφορά της κυρτής μείον την κοίλη να μην έχει οριζόντιες ασύμπτωτες. Πράγματι, σ' αυτήν την περίπτωση έχουμε μία κυρτή συνάρτηση με κλίσεις αυξανόμενες από κάποιον αρνητικό αριθμό (πιθανώς το ) σε κάποιον θετικό αριθμό (πιθανώς το ), άρα και μοναδικό σημείο μηδενικής κλίσης, . Αν τότε έχουμε δύο σημεία μηδενισμού της (εκατέρωθεν του ), αν τότε δεν έχουμε κανένα σημείο μηδενισμού της : και στις δύο περιπτώσεις έχουμε άτοπο, αφού σύμφωνα με την υπόθεση η μηδενίζεται σε ένα ακριβώς σημείο. Άρα , και το μοναδικό κοινό σημείο των , είναι και σημείο ισότητας των παραγώγων τους.KARKAR έγραψε: ↑Παρ Δεκ 06, 2019 10:30 am
Αρχίζει να διαμορφώνεται η εικασία , μην τυχόν το μοναδικό κοινό σημείο κυρτής και κοίλης είναι και
σημείο επαφής . Το αντιπαράδειγμα των και καταρρίπτει την εικασία .
Μήπως λοιπόν μπορούμε να εντοπίσουμε εκείνη την ( μεγάλη ) κλάση συναρτήσεων , για τις οποίες
η εικασία ισχύει ;
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης
Η απάντηση του Γιώργου - τον οποίο ευχαριστώ - ( και στην οποία επεδίωκα να καταλήξουμε ) , διευκολύνει
την λύση και των τριών ερωτημάτων που τέθηκαν παραπάνω , δίνουν επίσης απάντηση στο :
Ερώτημα 4 : Βρείτε τον θετικό αριθμό , για τον οποίο οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :
και : , έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο .
Μπορείτε να κάνετε το ίδιο και για τις : και : ,
( αυτή και χωρίς χρήση του λήμματος ! ) , ώστε να κλείσουμε μιαν εκκρεμότητα από εδώ .
την λύση και των τριών ερωτημάτων που τέθηκαν παραπάνω , δίνουν επίσης απάντηση στο :
Ερώτημα 4 : Βρείτε τον θετικό αριθμό , για τον οποίο οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :
και : , έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο .
Μπορείτε να κάνετε το ίδιο και για τις : και : ,
( αυτή και χωρίς χρήση του λήμματος ! ) , ώστε να κλείσουμε μιαν εκκρεμότητα από εδώ .
Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης
Αυτό δεν είναι απαραίτητο - μπορεί η κλίση να είναι συνεχώς θετικός αριθμός.gbaloglou έγραψε: ↑Παρ Δεκ 06, 2019 9:16 pmΑρκεί η συνάρτηση-διαφορά της κυρτής μείον την κοίλη να μην έχει οριζόντιες ασύμπτωτες. Πράγματι, σ' αυτήν την περίπτωση έχουμε μία κυρτή συνάρτηση με κλίσεις αυξανόμενες από κάποιον αρνητικό αριθμό (πιθανώς το ) σε κάποιον θετικό αριθμό (πιθανώς το ), άρα και μοναδικό σημείο μηδενικής κλίσης, . Αν τότε έχουμε δύο σημεία μηδενισμού της (εκατέρωθεν του ), αν τότε δεν έχουμε κανένα σημείο μηδενισμού της : και στις δύο περιπτώσεις έχουμε άτοπο, αφού σύμφωνα με την υπόθεση η μηδενίζεται σε ένα ακριβώς σημείο. Άρα , και το μοναδικό κοινό σημείο των , είναι και σημείο ισότητας των παραγώγων τους.KARKAR έγραψε: ↑Παρ Δεκ 06, 2019 10:30 am
Αρχίζει να διαμορφώνεται η εικασία , μην τυχόν το μοναδικό κοινό σημείο κυρτής και κοίλης είναι και
σημείο επαφής . Το αντιπαράδειγμα των και καταρρίπτει την εικασία .
Μήπως λοιπόν μπορούμε να εντοπίσουμε εκείνη την ( μεγάλη ) κλάση συναρτήσεων , για τις οποίες
η εικασία ισχύει ;
Παράδειγμα
οι συναρτήσεις:
,
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης
Σωστά, άρα ασφαλέστερο και σωστότερο είναι να απαιτήσουμε την ύπαρξη σημείου τέτοιου ώστε : αυτό σκεφτόμουν να το γράψω ούτως ή άλλως, χωρίς πάντως να έχω δει το λάθος μου που επισημαίνεται παραπάνω.abgd έγραψε: ↑Σάβ Δεκ 07, 2019 1:24 pmΑυτό δεν είναι απαραίτητο - μπορεί η κλίση να είναι συνεχώς θετικός αριθμός.gbaloglou έγραψε: ↑Παρ Δεκ 06, 2019 9:16 pmΑρκεί η συνάρτηση-διαφορά της κυρτής μείον την κοίλη να μην έχει οριζόντιες ασύμπτωτες. Πράγματι, σ' αυτήν την περίπτωση έχουμε μία κυρτή συνάρτηση με κλίσεις αυξανόμενες από κάποιον αρνητικό αριθμό (πιθανώς το ) σε κάποιον θετικό αριθμό (πιθανώς το ), άρα και μοναδικό σημείο μηδενικής κλίσης, . Αν τότε έχουμε δύο σημεία μηδενισμού της (εκατέρωθεν του ), αν τότε δεν έχουμε κανένα σημείο μηδενισμού της : και στις δύο περιπτώσεις έχουμε άτοπο, αφού σύμφωνα με την υπόθεση η μηδενίζεται σε ένα ακριβώς σημείο. Άρα , και το μοναδικό κοινό σημείο των , είναι και σημείο ισότητας των παραγώγων τους.KARKAR έγραψε: ↑Παρ Δεκ 06, 2019 10:30 am
Αρχίζει να διαμορφώνεται η εικασία , μην τυχόν το μοναδικό κοινό σημείο κυρτής και κοίλης είναι και
σημείο επαφής . Το αντιπαράδειγμα των και καταρρίπτει την εικασία .
Μήπως λοιπόν μπορούμε να εντοπίσουμε εκείνη την ( μεγάλη ) κλάση συναρτήσεων , για τις οποίες
η εικασία ισχύει ;
Παράδειγμα
οι συναρτήσεις:
,
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης
Λήμμα : Αν οι συναρτήσεις είναι δις παραγωγίσιμες στο , με την κυρτή την κοίλη και :
, τότε αν οι γραφικές τους έχουν
μοναδικό κοινό σημείο , αυτό θα είναι σημείο επαφής , δηλαδή οι δύο καμπύλες θα έχουν
στο κοινό τους σημείο κοινή εφαπτομένη . Τουτέστιν : και .
Σημείωση : Το λήμμα με κατάλληλες προσαρμογές μπορεί να ισχύει και για συναρτήσεις με στενότερα πεδία ορισμού .
Το λήμμα αυτό διευκολύνει την επίλυση των ερωτημάτων που τέθηκαν παραπάνω . Δοκιμάστε το !
, τότε αν οι γραφικές τους έχουν
μοναδικό κοινό σημείο , αυτό θα είναι σημείο επαφής , δηλαδή οι δύο καμπύλες θα έχουν
στο κοινό τους σημείο κοινή εφαπτομένη . Τουτέστιν : και .
Σημείωση : Το λήμμα με κατάλληλες προσαρμογές μπορεί να ισχύει και για συναρτήσεις με στενότερα πεδία ορισμού .
Το λήμμα αυτό διευκολύνει την επίλυση των ερωτημάτων που τέθηκαν παραπάνω . Δοκιμάστε το !
Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης
KARKAR έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 08, 2019 7:47 amΛήμμα : Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο , με την κυρτή την κοίλη και :
, τότε αν οι γραφικές τους έχουν
μοναδικό κοινό σημείο , αυτό θα είναι σημείο επαφής , δηλαδή οι δύο καμπύλες θα έχουν
στο κοινό τους σημείο κοινή εφαπτομένη . Τουτέστιν : και .
Σημείωση : Το λήμμα με κατάλληλες προσαρμογές μπορεί να ισχύει και για συναρτήσεις με στενότερα πεδία ορισμού .
Το λήμμα αυτό διευκολύνει την επίλυση των ερωτημάτων που τέθηκαν παραπάνω . Δοκιμάστε το !
Θανάση μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γενικότερο:
Λήμμα : Αν οι συναρτήσεις είναι δις παραγωγίσιμες στο διάστημα , με την κυρτή την κοίλη και :
, τότε
αν οι γραφικές παραστάσεις τους έχουν μοναδικό κοινό σημείο,
αυτό θα είναι σημείο επαφής , δηλαδή οι δύο καμπύλες θα έχουν
στο κοινό τους σημείο κοινή εφαπτομένη . Τουτέστιν : και .
Απόδειξη
Έστω η συνάρτηση και η τετμημένη του μοναδικού κοινού σημείου των γραφικών παραστάσεων των .
Ισχύουν: μοναδική ρίζα της , η είναι γνησίως αύξουσα και
Υπάρχουν δύο περιπτώσεις:
1. Υπάρχει και 2.
Αν έχουμε την (1) τότε η θα είναι γνησίως φθίνουσα στο και γνησίως αύξουσα στο και έτσι θα είναι:
και, εφόσον το είναι τιμή της στο ,
δεν μπορεί το να είναι διαφορετικό από το , αφού τότε θα υπήρχε και δεύτερο σημείο μηδενισμού της .
Αν έχουμε τη (2) τότε η θα διατηρεί σταθερό πρόσημο οπότε η θα είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο το οποίο
είναι αδύνατο αφού
Τελικά πρέπει
Σημείωση 1: Προφανώς δεν είναι απαραίτητο τα να είναι πεπερασμένα.
Σημείωση 2: Από τα παραπάνω προκύπτει άμεσα ότι η έχει ελάχιστο στο δηλαδή: με το ίσον να
ισχύει μόνο στο και αυτό είναι ισοδύναμο με την προϋπόθεση του λήμματος:
και οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν μοναδικό κοινό σημείο, - το ισοδύναμο με την έννοια ότι μπορεί η πρώτη να αντικαταστήσει τη δεύτερη.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης
abgd έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 08, 2019 11:49 amKARKAR έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 08, 2019 7:47 amΛήμμα : Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο , με την κυρτή την κοίλη και :
, τότε αν οι γραφικές τους έχουν
μοναδικό κοινό σημείο , αυτό θα είναι σημείο επαφής , δηλαδή οι δύο καμπύλες θα έχουν
στο κοινό τους σημείο κοινή εφαπτομένη . Τουτέστιν : και .
Σημείωση : Το λήμμα με κατάλληλες προσαρμογές μπορεί να ισχύει και για συναρτήσεις με στενότερα πεδία ορισμού .
Το λήμμα αυτό διευκολύνει την επίλυση των ερωτημάτων που τέθηκαν παραπάνω . Δοκιμάστε το !
Θανάση μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γενικότερο:
Λήμμα : Αν οι συναρτήσεις είναι δις παραγωγίσιμες στο διάστημα , με την κυρτή την κοίλη και :
, τότε
αν οι γραφικές παραστάσεις τους έχουν μοναδικό κοινό σημείο,
αυτό θα είναι σημείο επαφής , δηλαδή οι δύο καμπύλες θα έχουν
στο κοινό τους σημείο κοινή εφαπτομένη . Τουτέστιν : και .
Απόδειξη
Έστω η συνάρτηση και η τετμημένη του μοναδικού κοινού σημείου των γραφικών παραστάσεων των .
Ισχύουν: μοναδική ρίζα της , η είναι γνησίως αύξουσα και
Υπάρχουν δύο περιπτώσεις:
1. Υπάρχει και 2.
Αν έχουμε την (1) τότε η θα είναι γνησίως φθίνουσα στο και γνησίως αύξουσα στο και έτσι θα είναι:
και, εφόσον το είναι τιμή της στο ,
δεν μπορεί το να είναι διαφορετικό από το , αφού τότε θα υπήρχε και δεύτερο σημείο μηδενισμού της .
Αν έχουμε τη (2) τότε η θα διατηρεί σταθερό πρόσημο οπότε η θα είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο το οποίο
είναι αδύνατο αφού
Τελικά πρέπει
Στην παραπάνω υπόθεση αρκεί τα δύο όρια να είναι αμφότερα θετικά ... καθώς είναι τότε δυνατόν με περιορισμό του αρχικού διαστήματος (ώστε να εξακολουθεί πάντως να περιέχει το ) να υποθέσουμε την επιθυμητή ισότητα των δύο ορίων στα άκρα του διαστήματος.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης
και : , έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο ;
Απάντηση : Η είναι κυρτή ( ) και η κοίλη ( ) .
Συνεπώς έχουν όλες τις προϋποθέσεις εφαρμογής του παραπάνω λήμματος . Βρισκόμαστε λοιπόν μπροστά
στο σύστημα : και : .
Πολλαπλασιάζω την πρώτη επί και απλοποιώ το από την δεύτερη και παίρνω :
και : .
Εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη , καταλήγω στην :
η οποία γράφεται (Horner) : .
Αυτή έχει ασφαλώς ρίζα το , η οποία με αντικατάσταση δίνει :
Τελικά η κοίλη συνάρτηση είναι η : και το σημείο
επαφής των δύο γραφικών παραστάσεων το .
Αλλά μήπως υπάρχουν και άλλες τιμές του θετικού ;
Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης
Ναι... πολύ σωστή η παρατήρηση του Γιώργου, και η οποία οδηγεί σ' ένα πιο ολοκληρωμένο λήμμα
για τις ανάγκες του προβλήματος που θέτει ο Θανάσης.
Δεν χρειάζεται να είναι ίσα τα όρια:
.
Αρκεί το πρώτο να είναι και το δεύτερο με θετικούς αριθμούς ή .
Αυτό που θα αλλάξει στην απόδειξη είναι τα σύνολα τιμών στις περιπτώσεις (1), (2), κάτι που δεν επηρεάζει τα συμπεράσματα.
Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης
Θανάση, οι πράξεις σου είναι σωστές - η λύση εφαρμόζει το λήμμα, άρα αυτό δεν γίνεται!
Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης
και : , έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο .
Απάντηση : Είναι : και .
Επίσης : , συνεπώς : και : .
Τώρα ( με εφαρμογή του λήμματος ) τα πράγματα είναι απλά : Από την ισότητα
προκύπτει η εξίσωση : , η οποία έχει προφανή λύση την ,
που είναι και μοναδική αφού γν. αύξουσα και γν. φθίνουσα ( μη κοιτάτε τους
τύπους των , μην ξεχνάτε ότι η είναι κοίλη ενώ η κυρτή ! )
Αλλά αφού είναι και , δηλαδή και το σημείο είναι το .
Σημείωση : επιβεβαιώστε ότι : .
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης
OXI, δεν προκύπτει (άμεσα) από το λήμμα αυτό, θέλει δουλειά!
Χρησιμοποιώντας τις KAI , μαζί με γνωστή ανισότητα, λαμβάνουμε
Επιλύοντας τώρα την ως προς , και κρατώντας την μόνη αποδεκτή (θετική) ρίζα, οδηγούμαστε στην
και από αυτήν στην
Η ανισότητα αυτή μπορεί βεβαίως να ισχύει μόνον στην περίπτωση , οπότε τετραγωνίζοντας και παραγοντοποιώντας λαμβάνουμε
ΑΤΟΠΟ (καθώς όλες οι ρίζες πλην της είναι μιγαδικές).
Συμπεραίνουμε ότι, ΟΝΤΩΣ, από την , που μας δίνει το λήμμα (λίγες δημοσιεύσεις πιο πάνω), ΜΟΝΟΝ η είναι αξιοποιήσιμη.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Κοινά σημεία κυρτής και κοίλης
Για θετικό ξεκαθαρίσαμε το ζήτημα στην αμέσως προηγούμενη δημοσίευση, ας δούμε τώρα και την πολύ πιο εύκολη περίπτωση αρνητικού : σ' αυτήν την περίπτωση δεν υπάρχει καν δυνατότητα τομής των δύο καμπύλων, καθώς ... αφ' ενός μεν , αφ' ετέρου δε (λόγω αρνητικής διακρίνουσας ).KARKAR έγραψε: ↑Δευ Δεκ 09, 2019 1:42 pmΣΧ.3.pngΕρώτημα 3 : Για ποια τιμή του θετικού , οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :
και : , έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο ;
Απάντηση : Η είναι κυρτή ( ) και η κοίλη ( ) .
Συνεπώς έχουν όλες τις προϋποθέσεις εφαρμογής του παραπάνω λήμματος . Βρισκόμαστε λοιπόν μπροστά
στο σύστημα : και : .
Πολλαπλασιάζω την πρώτη επί και απλοποιώ το από την δεύτερη και παίρνω :
και : .
Εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη , καταλήγω στην :
η οποία γράφεται (Horner) : .
Αυτή έχει ασφαλώς ρίζα το , η οποία με αντικατάσταση δίνει :
Τελικά η κοίλη συνάρτηση είναι η : και το σημείο
επαφής των δύο γραφικών παραστάσεων το .
Αλλά μήπως υπάρχουν και άλλες τιμές του θετικού ;
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες