Μοναδικό κοινό σημείο
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
Μοναδικό κοινό σημείο
Βρείτε θετικό αριθμό , για τον οποίον οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :
και : , έχουν ένα μόνο κοινό σημείο .
Αν χρειαστεί να λύσετε σύστημα , πρέπει να δείξετε ακριβώς πως το λύσατε
και : , έχουν ένα μόνο κοινό σημείο .
Αν χρειαστεί να λύσετε σύστημα , πρέπει να δείξετε ακριβώς πως το λύσατε
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Μοναδικό κοινό σημείο
Ας λύσουμε πρώτα μιαν απλούστερη εκδοχή :
Βρείτε θετικό αριθμό , για τον οποίον οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :
και : , έχουν ένα μόνο κοινό σημείο .
Αν χρειαστεί να λύσετε σύστημα , πρέπει να δείξετε ακριβώς πως το λύσατε
Βρείτε θετικό αριθμό , για τον οποίον οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :
και : , έχουν ένα μόνο κοινό σημείο .
Αν χρειαστεί να λύσετε σύστημα , πρέπει να δείξετε ακριβώς πως το λύσατε
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: Μοναδικό κοινό σημείο
θεωρούμε έχουμε
Εύκολα βρίσκουμε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει δύο τοπικά ακρότατα , τοπικό μέγιστο για και τοπικό ελάχιστο για
Προφανώς ...για να έχουμε μοναδική θέση μηδενισμού πρέπει το τοπικό ελάχιστο να είναι θετικό, δηλαδή
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: Μοναδικό κοινό σημείο
Ας δούμε και την απλούστερη , θα ακολουθήσω ακριβώς ότι λέει η εκφώνηση.
Για έχω την εξίσωση
Αν τότε
αδύνατον για κάθε .
Αν τότε
μοναδική θετική λύση λοιπόν για .
Τελικά βρήκαμε έναν θετικό αριθμό , τον εννέα.
Edit: Καλύτερα το προηγούμενο να το διατύπωνα ως εξής "Τελικά βρήκαμε θετικό αριθμό , τον εννέα."
Να απευθύνω και εγώ ένα ερώτημα,
Ποιος είναι ο ελάχιστος θετικός αριθμός για τον οποίο οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :
και : , έχουν ένα μόνο κοινό σημείο.
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Μοναδικό κοινό σημείο
Παρόμοιες με του κ.Χρήστου παραπάνω ήταν και οι δικές μου σκέψεις.
Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το να βρούμε τα για το οποία η εξίσωση έχει μοναδική λύση. Παρατηρούμε ότι αν για κάποιο η εξίσωση έχει μια λύση τότε αυτή θα είναι λύση και της εξίσωσης καθώς και το αντίστροφο. Άρα το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με ο να βρούμε για τα οποία η εξίσωση
έχει μοναδική λύση.
Θέτουμε . Η αλλαγή αυτή δημιουργεί ισοδύναμο πρόβλημα με το αρχικό αφού είναι σχέση. Έτσι, ψάχνουμε τα για τα οποία η εξίσωση
έχει μοναδική λύση.
Μελετάμε την συνάρτηση , ως προς την μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. Η έχει τοπικό μέγιστο στο σημείο και τοπικό ελάχιστο στο σημείο . Από την μονοτονία και τις παραπάνω τιμές των τοπικών ακροτάτων προκύπτει ότι θα υπάρχουν για το οποίο θα ισχύει και για το οποίο .
Σε καθένα από τα διαστήματα , και η είναι συνεχής. Για κάθε που ικανοποιεί την θα υπάρχει ένα τουλάχιστον για το οποίο . Δηλαδή στο διάστημα υπάρχουν τουλάχιστον τρεις λύσεις. Για θα είναι , άρα δεν θα υπάρχουν τέτοια .
Αν θα είναι και λόγο της μονοτονίας για κάθε θα υπάρχει μοναδικό για το οποίο .
Άρα για να υπάρχει μοναδική λύση της εξίσωσης θα πρέπει .
Re: Μοναδικό κοινό σημείο
Ξεκινάμε από την απλή εκδοχή : Για , η συνάρτηση : , είναι κυρτή και δεν παίρνει
αρνητικές τιμές . Αντίθετα η , είναι κοίλη και δεν έχει αρνητικές ρίζες .
Συνεπώς οι , αν έχουν κοινό σημείο , αυτό θα έχει θετική τετμημένη .
Θεωρούμε γνωστό ότι μία κυρτή και μία κοίλη συναρτήσεις , έχουν δύο , ένα ή κανένα κοινά σημεία .
Για να έχουν μόνο ένα , πρέπει και αρκεί να υπάρχει ( εδώ θετικό ) για το οποίο να ισχύουν :
και : . Αυτά οδηγούν στο σύστημα :
και : . Η μοναδική δεκτή λύση αυτού του συστήματος , είναι η : .
Στο σημείο αυτό ζητούσα να φανεί η επίλυση του συστήματος , κάτι που αναμένω ακόμη .
Μπορούμε τώρα να δούμε ότι για , έχουμε δύο σημεία τομής , ενώ για κανένα .
Βγάζοντας τώρα την απόλυτη τιμή από τον τύπο της , αυτόματα έχουμε κοινό σημείο, με αρνητική
τετμημένη (γιατί ; ) Συνεπώς πρέπει να πάρουμε το μικρότερο του , δηλαδή : .
Υπήρξαν ενστάσεις για το αν η αρχική εκφώνηση ήταν δόκιμη , αν δηλαδή το "βρείτε θετικό , ώστε : "
θα μπορούσε να παραπλανήσει τον λύτη . Η ένσταση έχει κάποια βάση , παρά ταύτα νομίζω ότι και
η αρχική εκφώνηση "στέκεται " .
αρνητικές τιμές . Αντίθετα η , είναι κοίλη και δεν έχει αρνητικές ρίζες .
Συνεπώς οι , αν έχουν κοινό σημείο , αυτό θα έχει θετική τετμημένη .
Θεωρούμε γνωστό ότι μία κυρτή και μία κοίλη συναρτήσεις , έχουν δύο , ένα ή κανένα κοινά σημεία .
Για να έχουν μόνο ένα , πρέπει και αρκεί να υπάρχει ( εδώ θετικό ) για το οποίο να ισχύουν :
και : . Αυτά οδηγούν στο σύστημα :
και : . Η μοναδική δεκτή λύση αυτού του συστήματος , είναι η : .
Στο σημείο αυτό ζητούσα να φανεί η επίλυση του συστήματος , κάτι που αναμένω ακόμη .
Μπορούμε τώρα να δούμε ότι για , έχουμε δύο σημεία τομής , ενώ για κανένα .
Βγάζοντας τώρα την απόλυτη τιμή από τον τύπο της , αυτόματα έχουμε κοινό σημείο, με αρνητική
τετμημένη (γιατί ; ) Συνεπώς πρέπει να πάρουμε το μικρότερο του , δηλαδή : .
Υπήρξαν ενστάσεις για το αν η αρχική εκφώνηση ήταν δόκιμη , αν δηλαδή το "βρείτε θετικό , ώστε : "
θα μπορούσε να παραπλανήσει τον λύτη . Η ένσταση έχει κάποια βάση , παρά ταύτα νομίζω ότι και
η αρχική εκφώνηση "στέκεται " .
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: Μοναδικό κοινό σημείο
γιατί; δηλαδή γιατί πρέπει να "εφάπτονται" στο σημείο;
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Re: Μοναδικό κοινό σημείο
Για να μην μπερδευόμαστε!...όταν έλεγα ότι είναι καλή άσκηση είχα υπόψιν μου αυτό:
Christos.N έγραψε: ↑Τρί Δεκ 03, 2019 1:09 pmθεωρούμε έχουμε
Εύκολα βρίσκουμε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει δύο τοπικά ακρότατα , τοπικό μέγιστο για και τοπικό ελάχιστο για
Προφανώς ...για να έχουμε μοναδική θέση μηδενισμού πρέπει το τοπικό ελάχιστο να είναι θετικό, δηλαδή
Re: Μοναδικό κοινό σημείο
Έχουμε δηλαδή το πρόβλημα:
Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο , έτσι ώστε η να είναι γνησίως αύξουσα, και η γνησίως φθίνουσα τότε:
α. Οι γραφικές τους παραστάσεις μπορούν να έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία.
β. Στην περίπτωση που οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο να εξετάσετε αν "εφάπτονται"
Απάντηση
α. Για την ισχύει ότι η είναι γνησίως αύξουσα και δεν μπορεί να έχει δύο άνισες ρίζες.
Αν οι γραφικές παραστάσεις των είχαν τρία διαφορετικά κοινά σημεία τότε, από Rolle, η θα είχε δύο άνισες ρίζες - άτοπο.
β. Όχι. Παράδειγμα: οι συναρτήσεις και
τελευταία επεξεργασία από abgd σε Τετ Δεκ 04, 2019 11:05 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Μοναδικό κοινό σημείο
Συνεχίζοντας το β.... Αν τώρα υποθέσουμε ότι η είναι πολυώνυμο και η τετμημένη του μοναδικού σημείου τομής των γραφικών παραστάσεων των τότε: και αν υποθέσουμε ότι τότε και έτσι η θα είναι πολυώνυμο περιττού βαθμού. Συνεπώς η θα είναι πολυώνυμο άρτιου βαθμού κάτι που, (μπορεί να δειχθεί εύκολα ), είναι αδύνατο αφού η είναι γνησίως αύξουσα. Τελικά θα πρέπει οπότε και .abgd έγραψε: ↑Τετ Δεκ 04, 2019 9:48 pm
Έχουμε δηλαδή το πρόβλημα:
Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο , έτσι ώστε η να είναι γνησίως αύξουσα, και η γνησίως φθίνουσα τότε:
α. Οι γραφικές τους παραστάσεις μπορούν να έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία.
β. Στην περίπτωση που οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο να εξετάσετε αν "εφάπτονται"
Απάντηση
α. Για την ισχύει ότι η είναι γνησίως αύξουσα και δεν μπορεί να έχει δύο άνισες ρίζες.
Αν οι γραφικές παραστάσεις των είχαν τρία διαφορετικά κοινά σημεία τότε, από Rolle, η θα είχε δύο άνισες ρίζες - άτοπο.
β. Όχι. Παράδειγμα: οι συναρτήσεις και
Άρα
στην περίπτωση που η είναι πολυώνυμο τότε οι γραφικές τους παραστάσεις των "εφάπτονται"
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Μοναδικό κοινό σημείο
abgd έγραψε: ↑Τετ Δεκ 04, 2019 11:04 pmΣυνεχίζοντας το β.... Αν τώρα υποθέσουμε ότι η είναι πολυώνυμο και η τετμημένη του μοναδικού σημείου τομής των γραφικών παραστάσεων των τότε: και αν υποθέσουμε ότι τότε και έτσι η θα είναι πολυώνυμο περιττού βαθμού. Συνεπώς η θα είναι πολυώνυμο άρτιου βαθμού κάτι που, (μπορεί να δειχθεί εύκολα ), είναι αδύνατο αφού η είναι γνησίως αύξουσα. Τελικά θα πρέπει οπότε και .abgd έγραψε: ↑Τετ Δεκ 04, 2019 9:48 pm
Έχουμε δηλαδή το πρόβλημα:
Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο , έτσι ώστε η να είναι γνησίως αύξουσα, και η γνησίως φθίνουσα τότε:
α. Οι γραφικές τους παραστάσεις μπορούν να έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία.
β. Στην περίπτωση που οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο να εξετάσετε αν "εφάπτονται"
Απάντηση
α. Για την ισχύει ότι η είναι γνησίως αύξουσα και δεν μπορεί να έχει δύο άνισες ρίζες.
Αν οι γραφικές παραστάσεις των είχαν τρία διαφορετικά κοινά σημεία τότε, από Rolle, η θα είχε δύο άνισες ρίζες - άτοπο.
β. Όχι. Παράδειγμα: οι συναρτήσεις και
Άρα
στην περίπτωση που η είναι πολυώνυμο τότε οι γραφικές τους παραστάσεις των "εφάπτονται"
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Μοναδικό κοινό σημείο
Η έχει γνησίως αύξουσα παράγωγο .
Η έχει γνησίως φθίνουσα παράγωγο.
Η έχει μοναδική ρίζα το
και δεν εφάπτονται εκεί.
Αν δεν μου ξεφεύγει κάτι απαντάω στο ερώτημα σου.
Re: Μοναδικό κοινό σημείο
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Πέμ Δεκ 05, 2019 12:32 pmΗ έχει γνησίως αύξουσα παράγωγο .
Η έχει γνησίως φθίνουσα παράγωγο.
Η έχει μοναδική ρίζα το
και δεν εφάπτονται εκεί.
Αν δεν μου ξεφεύγει κάτι απαντάω στο ερώτημα σου.
Αν κατάλαβα καλά... εννοείς ότι: οι συναρτήσεις ,
οι οποίες έχουν παραγώγους: ,
έχουν γνησίως αύξουσα και γνησίως φθίνουσα ;
Δηλαδή... η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα!! και η είναι γνησίως φθίνουσα!!!
... Τι μου κρύβετε;
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Μοναδικό κοινό σημείο
Τίποτα.Απλα την πάτησα.abgd έγραψε: ↑Πέμ Δεκ 05, 2019 5:01 pmΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Πέμ Δεκ 05, 2019 12:32 pmΗ έχει γνησίως αύξουσα παράγωγο .
Η έχει γνησίως φθίνουσα παράγωγο.
Η έχει μοναδική ρίζα το
και δεν εφάπτονται εκεί.
Αν δεν μου ξεφεύγει κάτι απαντάω στο ερώτημα σου.
Αν κατάλαβα καλά... εννοείς ότι: οι συναρτήσεις ,
οι οποίες έχουν παραγώγους: ,
έχουν γνησίως αύξουσα και γνησίως φθίνουσα ;
Δηλαδή... η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα!! και η είναι γνησίως φθίνουσα!!!
... Τι μου κρύβετε;
Αγνόησε το....
Re: Μοναδικό κοινό σημείο
Είναι φανερό ότι η τοποθέτηση του θέματος αυτού σε φάκελο Λυκείου , ήταν άστοχη
Παρά ταύτα , το λήμμα : "Μία κυρτή και μία κοίλη συναρτήσεις , έχουν δύο , ένα ή κανένα κοινά σημεία "
ισχύει , όπως απεδείχθη κομψότατα από τον παραπάνω . Το λήμμα :
"Αν μία κυρτή και μία κοίλη συναρτήσεις , έχουν ένα μόνο κοινό σημείο , τότε αυτό θα είναι σημείο επαφής"
δεν ισχύει γενικά , ισχύει όμως για τις συναρτήσεις της εκφώνησης ( η με την απόλυτη τιμή )
και γενικότερα για πολυωνυμικές συναρτήσεις αλλά και πάρα πολλές άλλες .
Θεωρώντας το πρόβλημα ενδιαφέρον άνοιξα σχετικό θέμα , εδώ
στο οποίο , μπορείτε να παρεμβαίνετε με παρατηρήσεις ή λύσεις ...
Παρά ταύτα , το λήμμα : "Μία κυρτή και μία κοίλη συναρτήσεις , έχουν δύο , ένα ή κανένα κοινά σημεία "
ισχύει , όπως απεδείχθη κομψότατα από τον παραπάνω . Το λήμμα :
"Αν μία κυρτή και μία κοίλη συναρτήσεις , έχουν ένα μόνο κοινό σημείο , τότε αυτό θα είναι σημείο επαφής"
δεν ισχύει γενικά , ισχύει όμως για τις συναρτήσεις της εκφώνησης ( η με την απόλυτη τιμή )
και γενικότερα για πολυωνυμικές συναρτήσεις αλλά και πάρα πολλές άλλες .
Θεωρώντας το πρόβλημα ενδιαφέρον άνοιξα σχετικό θέμα , εδώ
στο οποίο , μπορείτε να παρεμβαίνετε με παρατηρήσεις ή λύσεις ...
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες