Κυκλικά όρια

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1253
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Κυκλικά όρια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Νοέμ 21, 2019 12:06 am

Έστω C κύκλος με κέντρο το σημείο \displaystyle P\left (t, \sin t \right ) που κινείται στην καμπύλη y=\sin x στο καρτεσιανό επίπεδο (0< t < \pi) και εφάπτεται του άξονα των x. Έστω Q το σημείο στο οποίο ο κύκλος C τέμνει τον άξονα x και R το ευθύγραμμο τμήμα OP. Αν \displaystyle \lim_{t \to 0^+} \dfrac{OQ}{OR} = a+b\sqrt{2}, να βρείτε την τιμή του αθροίσματος a+b. (Οπου O η αρχή των αξόνων και a,b ακέραιοι.)


korea_2020_24.png
korea_2020_24.png (42.57 KiB) Προβλήθηκε 622 φορές


Θέμα 24 των φετινών (2020) εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας, για την ομάδα τύπου Β (κατεύθυνσης).



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12624
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Κυκλικά όρια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 21, 2019 12:25 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Πέμ Νοέμ 21, 2019 12:06 am
Έστω C κύκλος με κέντρο το σημείο \displaystyle P\left (t, \sin t \right ) που κινείται στην καμπύλη y=\sin x στο καρτεσιανό επίπεδο (0< t < \pi) και εφάπτεται του άξονα των x. Έστω Q το σημείο στο οποίο ο κύκλος C τέμνει τον άξονα x και R το ευθύγραμμο τμήμα OP. Αν \displaystyle \lim_{t \to 0^+} \dfrac{OQ}{OR} = a+b\sqrt{2}, να βρείτε την τιμή του αθροίσματος a+b. (Οπου O η αρχή των αξόνων και a,b ακέραιοι.)
Ευκολάκι για Κορέα:

\displaystyle{\lim_{t \to 0^+} \dfrac{OQ}{OR} = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{OQ}{OP-PR} = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{OQ}{OP-PQ} = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{t}{\sqrt {t^2+\sin ^2 t}-\sin t}= }

\displaystyle{= \lim_{t \to 0^+} \dfrac{1}{\sqrt {1 +\dfrac {\sin ^2 t}{t^2}}- \dfrac {\sin  t}{t}}=  \dfrac{1}{\sqrt {1 +1}- 1}= \sqrt 2 + 1}, και λοιπά.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1253
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Κυκλικά όρια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Νοέμ 21, 2019 10:32 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Νοέμ 21, 2019 12:25 am

Ευκολάκι για Κορέα:

\displaystyle{\lim_{t \to 0^+} \dfrac{OQ}{OR} = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{OQ}{OP-PR} = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{OQ}{OP-PQ} = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{t}{\sqrt {t^2+\sin ^2 t}-\sin t}= }

\displaystyle{= \lim_{t \to 0^+} \dfrac{1}{\sqrt {1 +\dfrac {\sin ^2 t}{t^2}}- \dfrac {\sin  t}{t}}=  \dfrac{1}{\sqrt {1 +1}- 1}= \sqrt 2 + 1}, και λοιπά.
Να δούμε και τα σχετικά εύκολα... ;) . Αν και στα χρονικά πλαίσια που πρέπει να λυθεί δυσκολεύει.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12624
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Κυκλικά όρια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 21, 2019 12:50 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Πέμ Νοέμ 21, 2019 10:32 am
Να δούμε και τα σχετικά εύκολα... ;) . Αν και στα χρονικά πλαίσια που πρέπει να λυθεί δυσκολεύει.
Ως ερώτηση είναι πάρα πολύ ωραία.

Δεν αμφιβάλλω ότι αν έμπαινε στις δικές μας Πανελλαδικές θα ήταν ... σφαγή. Την είπα "ευκολάκι" για τα εκεί δεδομένα. Είμαι βέβαιος
ότι ο μέσος υποψήφιος εκεί θα την διαχειριζόταν με ευχέρεια. Σε ένα καλό διαγώνισμα πρέπει να υπάρχουν και τέτοιες ερωτήσεις, δηλαδή προσιτές αλλά πρωτότυπες.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες