Δύο επιπλέον τμήματα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11636
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Δύο επιπλέον τμήματα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 26, 2019 9:17 pm

Δύο  επιπλέον τμήματα.png
Δύο επιπλέον τμήματα.png (10.49 KiB) Προβλήθηκε 158 φορές
Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , είναι : AB=5 ,BC=6 , CA=7 . Φέρουμε ( πώς ; ) ευθεία διερχόμενη

από το βαρύκεντρο K του τριγώνου και η οποία τέμνει τις AC ,  AB και την προέκταση της CB

στα σημεία P,T,S αντίστοιχα , ώστε : AP=AT . Υπολογίστε τα τμήματα : AT και BS .

Εξετάστε μην τυχόν τα τμήματα PK , KT , TS είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

Κάντε το ίδιο για οποιοδήποτε τρίγωνο με AB<AC . Μπορούμε να πετύχουμε την γεωμ. πρόοδο ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7211
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Δύο επιπλέον τμήματα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Νοέμ 27, 2019 4:25 am

Δύο επι πλέον τμήματα.png
Δύο επι πλέον τμήματα.png (32.62 KiB) Προβλήθηκε 129 φορές
Ες αύριο τα σπουδαία αν προλάβω

Βρίσκω \boxed{AT = \frac{{b + c}}{3}} και \boxed{SB = \frac{{a\left( {2c - b} \right)}}{{3\left( {b - c} \right)}}}

Ενώ αν \boxed{b = c\sqrt 2 } επιτυγχάνω τη γεωμετρική πρόοδο που ζητείται

Δύο επι πλέον τμήματα_2.png
Δύο επι πλέον τμήματα_2.png (23.85 KiB) Προβλήθηκε 86 φορές
Χωρίς τις πράξεις που είναι σχετικά απλές .

Αν φέρω από το K κάθετη στη διχοτόμο της γωνίας A έχω τα δεδομένα της εκφώνησης .

Φέρνω από το A παράλληλη στην BC που τέμνει την ευθεία ST στο F .

Θέτω: AF = m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB = x\,\,,\,\,AP = AT = y .

Επειδή \vartriangle AKF \approx \vartriangle MKS \Rightarrow \dfrac{{AF}}{{SM}} = \dfrac{{AK}}{{KM}} \Rightarrow \dfrac{{2m}}{{a + 2x}} = 2 \Rightarrow \boxed{m = 2x + a}\,\,( * )

Τώρα πάλι με όμοια τρίγωνα, που οι σχέσεις άμεσα φανερώνουν ποια είναι, έχω :

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{m}{x} = \frac{y}{{c - y}} \hfill \\ 
  \frac{m}{{x + a}} = \frac{y}{{b - y}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. που λόγω της \left(  *  \right) δίδουν:
Δύο επι πλέον τμήματα_ok.png
Δύο επι πλέον τμήματα_ok.png (14.28 KiB) Προβλήθηκε 78 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  x = \frac{{a\left( {2c - b} \right)}}{{3\left( {b - c} \right)}} \hfill \\ 
  y = \frac{{b + c}}{3} \hfill \\ 
  m = \frac{{a\left( {b + c} \right)}}{{3\left( {b - c} \right)}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Στα τρίγωνα : KSM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PSC και διατέμνουσες αντίστοιχα \overline {ATB} \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overline {AKM} με Θ. Μενελάου έχω:

\left\{ \begin{gathered} 
  KT = \frac{{b - c}}{{2c - b}}w \hfill \\ 
  PK = \frac{{c\left( {b - c} \right)}}{{b\left( {2c - b} \right)}}w \hfill \\  
\end{gathered}  \right. , όπου \boxed{w = ST}

Επειδή πρέπει K{T^2} = PK \cdot ST προκύπτει : \boxed{b = \sqrt 2 c}.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1829
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Δύο επιπλέον τμήματα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Νοέμ 29, 2019 6:27 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Νοέμ 26, 2019 9:17 pm
Δύο επιπλέον τμήματα.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC , είναι : AB=5 ,BC=6 , CA=7 . Φέρουμε ( πώς ; ) ευθεία διερχόμενη

από το βαρύκεντρο K του τριγώνου και η οποία τέμνει τις AC ,  AB και την προέκταση της CB

στα σημεία P,T,S αντίστοιχα , ώστε : AP=AT . Υπολογίστε τα τμήματα : AT και BS .

Εξετάστε μην τυχόν τα τμήματα PK , KT , TS είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

Κάντε το ίδιο για οποιοδήποτε τρίγωνο με AB<AC . Μπορούμε να πετύχουμε την γεωμ. πρόοδο ;

Η κάθετη από το K  στη διχοτόμο της  \angle A δίνει το ισοσκελές τρίγωνο AST

Με BD,EC//AM \Rightarrow  \dfrac{DB}{AK}+ \dfrac{CE}{AK}= \dfrac{TB}{x}+ \dfrac{CS}{x} \Rightarrow  \dfrac{2KM}{AK}= \dfrac{TB+CS}{x}=1 \Rightarrow TB+CS=x

(BDEC είναι τραπέζιο με διάμεσο KM  )

Έτσι TB+x+x+SC=3x \Rightarrow b+c=3x  \Rightarrow x=AT=AS= \dfrac{b+c}{3} και άμεσα προκύπτουν BT= \dfrac{2c-b}{3} ,CS= \dfrac{2b-c}{3}

Άρα,  \dfrac{DB}{AK}= \dfrac{2c-b}{b+c} , \dfrac{AK}{EC} =  \dfrac{b+c}{2b-c} που με πολ/σμό έχουμε   \dfrac{CE}{DB}= \dfrac{2b-c}{2c-b}= \dfrac{PB+a}{PB}  \Rightarrow PB= \dfrac{a(2c-b)}{3(b-c)b}

Έστω τώρα KZ//AB,BN//PE .Τότε, BZ= \dfrac{2}{3}BM= \dfrac{a}{3}  και AB=AN=c

Ισχύει, \dfrac{KT}{TP}= \dfrac{BZ}{BP}=.. \dfrac{b-c}{2c-b}  και    
\dfrac{KS}{KT}= \dfrac{QN}{QB}= \dfrac{c}{b}  (Μενέλαος στο  \triangle NBC με διατέμνουσα MQA)

KT^2=TP . KS \Rightarrow\dfrac{KT}{TP} = \dfrac{KS}{KT}  \Rightarrow  \dfrac{b-c}{2c-b}= \dfrac{c}{b}   \Rightarrow b=c \sqrt{2}

Με τα αριθμητικά δεδομένα του προβλήματος βρίσκουμε x=4 , PB=3
Δυο επιπλέον τμήματα.png
Δυο επιπλέον τμήματα.png (22.82 KiB) Προβλήθηκε 64 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες