Νότιο τμήμα
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
Νότιο τμήμα
το συμμετρικό ως προς την , ονομάζω . Οι τέμνουν τις στα σημεία
και αντίστοιχα . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Νότιο τμήμα
Καλησπέρα!
Έστω .Στα ορθογώνια το είναι ύψος προς την υποτείνουσα άρα και
Θεώρημα Μενελάου στα διατέμνουσων αντίστοιχα:
Άρα με
Re: Νότιο τμήμα
Τόπο στα νιάτα !ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Τετ Δεκ 04, 2019 6:26 pm175.PNG
Καλησπέρα!
Έστω .Στα ορθογώνια το είναι ύψος προς την υποτείνουσα άρα και
Θεώρημα Μενελάου στα διατέμνουσων αντίστοιχα:
Άρα με
"Τον γέροντα ρωτήξανε : την δόξα ή τον θρόνο , κι ο γέροντας απήντησε : Θέλω τα νιάτα μόνο "
Re: Νότιο τμήμα
Αν και η πολύ όμορφη λύση του νεαρού Φωτιάδη αποθαρρύνει για άλλη λύση, ας τι δούμε λίγο διαφορετικά κι... ανάποδα .
Το είναι το άλλο κοινό σημείο των κύκλων .
Θεωρώ τις που τέμνουν τις στα και στα την παράλληλη από το στην .
Θα δείξω ότι και .
Ας είναι θα είναι έτσι : .
Από τη δύναμη του σημείου ως προς τους δύο κύκλους έχω:
Επειδή :
Άρα : Μετά απ’ αυτά θα έχω:
που, λόγω συμμετρίας, μας εξασφαλίζει ότι : .
Αλλά :
Το είναι το άλλο κοινό σημείο των κύκλων .
Θεωρώ τις που τέμνουν τις στα και στα την παράλληλη από το στην .
Θα δείξω ότι και .
Ας είναι θα είναι έτσι : .
Από τη δύναμη του σημείου ως προς τους δύο κύκλους έχω:
Επειδή :
Άρα : Μετά απ’ αυτά θα έχω:
που, λόγω συμμετρίας, μας εξασφαλίζει ότι : .
Αλλά :
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Νότιο τμήμα
Μετά την πολύ ωραία λύση του Πρόδρομου καταφεύγω σε άλλες μεθόδους. Εύκολα διαπιστώνω ότι
Ή άσκηση έχει λοιπόν τις ίδιες προδιαγραφές με αυτήν (που επίσης έλυσε ο Πρόδρομος ). Σύμφωνα με αυτή την άσκηση το είναι εγγράψιμο σε κύκλο με κέντρο ( ώστε ) και ακτίνα
Ο κύκλος αυτός τέμνει την στα σημεία που διαιρούν αρμονικά τα τμήματα Επίσης,
είναι άρα και ομοίως και σε
συνδυασμό με Πυθαγόρειο στα βρίσκω Στο τρίγωνο όλες οι
πλευρές είναι γνωστές, οπότε εύκολα βρίσκω και άρα
Τέλος στο τρίγωνο
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Νότιο τμήμα
Απόδειξη της παραλληλίας
Είναι γνωστό ότι (σχ.1) αν τέμνουσες δυο τεμνόμενων κύκλων,τότε
Στο σχ.2 οι τέμνουσες αυτές είναι άρα, και προφανώς οι πράσινες γωνίες είναι ίσες
Ακόμη, λόγω του εγγράψιμου και οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες,συνεπώς
εγγράψιμο και τώρα η ισότητα των μπλε γωνιών είναι προφανής .Άρα
Εύρεση των και υπολογισμός του
Με ορθόκεντρο του
Αλλά οι μαύρες γωνίες είναι ίσες και .Άρα
Έτσι και άρα
Τέλος ,ο Μενέλαος στο με διατέμνουσα δίνει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες